Нармальная падгрупа

Група, алгебра

Тэорыя груп Асноўныя паняцці Падгрупа Нармальная падгрупа Фактаргрупа (паў-)Прамы здабытак Тапалагічныя групы Група Лі Артаганальная група O(n) Спецыяльная ўнітарная група SU(n) G2 F4 E6 E7 E8 Група Лорэнца Група Пуанкарэ

Нармальная падгрупа (таксама інварыянтная падгрупа) — падгрупа адмысловага тыпу, левы і правы сумежныя класы па якой супадаюць. Такія групы важныя, паколькі дазваляюць будаваць фактаргрупу.

Азначэнні

Падгрупа ${\displaystyle N}$ групы ${\displaystyle G}$ называецца нармальнай, калі яна інварыянтная адносна спалучэнняў, гэта значыць для любога элемента ${\displaystyle n}$ з ${\displaystyle N}$ і любога ${\displaystyle g}$ з ${\displaystyle G}$, элемент ${\displaystyle gng^{-1}}$ ляжыць у ${\displaystyle N}$:

${\displaystyle N\triangleleft G\,\iff \,\forall \,n\in N,\forall \ g\in G\,}$ ${\displaystyle gng^{-1}\in {N}}$

Наступныя ўмовы нармальнасці падгрупы эквівалентныя:

1. Для любога ${\displaystyle g}$ з ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle gNg^{-1}\subseteq N}$.
2. Для любога ${\displaystyle g}$ з ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle gNg^{-1}=N}$.
3. Мноствы левых і правых сумежных класаў ${\displaystyle N}$ у ${\displaystyle G}$ супадаюць.
4. Для любога ${\displaystyle g}$ из ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle gN=Ng}$.
5. ${\displaystyle N}$ ізаморфныя аб'яднанню класаў спалучаных элементаў.

Умова (1) лагічна слабей, чым (2), а ўмова (3) лагічна слабей, чым (4). Таму ўмовы (1) і (3) часта выкарыстоўваюцца пры доказе нармальнасці падгрупы, а ўмовы (2) і (4) выкарыстоўваюцца для доказу следстваў нармальнасці.

Прыклады

• ${\displaystyle \{e\}}$ і ${\displaystyle G}$ — заўсёды нармальныя падгрупы ${\displaystyle G}$. Яны называюцца трывіяльнымі. Калі іншых нармальных падгруп няма, то група ${\displaystyle G}$ называецца простай.
• Цэнтр групы — нармальная падгрупа.
• Камутант групы — нармальная падгрупа .
• Любая характарыстычная падгрупа нармальная, так як спалучэнне — гэта заўсёды аўтамарфізм.
• Усе падгрупы ${\displaystyle N}$ абелевай групы G нармальныя, так як ${\displaystyle gN=Ng}$. Неабелева група, у якой любая падгрупа нармальная, называецца гамільтанавай.
• Група паралельных пераносаў ў прасторы любой размернасці — нармальная падгрупа эўклідавай групы; напрыклад, у трохмернай прасторы паварот, зрух і паварот у адваротны бок прыводзіць да простага зруху.
• У групе кубіка Рубіка падгрупа, якая складаецца з аперацый, якія дзейнічаюць толькі на вуглавыя элементы, нармальная, так як ніякае спалучанае пераўтварэнне не прымусіць такую аперацыю дзейнічаць на краёвы, а не вуглавы элемент. Наадварот, падгрупа, якая складаецца толькі з паваротаў верхняй грані, не нармальная, так як спалучэнні дазваляюць перамясціць частцы верхняй грані ўніз.

Уласцівасці

• Нармальнасць захоўваецца пры сюр'ектыўных гомамарфізмах і узяцці зваротных вобразаў.
• Ядро гомамарфізму — нармальная падгрупа.
• Нармальнасць захоўваецца пры пабудове прамога здабытку.
• Нармальная падгрупа нармальнай падгрупы не абавязаная быць нармальнай у групе, г. зн. нармальнасць не транзітыўная. Аднак характарыстычная падгрупа нармальнай падгрупы нармальная.
• Кожная падгрупа індэкса 2 нармальная. Калі ${\displaystyle p}$ — найменшы просты дзельнік парадку ${\displaystyle G}$, то любая падгрупа індэкса ${\displaystyle p}$ нармальная.
• Калі ${\displaystyle N}$ — нармальная падгрупа ў ${\displaystyle G}$, то на мностве левых (правых) сумежных класаў ${\displaystyle G/N}$ можна ўвесці групавую структуру па правілу

${\displaystyle (g_{1}N)(g_{2}N)=(g_{1}g_{2})N}$

Атрыманае мноства называецца фактаргрупай ${\displaystyle G}$ па ${\displaystyle N}$.

• N нармальная тады і толькі тады, калі яна трывіяльна дзейнічае на левых сумежных класах ${\displaystyle G/N}$.

Гістарычныя факты

Эварыст Галуа першым зразумеў важнасць нармальных падгруп.

Гл. таксама

• Група
• Падгрупа
• Прамы здабытак

Спасылкі

• Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.:Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
• Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6.