Геаметрычнае размеркаванне
Фунцыя імавернасці
Функцыя размеркавання
Параметры
0
<
p
≤
1
{\displaystyle 0<p\leq 1}
рэчаісны лік )
0
<
p
≤
1
{\displaystyle 0<p\leq 1}
Носьбіт функцыі [en]
k выпрабаванняў, дзе
k
∈
{
1
,
2
,
3
,
…
}
{\displaystyle k\in \{1,2,3,\dots \}}
k няўдач, дзе
k
∈
{
0
,
1
,
2
,
3
,
…
}
{\displaystyle k\in \{0,1,2,3,\dots \}}
Функцыя імавернасці
(
1
−
p
)
k
−
1
p
{\displaystyle (1-p)^{k-1}p}
(
1
−
p
)
k
p
{\displaystyle (1-p)^{k}p}
Функцыя размеркавання
1
−
(
1
−
p
)
⌊
x
⌋
{\displaystyle 1-(1-p)^{\lfloor x\rfloor }}
x
≥
1
{\displaystyle x\geq 1}
0
{\displaystyle 0}
x
<
1
{\displaystyle x<1}
1
−
(
1
−
p
)
⌊
x
⌋
+
1
{\displaystyle 1-(1-p)^{\lfloor x\rfloor +1}}
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
0
{\displaystyle 0}
x
<
0
{\displaystyle x<0}
Матэматычнае спадзяванне
1
p
{\displaystyle {\frac {1}{p}}}
1
−
p
p
{\displaystyle {\frac {1-p}{p}}}
Медыяна
⌈
−
1
log
2
(
1
−
p
)
⌉
{\displaystyle \left\lceil {\frac {-1}{\log _{2}(1-p)}}\right\rceil }
(не ўнікальная, калі
−
1
/
log
2
(
1
−
p
)
{\displaystyle -1/\log _{2}(1-p)}
цэлы лік )
⌈
−
1
log
2
(
1
−
p
)
⌉
−
1
{\displaystyle \left\lceil {\frac {-1}{\log _{2}(1-p)}}\right\rceil -1}
(не ўнікальная, калі
−
1
/
log
2
(
1
−
p
)
{\displaystyle -1/\log _{2}(1-p)}
Мода
1
{\displaystyle 1}
0
{\displaystyle 0}
Дысперсія
1
−
p
p
2
{\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}}
1
−
p
p
2
{\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}}
Каэфіцыент асіметрыі
2
−
p
1
−
p
{\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}}
2
−
p
1
−
p
{\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}}
Каэфіцыент эксцэсу
6
+
p
2
1
−
p
{\displaystyle 6+{\frac {p^{2}}{1-p}}}
6
+
p
2
1
−
p
{\displaystyle 6+{\frac {p^{2}}{1-p}}}
Энтрапія [en]
−
(
1
−
p
)
log
(
1
−
p
)
−
p
log
p
p
{\displaystyle {\tfrac {-(1-p)\log(1-p)-p\log p}{p}}}
−
(
1
−
p
)
log
(
1
−
p
)
−
p
log
p
p
{\displaystyle {\tfrac {-(1-p)\log(1-p)-p\log p}{p}}}
Утваральная функцыя момантаў [en]
p
e
t
1
−
(
1
−
p
)
e
t
,
{\displaystyle {\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}},}
t
<
−
ln
(
1
−
p
)
{\displaystyle t<-\ln(1-p)}
p
1
−
(
1
−
p
)
e
t
,
{\displaystyle {\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}},}
t
<
−
ln
(
1
−
p
)
{\displaystyle t<-\ln(1-p)}
Характарыстычная функцыя [en]
p
e
i
t
1
−
(
1
−
p
)
e
i
t
{\displaystyle {\frac {pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}}}
p
1
−
(
1
−
p
)
e
i
t
{\displaystyle {\frac {p}{1-(1-p)e^{it}}}}
Імавернасная ўтваральная функцыя
p
z
1
−
(
1
−
p
)
z
{\displaystyle {\frac {pz}{1-(1-p)z}}}
p
1
−
(
1
−
p
)
z
{\displaystyle {\frac {p}{1-(1-p)z}}}
У тэорыі імавернасцей і статыстыцы , пад геаметрычным размеркаваннем маецца на ўвазе адно з двух дыскрэтных размеркаванняў імавернасцей :
Размеркаванне колькасці
X
{\displaystyle X}
выпрабаванняў Бэрнулі [en]
{
1
,
2
,
3
,
…
}
.
{\displaystyle \{1,2,3,\ldots \}.}
[ 1] :82-83
Размеркаванне колькасці
Y
=
X
−
1
{\displaystyle Y=X-1}
{
0
,
1
,
2
,
…
}
{\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}
Геаметрычнае размеркаванне задае імавернасць таго, што выпрабаванне з нумарам
k
{\displaystyle k}
незалежных выпрабаванняў з двума магчымымі зыходамі: поспех і няўдача, дзе імавернасць поспеху кожнага выпрабавання роўная
p
{\displaystyle p}
P
(
X
=
k
)
=
(
1
−
p
)
k
−
1
p
{\displaystyle P(X=k)=(1-p)^{k-1}p}
для k = 1, 2, 3, 4, ….
Паводле іншага азначэння, геаметрычнае размеркаванне мадэлюе колькасць няўдач да першага поспеху:
P
(
Y
=
k
)
=
P
(
X
=
k
+
1
)
=
(
1
−
p
)
k
p
{\displaystyle P(Y=k)=P(X=k+1)=(1-p)^{k}p}
для k = 0, 1, 2, 3, ….
У абодвух выпадках, паслядоўнасць імавернасцей прадстаўляе сабой геаметрычную прагрэсію .
Матэматычнае спадзяванне геаметрычнага размеркавання можна знайсці наступным чынам[ 1] :119
q
=
1
−
p
{\displaystyle q=1-p}
E
[
X
]
=
∑
k
=
1
∞
k
p
q
k
−
1
=
p
d
d
q
(
∑
k
=
1
∞
q
k
)
=
p
d
d
q
(
q
1
−
q
)
=
{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum _{k=1}^{\infty }kpq^{k-1}=p{\frac {d}{dq}}\left(\sum _{k=1}^{\infty }q^{k}\right)=p{\frac {d}{dq}}\left({\frac {q}{1-q}}\right)=}
=
p
d
d
q
(
1
1
−
q
−
1
)
=
p
(
1
−
q
)
2
=
1
p
.
{\displaystyle =p{\frac {d}{dq}}\left({\frac {1}{1-q}}-1\right)={\frac {p}{(1-q)^{2}}}={\frac {1}{p}}.}
Формулай сумы бясконца спадальнай геаметрычнай прагрэсіі дазваляе скарыстацца той факт, што
0
≤
q
<
1.
{\displaystyle 0\leq q<1.}
Каб знайсці дысперсію , спачатку падлічым матэматычнае спадзяванне квадрата выпадковай велічыні з геаметрычным размеркаваннем[ 1] :119-120
E
[
X
2
]
=
∑
k
=
1
∞
k
2
p
q
k
−
1
=
p
d
d
q
(
∑
k
=
1
∞
k
q
k
)
=
p
d
d
q
(
q
(
1
−
q
)
2
)
=
{\displaystyle \mathbb {E} [X^{2}]=\sum _{k=1}^{\infty }k^{2}pq^{k-1}=p{\frac {d}{dq}}\left(\sum _{k=1}^{\infty }kq^{k}\right)=p{\frac {d}{dq}}\left({\frac {q}{(1-q)^{2}}}\right)=}
p
(
1
(
1
−
q
)
2
+
2
q
(
1
−
q
)
3
)
=
1
p
+
2
q
p
2
=
1
+
q
p
2
.
{\displaystyle p\left({\frac {1}{(1-q)^{2}}}+{\frac {2q}{(1-q)^{3}}}\right)={\frac {1}{p}}+{\frac {2q}{p^{2}}}={\frac {1+q}{p^{2}}}.}
Цяпер скарыстаемся формулай для дысперсіі:
V
a
r
(
X
)
=
E
[
X
2
]
−
E
[
X
]
2
=
1
+
q
p
2
−
1
p
2
=
q
p
2
=
1
−
p
p
2
.
{\displaystyle Var(X)=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}={\frac {1+q}{p^{2}}}-{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {q}{p^{2}}}={\frac {1-p}{p^{2}}}.}
↑ а б в Звяровіч Э. І. , Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 69. — ISBN 978-985-01-1043-5 .
![{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum _{k=1}^{\infty }kpq^{k-1}=p{\frac {d}{dq}}\left(\sum _{k=1}^{\infty }q^{k}\right)=p{\frac {d}{dq}}\left({\frac {q}{1-q}}\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48cb19e145ec0d357058ecf1bc6b9c2ebce95db9)
![{\displaystyle \mathbb {E} [X^{2}]=\sum _{k=1}^{\infty }k^{2}pq^{k-1}=p{\frac {d}{dq}}\left(\sum _{k=1}^{\infty }kq^{k}\right)=p{\frac {d}{dq}}\left({\frac {q}{(1-q)^{2}}}\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce6d525fdc36de726f0b47fc0e12757aa61d5f21)
![{\displaystyle Var(X)=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}={\frac {1+q}{p^{2}}}-{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {q}{p^{2}}}={\frac {1-p}{p^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b70ab8e93acdcee54d63fc6b272c351391d1d27)
