Градыент

Аперацыя градыента пераўтварае пагорак (злева), калі глядзець на яго зверху, у поле вектараў (справа). Відаць, што вектары накіраваны «ў горку» і тым даўжэйшыя, чым круцейшы нахіл.

У вектарным злічэнні градые́нт скалярнага поля — вектарнае поле, якое ўказвае напрамак найхутчэйшага нарастання скалярнага поля, а амплітуда гэтага поля ёсць хуткасць нарастання. У дэкартавых каардынатах градыент роўны вектару частковых вытворных функцыі па адпаведных каардынатах.

Напрыклад, калі ўзяць у якасці ${\displaystyle \varphi }$ вышыню паверхні зямлі над узроўнем мора, то яе градыент у кожным пункце будзе паказваць «напрамак самага крутога пад’ёму», а сваёю велічынёй характарызаваць крутасць схілу.

З матэматычнага пункту гледжання градыент — гэта вытворная скалярнай функцыі, вызначанай на вектарнай прасторы.

Прастора, на якой вызначана функцыя і яе градыент, можа быць, увогуле кажучы, як звычайнай трохмернай прасторай, так і прасторай любой іншай размернасці і любой фізічнай прыроды, ці чыста абстрактнай.

Тэрмін упершыню з’явіўся ў метэаралогіі, а ў матэматыку быў уведзены Максвелам у 1873 г. Абазначэнне grad таксама прапанаваў Максвел.

Стандартныя абазначэнні:

${\displaystyle \mathrm {grad} \,\varphi }$

або, з выкарыстаннем аператара набла,

${\displaystyle \nabla \varphi }$

— замест ${\displaystyle \varphi }$ можа быць любое скалярнае поле, абазначанае любою літарай, напрыклад ${\displaystyle \mathrm {grad} \,V,\nabla V}$ — абазначэнне градыента поля V.

Азначэнне

У выпадку трохмернай прасторы градыентам скалярнай функцыі ${\displaystyle \varphi =\varphi (x,y,z)}$ каардынат ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ называецца вектарная функцыя з кампанентамі

${\displaystyle \left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right).}$

Абазначыўшы адзінкавыя вектары (орты) па восях прамавугольных дэкартавых каардынат як ${\displaystyle {\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z},}$ градыент можна запісаць у выглядзе:

${\displaystyle \mathrm {grad} \,\varphi =\nabla \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\vec {e}}_{x}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\vec {e}}_{y}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\vec {e}}_{z}.}$

Калі ${\displaystyle \varphi }$ — функцыя ${\displaystyle n}$ зменных ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ то яе градыентам называецца ${\displaystyle n}$-мерны вектар

${\displaystyle \left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right),}$

кампаненты якога роўныя частковым вытворным ${\displaystyle \varphi }$ па яе адпаведных аргументах.

• Размернасць вектара градыента поля вызначаецца, такім чынам, размернасцю прасторы (ці мнагастайнасці), на якой зададзена гэта скалярнае поле.
• Аператарам градыента (які звычайна абазначаюць як ${\displaystyle \mathrm {grad} }$ або ${\displaystyle \nabla }$) называецца аператар, дзеянне якога на скалярную функцыю (поле) дае яе градыент. Гэты аператар іншы раз называюць проста «градыентам».

Сэнс градыента любой скалярнай функцыі ${\displaystyle f}$ у тым, што яго скалярны здабытак з бесканечна малым вектарам перамяшчэння ${\displaystyle d\mathbf {x} }$ дае поўны дыферэнцыял гэтай функцыі пры адпаведным змяненні каардынат у прасторы, на якой вызначана ${\displaystyle f}$, г. зн. лінейную (у выпадку агульнага становішча яна ж галоўная) частку змянення ${\displaystyle f}$ пры перамяшчэнні на ${\displaystyle d\mathbf {x} }$. Прымяняючы адну і тую ж літару для абазначэння функцыі ад вектара і адпаведнай функцыі ад яго каардынат, можна напісаць:

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\,dx_{2}+{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}}\,dx_{3}+\ldots =\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}=(\mathrm {grad} \,\mathbf {f} \cdot d\mathbf {x} ).}$

Варта тут заўважыць, што раз формула поўнага дыферэнцыяла не залежыць ад віду каардынат ${\displaystyle x_{i}}$, г.зн. ад прыроды параметраў x увогуле, то атрыманы дыферэнцыял з’яўляецца скалярным інварыянтам пры любых пераўтварэннях каардынат, а раз ${\displaystyle d\mathbf {x} }$ — гэта вектар, то градыент, вылічаны звычайным спосабам, аказваецца каварыянтным вектарам, г.зн. вектарам, прадстаўленым у дуальным базісе, які толькі і можа даць скаляр пры простым складанні здабыткаў каардынат звычайнага (контраварыянтнага), г.зн. вектарам, запісаным у звычайным базісе. Такім чынам, выраз (увогуле кажучы — для адвольных крывалінейных каардынат) можа быць цалкам правільна і інварыянтна запісаны як:

${\displaystyle df=\sum _{i}(\partial _{i}f)\,dx^{i}}$

ці, апускаючы згодна з правілам Эйнштэйна знак сумы,

${\displaystyle df=(\partial _{i}f)\,dx^{i}}$

(у ортанарміраваным базісе мы можам пісаць усе індэксы ніжнімі, як мы і рабілі вышэй). Аднак градыент аказваецца сапраўдным каварыянтным вектарам у любых крывалінейных каардынатах.

Прыклад

Напрыклад, градыент функцыі ${\displaystyle \varphi (x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin z}$ будзе роўны:

${\displaystyle \nabla \varphi =\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)=(2,6y,-\cos z)}$

У фізіцы

У розных галінах фізікі выкарыстоўваецца паняцце градыента розных фізічных палёў.

Напрыклад, напружанасць электрастатычнага поля ёсць мінус градыент электрычнага патэнцыялу, напружанасць гравітацыйнага поля (паскарэнне свабоднага падзення) у класічнай тэорыі гравітацыі ёсць мінус градыент гравітацыйнага патэнцыялу. Кансерватыўная сіла ў класічнай механіцы ёсць мінус градыент патэнцыяльнае энергіі.

У прыродазнаўчых навуках

Паняцце градыента прымяняецца не толькі ў фізіцы, але і ў сумежных і нават параўнальна далёкіх ад фізікі навуках (іншы раз гэта прымяненне мае колькасны, а часам і проста якасны характар).

Напрыклад, градыент канцэнтрацыі — нарастанне ці спаданне па якім-небудзь напрамку канцэнтрацыі растворанага рэчыва, градыент тэмпературы — павелічэнне ці памяншэнне па якім-небудзь напрамку тэмпературы асяроддзя і пад.

Градыент такіх велічынь можа быць выкліканы рознымі прычынамі, напрыклад, механічнаю перашкодаю, дзеяннем электрамагнітных, гравітацыйных ці іншых палёў або адрозненнямі ў растваральнай здольнасці пагранічных фаз.

Геаметрычны сэнс

Разгледзім сямейства ліній узроўню функцыі ${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle \gamma (h)=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=h\}.}$

Няцяжка паказаць, што градыент функцыі ${\displaystyle \varphi }$ у кропцы ${\displaystyle {\vec {x}}^{0}}$ перпендыкулярны яе лініі ўзроўню, якая праходзіць праз гэту кропку. Модуль градыента паказвае найбольшую скорасць змянення функцыі ў наваколлі ${\displaystyle {\vec {x}}^{0}}$, г.зн. частату ліній узроўню. Напрыклад, лініі ўзроўню вышыні рысуюцца на тапаграфічных картах, пры гэтым модуль градыента паказвае крутасць спуску ці пад’ёму ў дадзенай кропцы.

Сувязь з вытворнаю па напрамку

Прымяняючы правіла дыферэнцавання складанай функцыі, няцяжка паказаць, што вытворная функцыі ${\displaystyle \varphi }$ па напрамку ${\displaystyle {\vec {e}}=(e_{1},\ldots ,e_{n})}$ раўняецца скалярнаму здабытку градыента ${\displaystyle \varphi }$ на адзінкавы вектар ${\displaystyle {\vec {e}}}$:

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial {\vec {e}}}}={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}e_{1}+\ldots +{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}e_{n}=(\nabla \varphi ,{\vec {e}})}$

Такім чынам, для вылічэння вытворнай па любым напрамку дастаткова знаць градыент функцыі, то бок вектар, кампаненты якога з’яўляюцца яе частковымі вытворнымі.

Градыент у артаганальных крывалінейных каардынатах

${\displaystyle \operatorname {grad} U(q_{1},q_{2},q_{3})={\frac {1}{H_{1}}}{\frac {\partial U}{\partial q_{1}}}{\vec {e}}_{1}+{\frac {1}{H_{2}}}{\frac {\partial U}{\partial q_{2}}}{\vec {e}}_{2}+{\frac {1}{H_{3}}}{\frac {\partial U}{\partial q_{3}}}{\vec {e}}_{3},}$

дзе ${\displaystyle H_{i}}$ — каэфіцыенты Ламе.

Палярныя каардынаты (на плоскасці)

Каэфіцыенты Ламе:

${\displaystyle {\begin{array}{l}H_{1}=1;\\H_{2}=r.\end{array}}}$

Адсюль:

${\displaystyle \operatorname {grad} U(r,\theta )={\frac {\partial U}{\partial r}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\vec {e_{\theta }}}.}$

Цыліндрычныя каардынаты

Каэфіцыенты Ламе:

${\displaystyle {\begin{array}{l}H_{1}=1;\\H_{2}=r;\\H_{3}=1.\end{array}}}$

Адсюль:

${\displaystyle \operatorname {grad} U(r,\theta ,z)={\frac {\partial U}{\partial r}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\vec {e_{\theta }}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\vec {e_{z}}}.}$

Сферычныя каардынаты

Каэфіцыенты Ламе:

${\displaystyle {\begin{array}{l}H_{1}=1;\\H_{2}=r;\\H_{3}=r\sin {\theta }.\end{array}}}$

Адсюль:

${\displaystyle \operatorname {grad} U(r,\theta ,\varphi )={\frac {\partial U}{\partial r}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\vec {e_{\theta }}}+{\frac {1}{r\sin {\theta }}}{\frac {\partial U}{\partial \varphi }}{\vec {e_{\varphi }}}.}$

Гл. таксама

• Вектарны аналіз
• Тэарэма Гаўса
• Формулы вектарнага аналізу
• Аператар набла
• Класічная тэорыя поля
• Градыент канцэнтрацыі
• 4-градыент
• Аператар Кэнні

Літаратура

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Учебное пособие для физико-математических специальностей университетов, 1986. стр.30