Кальцо (алгебра)

Кальцо́, ці ко́лца^[1] — мноства R з дзвюма аперацыямі, якія ўмоўна называюцца «складаннем» (" ${\displaystyle +}$ ") і «множаннем» (" ${\displaystyle \cdot }$ "), прычым адносна складання R ёсць абелева група, а «множанне» ўзгоднена са «складаннем» паводле размеркавальнага закона.

Прыкладам кальца з'яўляецца мноства ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ цэлых лікаў разам са звычайнымі складаннем і множаннем.

Адмысловым выпадкам кальца з'яўляецца поле, якое адметна найперш тым, што для любога ненулявога элемента існуе адваротны (адносна множання), у выніку чаго становіцца магчымым вызначыць аперацыю дзялення. А вось у кальцы, у агульным выпадку, гэта не так.

Строгае азначэнне

Азначэнне кальца

Кальцо́м называецца мноства R з аперацыямі складання (" ${\displaystyle +}$ ") і множання (" ${\displaystyle \cdot }$ "), якія задавальняюць наступныя ўмовы:

1. ${\displaystyle \left(R,+\right)}$ ёсць абелеваю групай (з нейтральным элементам 0)
2. Складанне і множанне падпарадкоўваюцца размеркавальнаму закону: для любых ${\displaystyle a,b,c\in R}$ справядліва:

   ${\displaystyle a\cdot \left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c,}$ (левы размеркавальны закон)

   ${\displaystyle \left(a+b\right)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$ (правы размеркавальны закон)

Заўвага 1: у азначэнні кальца на аперацыю «множання» накладваецца толькі адна ўмова — размеркавальны закон (правы і левы). І таму, ўвогуле кажучы, у кальцы можа не існаваць адзінкі (адносна «множання»), «множанне» можа быць неперамяшчальным (некамутатыўным), могуць існаваць дзельнікі нуля і г.д.

Заўвага 2: наяўнасць двух размеркавальных законаў неабходна, таму што «множанне» можа быць неперамяшчальным (г.зн. значэнне «здабытку» залежыць ад парадку множнікаў).

Аксіёмы кальца

Мноства R з аперацыямі складання (" ${\displaystyle +}$ ") і множання (" ${\displaystyle \cdot }$ ") з'яўляецца кальцом, калі і толькі калі яно разам з аперацыямі задавальняе сістэму аксіём, якія называюцца аксіёмамі кальца:

1. Уласцівасці складання:
   1. ${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}$ (спалучальны закон)
   2. ${\displaystyle a+b=b+a}$ (перамяшчальны закон)
   3. Існуе элемент ${\displaystyle 0\in R}$ такі, што ${\displaystyle 0+a=a}$ (нейтральны элемент)
   4. Для кожнага ${\displaystyle a\in R}$ існуе адваротны адносна складання элемент ${\displaystyle -a}$, такі што ${\displaystyle (-a)+a=0}$ (процілеглы элемент)
2. Узгодненасць (або дапасаванасць) складання і множання:

   ${\displaystyle a\cdot \left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c,}$ (левы размеркавальны закон)

   ${\displaystyle \left(a+b\right)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$ (правы размеркавальны закон)

Заўвага: дзеля зручнасці, у фармулёўках аксіём прапушчаны словы ўзору "для любых ${\displaystyle a,b,c\in R}$ ".

Зноскі

1. Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.

Літаратура

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — Москва: Факториал Пресс, 2002.