Выпадковая велічыня

Артыкул пра аднавымерную выпадковую велічыню. Пра многавымерную выпадковую велічыню гл. многавымерная выпадковая велічыня.

Выпадковая велічыня — матэматычная фармалізацыя лікавай велічыні, якая залежыць ад выпадковай падзеі. Тэрмін «выпадковая велічыня» можа ўводзіць у зман, бо строга кажучы гэта не велічыня^[1], а функцыя ад магчымых падзей з прасторы элементарных падзей на некаторую вымерную прастору^[en], часта рэчаісных лікаў.

Азначэнне

Вызначым спачатку ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-вымерную^[en] функцыю. Функцыя ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$ называецца ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-вымернай для некаторай σ-алгебры ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, калі для кожнага ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ выконваецца $${\displaystyle f^{-1}((-\infty ,x)):=\{\omega \in \Omega |f(\omega )<x\}\in {\mathcal {A}}}$$

Выпадковай велічынёй называецца ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-вымерная функцыя ${\displaystyle \xi \colon \Omega \to \mathbb {R} }$, абсяг вызначэння якой супадае з прасторай элементарных падзей ${\displaystyle \Omega }$ імавернаснай прасторы ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$^[2]:69.

З гэтага азначэння вынікае таксама, што для кожнага барэлеўскага падмноства^[en] ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} }$ праўдзіцца ${\displaystyle \xi ^{-1}(B)\in {\mathcal {A}}}$. Аналагічным чынам замест ${\displaystyle (\xi <x)}$ у азначэнні можна браць ${\displaystyle (\xi \leq x)}$, ${\displaystyle (\xi >x)}$, ${\displaystyle (\xi \geq x)}$, ${\displaystyle (x_{1}\leq \xi \leq x_{2})}$ і г.д.^[2]:70

Розніца ў азначэнні выпадковай велічыні і вымернай функцыі палягае ў тым, што ў азначэнні выпадковай велічыні фігуруе імавернасная мера. Пры вывучэнні выпадковых велічынь у тэорыі імавернасцей найчасцей разглядаецца пытанне таго, з якімі канкрэтна імавернасцямі выпадковыя велічыні прымаюць тыя ці іншыя значэнні, у той час як для вымерных функцый у тэорыі меры такога пытання як правіла не ставіцца^[2]:69.

Для абазначэння выпадковай велічыні выкарыстоўваюць малыя грэчаскія літары (${\displaystyle \xi }$, ${\displaystyle \eta }$ і г.д.) або вялікія лацінскія (${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ і г.д.)

Размеркаванне выпадковай велічыні

Асноўны артыкул: Размеркаванне імавернасцей

Размеркаваннем выпадковай велічыні ${\displaystyle \xi \colon \Omega \to \mathbb {R} }$ называецца імавернасная мера ${\displaystyle P_{\xi }:{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R} }$, зададзеная на σ-алгебры ўсіх барэлеўскіх мностваў ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} }$ з дапамогай роўнасці ${\displaystyle P_{\xi }(B):=P(\xi \in B)=P(\xi ^{-1}(B)).}$

Функцыяй размеркавання выпадковай велічыні завецца функцыя ${\displaystyle F_{\xi }:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, якая вызначаецца праз роўнасць

${\displaystyle F_{\xi }(x):=P(\xi <x),\forall x\in \mathbb {R} .}$

З гэтага азначэння вынікае, што імавернасць пападання значэння выпадковай велічыні ў прамежак ${\displaystyle [a,b)}$ роўная ${\displaystyle F(b)-F(a).}$

Кожная функцыя размеркавання адпавядае толькі аднаму размеркаванню і наадварот, кожнае размеркаванне адназначна задае функцыю размеркавання^[2]:70-71.

Класіфікацыя

Асноўны артыкул: Размеркаванне імавернасцей § Класіфікацыя размеркаванняў

Выпадковыя велічыні класіфікуюцца паводле іх размеркаванняў і падзяляюцца, як і размеркаванні, на дыскрэтныя, абсалютна непарыўныя, сінгулярныя і змешаныя^[2]:77-78.

Дыскрэтныя выпадковыя велічыні прымаюць канечную або злічоную колькасць значэнняў і іх размеркаванне можна апісаць з дапамогай функцыі імавернасці ${\displaystyle p_{\xi }(x)=P(\xi =x)}$. Размеркаванне абсалютна непарыўных велічынь можна апісаць з дапамогай функцыі шчыльнасці, якая амаль усюды^[en] роўная вытворнай ад функцыі размеркавання ${\displaystyle f_{\xi }(x)=F'_{\xi }(x)}$.

З дапамогай функцыі размеркавання можна апісаць размеркаванні ўсіх тыпаў незалежных велічынь.

Прыклады

• Няхай выпадковая велічыня мае дыскрэтнае раўнамернае размеркаванне, то бок

  ${\displaystyle \mathbb {P} (X=x_{i})={\frac {1}{n}},\;i=1,\ldots ,n.}$

Тады яе матэматычнае спадзяванне

${\displaystyle M[X]={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}}$

роўнае сярэдняму арыфметычнаму ўсіх прымаемых значэнняў.

• Няхай выпадковая велічыня мае непарыўнае раўнамернае размеркаванне на прамежку ${\displaystyle [a,b]}$, дзе ${\displaystyle a<b}$. Тады яе шчыльнасць мае выгляд

  ${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{b-a}}\mathbf {1} _{[a,b]}(x),}$

а матэматычнае спадзяванне роўнае

${\displaystyle M[X]=\int \limits _{a}^{b}\!{\frac {x}{b-a}}\,dx={\frac {a+b}{2}}.}$

Заўвага: матэматычнае спадзяванне вызначана не для ўсякай выпадковай велічыні.

Функцыі ад выпадковых велічынь

Калі ${\displaystyle \xi :\Omega \to \mathbb {R} }$ — выпадковая велічыня, а функцыя ${\displaystyle \varphi :\xi (\Omega )\to \mathbb {R} }$ барэлеўская^[en] (то бок правобраз^[en] кожнага барэлеўскага мноства барэлеўскі), то кампазіцыя ${\displaystyle \eta =\varphi \circ \xi :\Omega \to \mathbb {R} }$ ёсць выпадковай велічынёй на той жа імавернаснай прасторы з размеркаваннем

${\displaystyle P_{\eta }(B)=P_{\xi }(\varphi ^{-1}(B)),}$

дзе ${\displaystyle B}$ — барэлеўскае мноства^[2]:90.

На практыцы гэтая ўласцівасць часта выконваецца, бо, напрыклад, усе непарыўныя функцыі — барэлеўскія^[3].

Фукнцыю размеркавання ${\displaystyle \eta }$ можна запісаць як^[2]:90

${\displaystyle F_{\eta }(x)=\int \limits _{\varphi ^{-1}((-\infty ,x))}dF_{\xi },}$

дзе ${\displaystyle F_{\xi }}$ — функцыя размеркавання ${\displaystyle \xi .}$

Калі ${\displaystyle \xi }$ — абсалютна непарыўная выпадковая велічыня са шчыльнасцю ${\displaystyle f_{\xi },}$ а ${\displaystyle \varphi }$ — строга манатонная і дыферэнцавальная функцыя^[en], то ${\displaystyle \eta =\varphi (\xi )}$ будзе мець шчыльнасць^[2]:91

${\displaystyle f_{\eta }(x)=f_{\xi }(\varphi ^{-1}(x))\left|\left[\varphi ^{-1}\right]'(x)\right|={\frac {f_{\xi }(\varphi ^{-1}(x))}{\left|\varphi '(\varphi ^{-1}(x))\right|}}.}$

Прыклад

Залежнасць шчыльнасці ад значэння, на якое дамнажаюць выпадковую велічыню. Плошча пад графікам шчыльнасці застаецца нязменнай і роўнай 1.

Няхай выпадковая велічыня ${\displaystyle \xi }$ мае паказнікавае размеркаванне (${\displaystyle \xi \sim Exp(\lambda )}$) са шчыльнасцю

${\displaystyle f_{\xi }(x)=\lambda e^{-\lambda x}}$ для ${\displaystyle x\geq 0,}$

а функцыя ${\displaystyle \varphi (x)=2x.}$ Тады ${\displaystyle \varphi ^{-1}(x)=x/2,}$ а ${\displaystyle \eta =\varphi (\xi )=2\xi }$ — выпадковая велічыня са шчыльнасцю

${\displaystyle f_{\eta }(x)=f_{\xi }\left({\frac {x}{2}}\right)\cdot \left|\left({\frac {x}{2}}\right)'\right|=\lambda e^{-\lambda {\frac {x}{2}}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {\lambda }{2}}e^{-{\frac {\lambda }{2}}x},}$

то бок ${\displaystyle \eta \sim Exp(\lambda /2).}$

Інтуітыўна формулу можна растлумачыць так, што памнажаючы велічыню на два, мы рассоўваем пункты на восі абсцыс адзін ад аднаго такім чынам, што дыстанцыя паміж пунктамі становіцца ў два разы большай, што робіць шчыльнасць у два разы меншай, бо плошча пад графікам шчыльнасці мусіць заставацца роўнай 1. У выпадку нелінейнай манатоннай функцыі ${\displaystyle \varphi }$, напрыклад ${\displaystyle \varphi =x^{3},}$ інтуіцыя захоўваецца, але дыстанцыі паміж пунктамі будуць змяняцца па-рознаму ў розных пунктах восі абсцыс, адпаведна і значэнне вытворнай у формуле будзе залежаць ад ${\displaystyle x}$.

Абагульненні

Выпадковая велічыня, увогуле кажучы, можа прымаць значэнні ў любой вымернай прасторы. Тады яе часцей называюць выпадковым вектарам ці выпадковым элементам. Напрыклад,

• Вымерная функцыя ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ называецца n-мерным выпадковым вектарам (адносна барэлеўскай ${\displaystyle \sigma }$-алгебры на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) або многавымернай выпадковай велічынёй.
• Вымерная функцыя ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {C} ^{n}}$ называецца n-мерным камплексным выпадковым вектарам (таксама адносна адпаведнай барэлеўскай ${\displaystyle \sigma }$-алгебры).
• Вымерная функцыя, якая адлюстроўвае імавернасную прастору ў прастору падмностваў некаторага (канечнага) мноства, называецца (канечным) выпадковым мноствам.

Гл. таксама

• Выпадковы працэс
• Функцыя размеркавання
• Матэматычнае спадзяванне

Зноскі

1. Deisenroth, Marc Peter (2020). Mathematics for machine learning. A. Aldo Faisal, Cheng Soon Ong. Cambridge, United Kingdom: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-47004-9. OCLC 1104219401.
2. Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.
3. Chapter 5-Borel sets and functions (нявызн.). Праверана 7 кастрычніка 2023.

Літаратура

• Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. 206 с.

Спасылкі

• Многомерные случайные величины (руск.)