Бораўская мадэль атама

Бораўская мадэль вадародападобнага атама (Z - зарад ядра), дзе адмоўна зараджаны электрон заключаны ў атамнай абалонцы, якая акружае малое, дадатна зараджанае атамнага ядра. Пераход электрона з арбіты на арбіту суправаджаецца выпраменьваннем або паглынаннем кванта электрамагнітнай энергіі (hν).

Бораўская мадэль атама (Мадэль Бора) — паўкласічная мадэль атама, прапанаваная Нільсам Борам у 1913 г. За аснову ён узяў планетарную мадэль атама, прапанаваную Рэзерфордам. Аднак, з пункту гледжання класічнай электрадынамікі, электрон у мадэлі Рэзерфорда, рухаючыся вакол ядра, павінен быў бы выпраменьваць бесперапынна і вельмі скора, страціўшы энергію, упасці на ядро. Каб пераадолець гэту праблему, Бор увёў дапушчэнне, сутнасць якога заключаецца ў тым, што электроны ў атаме могуць рухацца толькі па пэўных (стацыянарных) арбітах, знаходзячыся на якіх яны не выпраменьваюць энергію, а выпраменьванне або паглынанне адбываецца толькі ў момант пераходу з адной арбіты на іншую. Прычым стацыянарнымі з'яўляюцца толькі тыя арбіты, пры руху па якіх момант колькасці руху электрона роўны цэламу ліку пастаянных Планка^[1]: ${\displaystyle m_{e}vr=n\hbar .}$

Выкарыстоўваючы гэтае дапушчэнне і законы класічнай механікі, а менавіта роўнасць сілы прыцягнення электрона з боку ядра і цэнтрабежнай сілы, якая дзейнічае на электрон пры вярчэнні, ён атрымаў наступныя значэнні для радыуса стацыянарнай арбіты ${\displaystyle R_{n}}$ і энергіі ${\displaystyle E_{n}}$ электрона на гэтай арбіце:

${\displaystyle R_{n}={\frac {4{\pi }\varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{Zm_{e}e^{2}}}n^{2};\quad E_{n}=-{\frac {Z^{2}m_{e}e^{4}}{32{\pi }^{2}\varepsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}}$

Тут ${\displaystyle m_{e}}$ — маса электрона, Z — колькасць пратонаў у ядры, ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ — дыэлектрычная пастаянная, е — зарад электрона.

Менавіта такі выраз для энергіі можна атрымаць з ураўнення Шродзінгера, рашаючы задачу аб руху электрона ў цэнтральным кулонаўскам поле.

Радыус першай арбіты ў атаме вадароду R₀=5,2917720859(36)×10⁻¹¹ м ^[2], цяпер называецца бораўскім радыусам, або атамнай адзінкай даўжыні і шырока выкарыстоўваецца ў сучаснай фізіцы. Энергія першай арбіты ${\displaystyle E_{0}=-13.6}$ эВ уяўляе сабой энергію іанізацыі атама вадароду.

Паўкласічная тэорыя Бора

Заснавана на двух пастулатах Бора:

• Атам можа знаходзіцца толькі ў асобых стацыянарных, або квантавых, станах, кожнаму з якіх адпавядае пэўная энергія. У стацыянарным стане атам не выпраменьвае электрамагнітных хваль.
• Выпраменьванне і паглынанне энергіі атамам адбываецца пры скачкападобным пераходзе з аднаго стацыянарнага стану ў іншы, пры гэтым маюць месца два стасункі
  1. ${\displaystyle \varepsilon =E_{n2}-E_{n1},}$ дзе ${\displaystyle \varepsilon }$ — выпрамененая (паглынутая) энергія, ${\displaystyle \ n_{1},n_{2}}$ — нумары квантавых станаў. У спектраскапіі ${\displaystyle \ E_{n1}}$ і ${\displaystyle \ E_{n2}}$ называюцца тэрмамі.
  2. Правіла квантавання моманту імпульсу: ${\displaystyle \ m\upsilon r=n\hbar ,}$ ${\displaystyle \quad n=1,2,3...}$

Далей зыходзячы з меркаванняў класічнай фізікі аб кругавым руху электрона вакол нерухомага ядра па стацыянарнай арбіце пад дзеяннем кулонаўскімі сілы прыцягнення, Бор атрымаў выразы для радыусаў стацыянарных арбіт і энергіі электрона на гэтых арбітах:

${\displaystyle \ r_{n}=an^{2},}$ ${\displaystyle a={\frac {\hbar ^{2}}{kme^{2}}}=5.3\cdot 10^{-11}}$ м — бораўскі радыус.

${\displaystyle \ E_{n}=-R_{y}{\frac {1}{n^{2}}},}$ ${\displaystyle R_{y}={\frac {mk^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}}}}$ — энергетычная пастаянная Рыдберга (лікава роўная 13,6 эВ).

Формула Зомерфельда - Дзірака

Рух электрона вакол атамнага ядра ў рамках класічнай механікі можна разглядаць як «лінейны асцылятар», які характарызуецца «адыябатычным інварыянтам», што ўяўляе сабой плошчу эліпса (у абагульненых каардынатах):

${\displaystyle \oint \mathbf {p} \cdot \mathrm {d} \mathbf {q} ={\frac {W}{\nu }}=J,}$

дзе — ${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} }$ — абагульнены імпульс і каардынаты электрона, ${\displaystyle W}$ — энергія, ${\displaystyle \nu }$ — частата.

А квантавы пастулат сцвярджае, што плошча замкнёнай крывой у фазавай ${\displaystyle pq}$ — плоскасці за адзін перыяд руху, роўная цэламу ліку, памножанаму на пастаянную Планка ${\displaystyle h}$ (Дэбай, 1913 г.). У сувязі з пастаяннай тонкай структуры найбольш цікавым з'яўляецца рух рэлятывісцкага электрона ў поле ядра атама, калі яго маса залежыць ад хуткасці руху. У гэтым выпадку мы маем дзве квантавыя умовы:

${\displaystyle J_{1}=nh,\qquad J_{2}=kh,}$

дзе ${\displaystyle n}$ вызначае галоўную паўвось эліптычнай арбіты электрона (${\displaystyle a}$), а ${\displaystyle k}$ — яго факальны параметр ${\displaystyle q}$:

${\displaystyle a=a_{0}n^{2},\qquad q=a_{0}k^{2}.}$

У гэтым выпадку Зомерфельд атрымаў выраз для энергіі ў выглядзе

${\displaystyle E=-{\frac {RZ^{2}}{n^{2}}}+\epsilon (n,k),}$

дзе ${\displaystyle R}$ — пастаянная Рыдберга, а ${\displaystyle Z}$ — парадкавы нумар атама (для вадароду ${\displaystyle Z=1}$).

Дадатковы член ${\displaystyle \epsilon (n,k)}$ адлюстроўвае больш тонкія дэталі расшчаплення спектральных тэрмаў вадародападобных атамаў, а іх колькасць вызначаецца квантавым лікам ${\displaystyle k}$. Такім чынам, самі спектральныя лініі ўяўляюць сабой сістэмы больш тонкіх ліній, якія адпавядаюць пераходам паміж узроўнямі вышэйшага стану (${\displaystyle n=n_{1},k=1,2,...,n_{1}}$) і ніжэйшага стану (${\displaystyle n=n_{2},k=1,2,...,n_{2}}$). Гэта і ёсць т. зв. тонкая структура спектральных ліній. Зомерфельд распрацаваў тэорыю тонкай структуры для вадародападобных атамаў (H, ${\displaystyle He^{+}}$, ${\displaystyle Li^{2+}}$), а Фаулер з Пашэнам на прыкладзе спектра аднаразова іанізаванага гелія ${\displaystyle He^{+}}$ ўстанавілі поўную адпаведнасць тэорыі з эксперыментам.

Зомерфельд (1916) яшчэ задоўга да ўзнікнення квантавай механікі Шродзінгера атрымаў формулу для апісання вадародных тэрмаў у выглядзе:

${\displaystyle E+E_{0}=E_{0}\left(1+{\frac {\alpha ^{2}Z^{2}}{\left(n_{r}+{\sqrt {n_{\phi }^{2}-\alpha ^{2}Z^{2}}}\right)^{2}}}\right)^{-1/2},}$

дзе ${\displaystyle \alpha }$ — пастаянная тонкай структуры, ${\displaystyle Z}$ — парадкавы нумар атама, ${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$ — энергія спакою, ${\displaystyle n_{r}}$ — радыяльны квантавы лік, а ${\displaystyle n_{\phi }}$ — азімутальны квантавы лік. Пазней гэту формулу, карыстаючыся рэлятывісцкім ураўненнем Шродзінгера, атрымаў Дзірак. Таму цяпер гэта формула і носіць імя Зомерфельда — Дзірака.

З'яўленне тонкай структуры тэрм звязана з прэцэсіяй электронаў вакол ядра атама. Таму з'яўленне тонкай структуры можна выявіць па рэзананснаму эфекту ў вобласці ўльтракароткіх электрамагнітных хваль. У выпадку Z = 1 (атам вадароду) велічыня расшчаплення блізкая да

${\displaystyle E/h\approx R\alpha ^{2}/n^{2}.}$

Даўжыня электрамагнітнай хвалі роўная

${\displaystyle \lambda =c/\nu =ch/E=cn^{2}/R\alpha ^{2}\approx 0,17cm}$

Таму для ${\displaystyle n=2}$ гэта будзе амаль 1 см.

Перавагі тэорыі Бора

• Ратлумачыла дыскрэтнасць энергетычных станаў вадародападобных атамаў.
• Тэорыя Бора падышла да тлумачэння ўнутрыатамных працэсаў з прынцыпова новых пазіцый, стала першай паўквантавай тэорыяй атама.
• Эўрыстычнае значэнне тэорыі Бора заключаецца ў смелым дапушчэнні існавання стацыянарных станаў і скачкападобнага пераходу паміж імі. Гэтыя палажэнні пазней былі распаўсюджаны і на іншыя мікрасістэмы.

Недахопы тэорыі Бора

• Не змагла растлумачыць інтэнсіўнасць спектральных ліній.
• Справядлівая толькі для вадародападобных атамаў і не працуе для атамаў, якія ідуць за ім у табліцы Мендзялеева.
• Тэорыя Бора лагічна супярэчлівая: не з'яўляецца ні класічнай, ні квантавай. У сістэме двух ураўненняў, якія ляжаць у яе аснове, адно — ўраўненне руху электрона — класічнае, іншае — ўраўненне квантавання арбіт — квантавае.

Тэорыя Бора з'яўлялася недастаткова паслядоўнай і агульнай. Таму яна ў далейшым была заменена сучаснай квантавай механікай, заснаванай на больш агульных і несупярэчных зыходных палажэннях. Цяпер вядома, што пастулаты Бора з'яўляюцца вынікам больш агульных квантавых законаў. Але правілы квантавання шырока выкарыстоўваюцца і ў нашы дні як прыбліжаныя суадносіны: іх дакладнасць часта бывае вельмі высокай.

Зноскі

1. Планетарная мадэль атама. Пастулаты Бора Архівавана 21 лютага 2009. на Партале прыродазнаўчых наук Архівавана 26 лістапада 2009.
2. Бораўскі радыус згодна з CODATA

Літаратура

• Макс Борн Атомная физика, 2-е изд., М.:Мир,1967.- 493с.