Арыфметычная прагрэсія

Арыфметы́чная прагрэ́сія — паслядоўнасць лікаў a₁, a₂, a₃, ..., кожны наступны з якіх атрымліваецца з папярэдняга дадаваннем пастаяннага ліку d, які называецца ро́знасцю або кро́кам арыфметычнай прагрэсіі^[1][2].

Ведаючы першы член арыфметычнай прагрэсіі a₁ і яе рознасць d, можна паслядоўна знаходзіць астатнія элементы з дапамогай зваротнай формулы

${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d,\qquad n=1,2,3,\dots ,}$

якая вынікае з азначэння. Такім чынам, любую арыфметычную прагрэсію можна пада́ць у выглядзе

${\displaystyle a_{1},\quad a_{1}+d,\quad a_{1}+2d,\quad \dots .}$

Арыфметычная прагрэсія ёсць манатоннай паслядоўнасцю. Пры d > 0 яна нарастае, а пры d < 0 спадае. Калі d = 0, паслядоўнасць будзе сталай (г.зн. будзе складацца з аднолькавых членаў). Гэтыя сцверджанні вынікаюць са стасунку a_n+1 - a_n = d, справядлівага для членаў арыфметычнай прагрэсіі.

Уласцівасці

Агульны член арыфметычнай прагрэсіі

Член арыфметычнай прагрэсіі з нумарам n можа быть вылічаны па формуле

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d,}$

дзе a₁ — першы член прагрэсіі, d — яе рознасць.

Доказ

Карыстаючыся роўнасцю ${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}$ выпісваем паслядоўна некалькі членаў прагрэсіі:

${\displaystyle a_{2}=a_{1}+d}$

${\displaystyle a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+d+d=a_{1}+2d}$

${\displaystyle a_{4}=a_{3}+d=a_{1}+2d+d=a_{1}+3d}$

${\displaystyle a_{5}=a_{4}+d=a_{1}+3d+d=a_{1}+4d}$

Заўважыўшы заканамернасць, выказваем здагадку, што ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$. З дапамогай матэматычнай індукцыі пакажам, што здагадка праўдзіцца для ўсіх натуральных n:

Першы крок індукцыі ${\displaystyle (n=1)}$ :

${\displaystyle a_{1}=a_{1}+(1-1)d=a_{1}}$ - сцверджанне праўдзівае.

Пераход індукцыі:

Хай наша сцверджанне праўдзіцца пры ${\displaystyle n=k}$, гэта значыць ${\displaystyle a_{k}=a_{1}+(k-1)d}$. Дакажам справядлівасць сцверджання пры ${\displaystyle n=k+1}$:

${\displaystyle a_{k+1}=a_{k}+d=a_{1}+(k-1)d+d=a_{1}+kd}$

Такім чынам, сцвержанне праўдзіцца і пры ${\displaystyle n=k+1}$. Гэта азначае, што ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$ для ўсіх ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Адметная ўласцівасць арыфметычнай прагрэсіі

Паслядоўнасць ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$ ёсць арыфметычнай прагрэсіяй, калі і толькі калі для яе членаў праўдзіцца тоеснасць

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},\qquad n\geq 2.}$

Доказ

Неабходнасць:

Раз паслядоўнасць ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$ ёсць арыфметычнай прагрэсіяй, то для ${\displaystyle n\geq 2}$ праўдзяцца роўнасці:

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d,}$

${\displaystyle a_{n}=a_{n+1}-d.}$

Складваючы гэтыя роўнасці і падзяліўшы абедзве часткі на 2, атрымоўваем ${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}.}$

Дастатковасць:

Маем, што для кожнага элемента паслядоўнасці, пачынаючы з другога, праўдзіцца ${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}.}$ Трэба паказаць, што гэта паслядоўнасць ёсць арыфметычнай прагрэсіяй. Прывядзём гэту формулу да выгляду :${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=a_{n}-a_{n-1}.}$

Відавочна, з апошняй роўнасці непасрэдна вынікае дастатковасць.

Сума першых n членаў арыфметычнай прагрэсіі

Суму першых ${\displaystyle n}$ элементаў арыфметычнай прагрэсіі ${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}$ можна вылічыць па формулах

${\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n,}$

або

${\displaystyle S_{n}={\frac {2a_{1}+(n-1)d}{2}}\cdot n,}$

дзе a₁ — першы член прагрэсіі, a_n — член з нумарам n, d — рознасць прагрэсіі.

Доказ

Запішам суму двума спосабамі:

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccccccccc}S_{n}&=&a_{1}&+&a_{2}&+&a_{3}&+&\ldots &+&a_{n-2}&+&a_{n-1}&+&a_{n},\\S_{n}&=&a_{n}&+&a_{n-1}&+&a_{n-2}&+&\ldots &+&a_{3}&+&a_{2}&+&a_{1}.\end{array}}}$

У другім радку тая ж сума, але складнікі ў адваротным парадку.

Цяпер складзём абедзве роўнасці, паслядоўна дадаючы ў правай частцы пары складнікаў, якія стаяць на адной вертыкалі:

${\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{3}+a_{n-2})+\ldots +(a_{n-2}+a_{3})+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1}).}$

Пакажам, што ўсе складнікі (усе дужкі) атрыманай сумы роўныя між сабою. У агульным выглядзе гэтыя складнікі можна пада́ць як ${\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1},\ i=1,2,\ldots ,n}$. Скарыстаемся формулай агульнага члена арыфметычнай прагрэсіі:

${\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1}=a_{1}+(i-1)d+a_{1}+(n-i+1-1)d=2a_{1}+(n-1)d,\qquad i=1,2,\ldots ,n.}$

Атрымалі, што велічыня кожнага са складнікаў не залежыць ад i і роўная ${\displaystyle 2a_{1}+(n-1)d}$. У прыватнасці, ${\displaystyle a_{1}+a_{n}=2a_{1}+(n-1)d}$. А раз такіх складнікаў n, то

${\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})\cdot n}$

Адсюль вынікае роўнасць

${\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n}$.

Другая формула для сумы атрымліваецца падстаноўкай ${\displaystyle 2a_{1}+(n-1)d}$ замест ${\displaystyle a_{1}+a_{n}}$.

Заўвага:

Замест ${\displaystyle a_{1}+a_{n}}$ у першай формуле сумы можна ўзяць любы з іншых складнікаў ${\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1},\ i=2,3,\ldots ,n}$, бо ўсе яны роўныя між сабой.

Сувязь паміж арыфметычнай і геаметрычнай прагрэсіямі

Няхай ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$ — арыфметычная прагрэсія з рознасцю ${\displaystyle d}$ і лік ${\displaystyle b>0}$. Тады паслядоўнасць выгляду ${\displaystyle b^{a_{1}},b^{a_{2}},b^{a_{3}},\ldots }$ ёсць геаметрычнай прагрэсіяй з назоўнікам ${\displaystyle b^{d}}$.

Доказ

Праверым адметную ўласцівасць для ўтворанай паслядоўнасці:

${\displaystyle {\sqrt {b^{a_{n-1}}\cdot b^{a_{n+1}}}}=b^{a_{n}},\qquad n\geq 2.}$

Выкарыстаем выраз агульнага члена арыфметычнай прагрэсіі:

${\displaystyle {\sqrt {b^{a_{n-1}}\cdot b^{a_{n+1}}}}={\sqrt {b^{a_{1}+(n-2)d}\cdot b^{a_{1}+nd}}}={\sqrt {b^{2a_{1}+2(n-1)d}}}={\sqrt {(b^{a_{1}+(n-1)d})^{2}}}=b^{a_{1}+(n-1)d}=b^{a_{n}},\qquad n\geq 2.}$

А як адметная ўласцівасць праўдзіцца, то паслядоўнасць ${\displaystyle b^{a_{1}},b^{a_{2}},b^{a_{3}},\ldots }$ ёсць геаметрычнаю прагрэсіяй. Яе назоўнік можна знайсці з роўнасці ${\displaystyle q={\frac {b^{a_{2}}}{b^{a_{1}}}}={\frac {b^{a_{1}+d}}{b^{a_{1}}}}=b^{d}.}$

Збежнасць арыфметычнай прагрэсіі

Арыфметычная прагрэсія ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$ разбягаецца пры ${\displaystyle d\neq 0}$ і збягаецца пры ${\displaystyle d=0}$. Прычым

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}={\begin{cases}+\infty ,&d>0\\-\infty ,&d<0\\a_{1},&d=0\end{cases}}}$

Доказ

Запісаўшы выраз агульнага члена і разгле́дзеўшы граніцу ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}+(n-1)d)}$, атрымліваем патрэбны вынік.

Арыфметычныя паслядоўнасці вышэйшых парадкаў

Арыфметычную прагрэсію яшчэ называюць арыфметы́чнай паслядо́ўнасцю 1-га пара́дку.

Арыфметы́чнай паслядо́ўнасцю 2-га пара́дку называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей сама ўтварае арыфметычную паслядоўнасць 1-га парадку (г. зн. простую арыфметычную прагрэсію). У якасці прыклада можна прывесці паслядоўнасць квадратаў натуральных лікаў:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...,

рознасці якіх утвараюць арыфметычную прагрэсію з рознасцю 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11, ....

Падобным чынам вызначаюцца і арыфметычныя паслядоўнасці вышэйшых парадкаў. А іменна, арыфметычнай паслядоўнасцю k-га парадку называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей утварае арыфметычную паслядоўнасць (k-1)-га парадку. У прыватнасці, паслядоўнасць n-ных ступеняў утварае арыфметычную паслядоўнасць n-га парадку.

Прыклады

• Натуральны рад ${\displaystyle 1,2,3,4,5,\ldots }$ — гэта арыфметычная прагрэсія, у якой першы элемент ${\displaystyle a_{1}=1}$, а рознасць ${\displaystyle d=1}$.
• ${\displaystyle 1,-1,-3,-5,-7}$ — першыя 5 членаў арыфметычнай прагрэсіі, дзе ${\displaystyle a_{1}=1}$ і ${\displaystyle d=-2}$.
• Суму першых ${\displaystyle n}$ натуральных лікаў можна вылічыць па формуле

${\displaystyle 1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}.}$

Гл. таксама

• Геаметрычная прагрэсія

Зноскі

1. БЭ ў 18 т. Т. 2.
2. Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.І. Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.

Спасылкі

• Развязанне задач на арыфметычныя прагрэсіі