Паказнікавая функцыя

Паказнікавая функцыя
Image of function	set of positive real numbers^[d]
Процілегла	лагарыфм
Медыяфайлы на Вікісховішчы

Графік функцыі y = e^x

Пака́знікавая функцыя ^[1], паказальная функцыя^[2], экспаненцыяльная функцыя — матэматычная функцыя выгляду

${\displaystyle y=e^{x}=\exp(x),}$

дзе е = 2,718… — аснова натуральнага лагарыфму.

Паказнікавая (паказальная) функцыя прымае толькі дадатныя значэнні пры сапраўдных значэннях х. На камплекснай плоскасці яна прымае ўсе камплексныя значэнні, акрамя нуля. Графік функцыі называецца экспанентай. Адваротнай да паказнікавай (паказальнай) з’яўляецца лагарыфмічная функцыя (таму паказнікавую функцыю часам называюць антылагары́фмам).

У курсе матэматычнага аналізу разглядаецца паказнікавая функцыя віду

${\displaystyle f(x)=a^{x},}$

дзе ${\displaystyle a}$ — аснова паказнікавай функцыі, ${\displaystyle x}$ — паказнік ступені, аргумент паказнікавай функцыі.

Абсяг (вобласць) вызначэння паказнікавай функцыі ёсць мноствам усіх рэчаісных (сапраўдных) лікаў ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Звычайна прымаюць, што ${\displaystyle a}$ — рэчаісны (сапраўдны) дадатны лік, не роўны адзінцы.

У тэорыі функцый камплекснай зменнай аснова ${\displaystyle a}$ можа быць любым камплексным лікам, не роўным нулю і адзінцы.

Уласцівасці

Сувязь з лагарыфмам

Няхай ${\displaystyle a}$ — рэчаісны лік, ${\displaystyle a>0}$ і ${\displaystyle a\neq 1}$.

Для любых рэчаісных ${\displaystyle x}$ праўдзяцца наступныя дзве тоеснасці

• ${\displaystyle a^{\log _{a}x}=x}$

• ${\displaystyle \log _{a}\left(a^{x}\right)=x}$

Заўвага 1: гэтыя тоеснасці ёсць сімвальным запісам таго факту, што лагарыфм па аснове ${\displaystyle a}$ ёсць адваротнай функцыяй для паказнікавай функцыі с той жа асновай ${\displaystyle a}$.

Заўвага 2: калі ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ і ${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$, гэтыя тоеснасці справядлівыя толькі з пэўнымі абмоўкамі.

Заўвага 3: для натуральнай паказнікавай функцыі гэтыя тоеснасці маюць выгляд

${\displaystyle e^{\ln x}=x,}$

${\displaystyle \ln \left(e^{x}\right)=x.}$

Арыфметычныя ўласцівасці

Уласцівасці паказнікавай функцыі напрамую вынікаюць з уласцівасцей аперацыі ўзвядзення ў ступень.

• Сувязь з арыфметычным коранем: няхай ${\displaystyle q}$ — натуральны лік, ${\displaystyle p}$ — цэлы лік. Тады

${\displaystyle {\sqrt[{q}]{a^{p}}}=a^{\frac {p}{q}}}$

• Найпрасцейшыя тоеснасці:

${\displaystyle a^{0}=1,}$

${\displaystyle a^{1}=a,}$

${\displaystyle {\frac {1}{a}}=a^{-1},}$

${\displaystyle a^{-x}={\frac {1}{a^{x}}}=\left({\frac {1}{a}}\right)^{x}.}$

• Здабытак значэнняў паказнікавай функцыі ў розных пунктах

${\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}}$

• Узвядзенне паказнікавай функцыі ў ступень

${\displaystyle \left(a^{x}\right)^{y}=a^{x\cdot y}}$

• Здабытак паказнікавых функцый з агульным паказнікам

${\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}=(a\cdot b)^{x}}$

• Паказнікавая функцыя ад лінейнай функцыі

${\displaystyle a^{k\cdot x+b}=a^{b}\cdot \left(a^{k}\right)^{x}}$

Заўвага: гэта ўласцівасць можа быць карысная пры пабудове графікаў.

• Пераход да другой асновы

${\displaystyle a^{x}=b^{x\cdot \log _{b}a}}$

Заўвага: дзякуючы гэтай і папярэдняй уласцівасці, любую функцыю выгляду

${\displaystyle f(x)=c\cdot a^{k\cdot x+b},}$

дзе ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle k}$ і ${\displaystyle b}$ — некаторыя лікавыя сталыя, можна прывесці да выгляду

${\displaystyle f(x)=c_{1}\cdot e^{k_{1}\cdot x},}$

дзе, у сваю чаргу, ${\displaystyle c_{1}}$ і ${\displaystyle k_{1}}$ — іншыя лікавыя сталыя, якія залежаць ад ${\displaystyle a}$,${\displaystyle c}$, ${\displaystyle k}$ і ${\displaystyle b}$.

Адсюль і вынікае, што для вывучэння любой паказнікавай функцыі дастаткова ведаць паводзіны натуральнай паказнікавай функцыі e^x.

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўласцівасці

• Вытворная паказнікавай функцыі

${\displaystyle \left(a^{x}\right)'=a^{x}\cdot (\ln a).}$

• Першаісная паказнікавай функцыі

${\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C,}$

дзе ${\displaystyle C}$ — адвольная сталая.

Заўвага: для натуральнай паказнікавай функцыі гэтыя роўнасці маюць выгляд

${\displaystyle \left(e^{x}\right)'=e^{x},}$

${\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C.}$

Азначэнні функцыі

У гэтым раздзеле пад паказнікавай функцыяй будзем разумець функцыю ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$.

1. Як граніца^[3]:

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

2. Як сума бясконцага шэрагу^[3]:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots ,}$

дзе сімвалам n! пазначаны фактарыял ліку n.

3. Паказнікавая функцыя ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ ёсць адзінай вымéрнай па Лебéгу функцыяй з умовай ${\displaystyle f(1)=e}$, якая задавальняе функцыянальнае раўнанне

${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$

для ўсіх ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$.

4. Паказнікавая функцыя ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ ёсць адзінай усюды непарыўнай функцыяй, якая задавальняе ўмову ${\displaystyle f(1)=e}$ і функцыянальнае раўнанне

${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$

для ўсіх ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$.

Формула Ойлера і сувязь з трыганаметрычнымі функцыямі

Асноўны артыкул: Формула Ойлера

Найбольш цікавыя ўласцівасці функцыі ${\displaystyle e^{x}}$ выяўляюцца толькі пры разглядзе гэтай функцыі на камплекснай плоскасці.

Формула Ойлера^[3]:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

Гл. таксама

• Ступеняванне
• Лагарыфм

Зноскі

1. Матэматычная энцыклапедыя / гал. рэд. В. Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.
2. Вучэбная праграма для агульнаадукацыйных устаноў з беларускай мовай навучання. Матэматыка. V—XI класы. Мн.: Нацыянальны інстытут адукацыі, 2009.
3. Энциклопедия элементарной математики / Под ред. П.С. Александрова, А.И. Маркушевича и А.Я. Хинчина. — Москва - Ленинград: ГТТИ, 1952. — Т. 3 (Функции и пределы).

Літаратура

• Паказнікавая функцыя // БЭ ў 18 т. Т. 11. Мн., 2000.

Спасылкі

• «Экспонента и число е: просто и понятно» (руск.) — пераклад артыкула An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained (англ.)