Рад Фур’е

Вынікі дадавання членаў рада Фур'е пры прыбліжэнні разрыўнай кавалкава-пастаяннай функцыі

Рад Фур'е — прадстаўленне адвольнай функцыі ${\displaystyle f}$ з перыядам ${\displaystyle \tau }$ у выглядзе рада

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{+\infty }A_{k}\cos \left(2\pi {\frac {k}{\tau }}x+\theta _{k}\right)}$

Гэты рад можна таксама запісаць у відзе

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{i2\pi {\frac {k}{\tau }}x},}$

дзе

${\displaystyle A_{k}}$ — амплітуда k-га гарманічнага вагання,

${\displaystyle 2\pi {\frac {k}{\tau }}=k\omega }$ — кругавая частата гарманічнага вагання,

${\displaystyle \theta _{k}}$ — пачатковая фаза k-га вагання,

${\displaystyle {\hat {f}}_{k}}$ — k-я камплексная амплітуда.

У больш агульным выглядзе радам Фур'е элемента гільбертавай прасторы называецца раскладанне гэтага элемента па артаганальнаму базісу. Існуе мноства сістэм артаганальных функцый: Уолша, Лагера, Кацельнікава і інш.

Раскладанне функцыі ў рад Фур'е з'яўляецца магутным інструментам пры рашэнні самых розных задач дзякуючы таму, што рад Фур'е празрыстым чынам паводзіць сябе пры дыферэнцаванні, інтэграванні, зруху функцыі па аргументу і згортцы функцый.

Рад названы так у гонар французскага матэматыка Жана Фур'е.

Трыганаметрычны рад Фур'е

Трыганаметрычным радам Фур'е функцыі ${\displaystyle f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])}$ называюць функцыянальны рад віду

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)}$

(1)

дзе

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)dx,}$

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx,}$

${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx,}$

Лікі ${\displaystyle a_{0}}$, ${\displaystyle a_{n}}$ і ${\displaystyle b_{n}}$ (${\displaystyle n=1,2,\ldots }$) называюцца каэфіцыентамі Фур'е функцыі ${\displaystyle f}$. Формулы для іх можна растлумачыць наступным чынам. Дапусцім, трэба прадставіць функцыю ${\displaystyle f\in L_{2}([0,2\pi ])}$ у выглядзе рада (1), і трэба вызначыць невядомыя каэфіцыенты ${\displaystyle a_{0}}$, ${\displaystyle a_{n}}$ і ${\displaystyle b_{n}}$. Калі дамножыць правую частку (1) на ${\displaystyle \cos(kx)}$ і праінтэграваць па прамежку ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$, дзякуючы артаганальнасці ў правай частцы ўсе складнікі будуць роўныя нулю, акрамя аднаго. З атрыманай роўнасці лёгка выражаецца каэфіцыент ${\displaystyle a_{k}}$. Гэтак жа для ${\displaystyle b_{k}}$.

Рад (1) збягаецца к функцыі ${\displaystyle f}$ у прасторы ${\displaystyle L_{2}([-\pi ,\pi ])}$. Іншымі словамі, калі абазначыць праз ${\displaystyle S_{k}(x)}$ частковыя сумы рада (1):

${\displaystyle S_{k}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{k}(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx),}$

то іх сярэдняе квадратовае адхіленне ад функцыі ${\displaystyle f}$ будзе імкнуцца к нулю:

${\displaystyle \lim \limits _{k\rightarrow \infty }\int \limits _{-\pi }^{\pi }(f(x)-S_{k}(x))^{2}dx=0.}$

Нягледзячы на збежнасць стандартнага адхілення, рад Фур'е функцыі, увогуле кажучы, не абавязан збягацца к ёй папунктава.

Часта пры рабоце з радамі Фур'е бывае зручней у якасці базіса выкарыстоўваць замест сінусаў і косінусаў экспаненты ўяўнага аргумента. Разгледзім прастору ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )}$ камплесназначных функцый са скалярным здабыткам

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}dx}$.

Таксама разгледзім сістэму функцый

${\displaystyle \varphi _{k}(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx),\quad k\in \mathbb {Z} .}$

Як і раней, гэтыя функцыі з'яўляюцца папарна артаганальнымі і ўтвараюць поўную сістэму, і такім чынам, любую функцыю ${\displaystyle f\in L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )}$ можна раскласці па іх у рад Фур'е:

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ikx},}$

дзе рад у правай частцы збягаецца к ${\displaystyle f}$ па норме ў ${\displaystyle f\in L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} ).}$ Тут

${\displaystyle {\hat {f}}_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}dx.}$

Каэфіцыенты ${\displaystyle {\hat {f}}_{k}}$ звязаны з класічнымі каэфіцыентамі Фур'е па наступных формулах:

${\displaystyle {\hat {f}}_{k}={\begin{cases}(a_{k}-ib_{k})/2,&k>0,\\a_{0}/2,&k=0,\\(a_{|k|}+ib_{|k|})/2,&k<0.\end{cases}}}$

${\displaystyle a_{k}={\hat {f}}_{k}+{\hat {f}}_{-k},\quad k>0,}$

${\displaystyle b_{k}=i({\hat {f}}_{k}-{\hat {f}}_{-k}),\quad k>0.}$

• Камплексная функцыя рэчаіснай зменнай раскладаецца ў такі ж рад Фур'е па ўяўных экспанентах, як і рэчаісная, але ў адрозненне ад апошняй, у яе раскладанні ${\displaystyle {\hat {f}}_{k}}$ і ${\displaystyle {\hat {f}}_{-k}}$ не будуць, наогул кажучы, камплексна спалучанымі.

Абагульненні

Рады Фур'е ў гільбертавай прасторы

Апісаную вышэй канструкцыю можна абагульніць з выпадка прасторы ${\displaystyle L^{2}[-\pi ,\pi ]}$ з трыганаметрычнай сістэмай на адвольную гільбертаву прастору. Няхай зададзеныя артаганальная сістэма ${\displaystyle \{\varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...\}}$ ў гільбертавай прасторы ${\displaystyle R}$ і ${\displaystyle f}$ — адвольны элемент з ${\displaystyle R}$. Дапусцім, трэба прадставіць ${\displaystyle f}$ у выглядзе (бесканечнай) лінейнай камбінацыі элементаў ${\displaystyle \{\varphi _{k}\}}$:

${\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\varphi _{n}.}$

Дамножым гэты выраз на ${\displaystyle \varphi _{k}}$. З улікам артаганальнасці сістэмы функцый ${\displaystyle \{\varphi _{k}\}}$ усе складнікі рада аказваюцца нулямі, акрамя складніка пры n = k:

${\displaystyle (f,\varphi _{k})=c_{k}\|\varphi _{k}\|^{2}.}$

Паслядоўнасць лікаў

${\displaystyle c_{k}={\frac {(f,\varphi _{k})}{\|\varphi _{k}\|^{2}}}}$

называецца каардынатамі, ці каэфіцыентамі Фур'е элемента ${\displaystyle f}$ па сістэме ${\displaystyle \{\varphi _{k}\}}$, а рад

${\displaystyle \sum _{k}c_{k}\varphi _{k}}$

называецца радам Фур'е элемента ${\displaystyle f}$ па артаганальнай сістэме ${\displaystyle \{\varphi _{k}\}}$.

Рад Фур'е любога элемента ${\displaystyle f}$ па любой артаганальнай сістэме збягаецца ў прасторы ${\displaystyle R}$, але яго сума не абавязкова роўная ${\displaystyle f}$. Для ортанармаванай сістэмы ${\displaystyle {\varphi _{k}}}$ у сепарабельнай гільбертавай прасторы наступныя ўмовы раўназначныя:

• сістэма з'яўляецца базісам, г. зн. сума рада Фур'е любога элемента роўная гэтаму элементу.
• сістэма з'яўляецца поўнай, г. зн. у ${\displaystyle R}$ не існуе ненулявога элемента, артаганальнага ўсім элементам ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\dots ,\varphi _{n},\dots }$ адначасова.
• сістэма з'яўляецца замкнутай, г. зн. для любога ${\displaystyle f\in R}$ справядліва роўнасць Парсеваля

  ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }c_{k}^{2}=\|f\|^{2}.}$

• лінейныя камбінацыі элементаў ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...}$ шчыльныя ў прасторы ${\displaystyle R}$.

Калі гэтыя ўмовы не выконваюцца, то сума рада Фур'е элемента ${\displaystyle f}$ роўная яго артаганальнай праекцыі на замыканне лінейнай абалонкі элементаў ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\dots ,\varphi _{n},\dots .}$ У гэтым выпадку замест роўнасці Парсеваля справядліва няроўнасць Беселя:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }c_{k}^{2}\leq \|f\|^{2}.}$

Прыклады  

Трыганаметрычныя функцыі ${\displaystyle \sin(kx)}$, ${\displaystyle \cos(kx)}$ утвараюць базіс гільбертавай прасторы ${\displaystyle L_{2}[-\pi ,\pi ]}$. Калі мы разгледзім толькі косінусы ці толькі сінусы, то такая сістэма больш не будзе поўнай. Замыканне лінейнай абалонкі функцый ${\displaystyle \cos(kx)}$ — гэта ўсе цотныя функцыі з ${\displaystyle L_{2}}$, а замыканне лінейнай абалонкі функцый ${\displaystyle \sin(kx)}$ — усе няцотныя функцыі. Вынікам раскладання функцыі ${\displaystyle f}$ у рады Фур'е па гэтых сістэмах будуць адпаведна цотная і няцотная часткі функцыі ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle \sum \limits _{0}^{n}a_{k}\cos(kx)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}},}$

${\displaystyle \sum \limits _{1}^{n}b_{k}\sin(kx)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}.}$

Яшчэ цікавейшая сітуацыя ўзнікае пры разглядзе сістэмы ${\displaystyle \{e^{ikx}\}_{k=0}^{+\infty }}$. Гэта сістэма зноў не будзе поўнаю. Замыканне яе лінейнай абалонкі — прастора Хардзі ${\displaystyle H_{2}}$. Элементы гэтай прасторы — тыя і толькі тыя функцыі ${\displaystyle f\in L_{2}}$, што ${\displaystyle f(t)=g(e^{it})}$, дзе ${\displaystyle g}$ — гранічныя значэнні некаторай функцыі, аналітычнай у крузе ${\displaystyle |z|<1}$ на мяжы гэтага круга

Дваістасць Пантрагіна

Асноўны артыкул: Дваістасць Пантрагіна

Пры абагульненні радоў Фур'е на выпадак гільбертавых прастор губляюцца ўласцівасці, якія звязваюць рады Фур'е са згорткаю — тое, што каэфіцыенты Фур'е згорткі функцый з'яўляюцца пачленнымі здабыткамі іх каэфіцыентаў Фур'е, і наадварот, каэфіцыенты Фур'е здабытку прадстаўляюцца згорткаю каэфіцыентаў Фур'е сумножнікаў. Гэтыя ўласцівасці ключавыя для прыкладанняў тэорыі Фур'е да рашэння дыферэнцыяльных, інтэгральных і іншых функцыянальных ураўненняў. Таму найбольш цікавымі з'яўляюцца такія абагульненні радоў Фур'е, для якіх гэтыя ўласцівасці захоўваюцца. Такім абагульненнем з'яўляецца тэорыя дваістасці Пантрагіна. Яна разглядае функцыі, зададзеныя на лакальна-кампактных абелевых групах. Аналагам рада Фур'е такой функцыі будзе функцыя, зададзеная на дваістай групе.

Збежнасць рада Фур'е

Збежнасць рада Фур'е

Агляд вынікаў аб збежнасці рада Фур'е

Абазначым праз ${\displaystyle S_{N}(f,x)}$ частковыя сумы рада Фур'е функцыі ${\displaystyle f(x)}$:

${\displaystyle S_{N}(f,x):=\sum \limits _{k=-N}^{N}{\hat {f}}_{k}e^{ikx}.}$

Далей абмяркоўваецца збежнасць паслядоўнасці функцый ${\displaystyle S_{N}(f,x)}$ к функцыі ${\displaystyle f(x)}$ у розных сэнсах. Функцыя ${\displaystyle f}$ лічыцца ${\displaystyle 2\pi }$-перыядычнаю (калі яна зададзена толькі на прамежку ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$, яе можна перыядычна працягнуць).

• Калі ${\displaystyle f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])}$, то паслядоўнасць ${\displaystyle S_{N}(f,x)}$ збягаецца к функцыі ${\displaystyle f(x)}$ у сэнсе ${\displaystyle L_{2}}$. Акрамя таго, ${\displaystyle S_{N}(f,x)}$ з'яўляюцца найлепшым (у сэнсе адлегласці ў ${\displaystyle L_{2}}$) прыбліжэннем функцыі ${\displaystyle f}$ трыганаметрычным мнагачленам ступені не больш за ${\displaystyle N}$.
• Збежнасць радоў Фур'е ў зададзеным пункце ${\displaystyle x_{0}}$ — лакальная ўласцівасць, г. зн. калі функцыі ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ супадаюць у некаторым наваколлі ${\displaystyle x_{0}}$, то паслядоўнасці ${\displaystyle S_{N}(f,x_{0})}$ і ${\displaystyle S_{N}(g,x_{0})}$ альбо адначасова разбягаюцца, альбо адначасова збягаюцца, і ў гэтым выпадку іх граніцы супадаюць.
• Калі функцыя ${\displaystyle f}$ дыферэнцавальная ў пункце ${\displaystyle x_{0}}$, то яе рад Фур'е ў гэтым пункце збягаецца к ${\displaystyle f(x_{0})}$. Больш дакладныя дастатковыя ўмовы ў тэрмінах гладкасці функцыі ${\displaystyle f}$ задаюцца прыкметаю Дзіні.
• Функцыя, непарыўная ў пункце ${\displaystyle x_{0}}$, можа мець разбежны ў ёй рад Фур'е. Але, калі ён збягаецца, то абавязкова к ${\displaystyle f(x_{0})}$. Гэта вынікае з таго, што для непарыўнай у ${\displaystyle x_{0}}$ функцыі ${\displaystyle f}$ паслядоўнасць ${\displaystyle S_{N}(f,x_{0})}$ збягаецца па Чэзара к ${\displaystyle f(x_{0})}$.
• Калі функцыя ${\displaystyle f}$ разрыўная ў пункце ${\displaystyle x_{0}}$, але мае граніцы ў гэтым пункце справа і злева ${\displaystyle f(x_{0}+0)\neq f(x_{0}-0)}$, то пры некаторых дадатковых умовах ${\displaystyle S_{N}(f,x_{0})}$ збягаюцца к ${\displaystyle (f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0))/2}$. Падрабязней гл. мадыфікаваную прыкмету Дзіні.
• Тэарэма Карлесана: калі ${\displaystyle f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])}$, то яе рад Фур'е збягаецца к ёй амаль усюды. Гэта верна і калі ${\displaystyle f\in L_{p}([-\pi ,\pi ]),p>1}$. Аднак, існуюць функцыі з ${\displaystyle L_{1}([-\pi ,\pi ])}$, чый рад Фур'е разбягаецца ва ўсіх пунктах (тэарэма Калмагорава).
• Возьмем пункт ${\displaystyle x_{0}\in (-\pi ,\pi )}$. Тады мноства ўсіх непарыўных функцый, чый рад Фур'е збягаецца ў гэтым пункце, з'яўляецца мноствам першай катэгорыі ў прасторы ${\displaystyle C([-\pi ,\pi ])}$. У некаторым сэнсе гэта азначае, што «тыповая» непарыўная функцыя мае разбежны рад Фур'е.

Спаданне каэфіцыентаў Фур'е і аналітычнасць функцыі

Існуе фундаментальная сувязь паміж аналітычнасцю функцыі і скорасцю спадання яе каэфіцыентаў Фур'е. Чым «лепшая» функцыя, тым скарэй яе каэфіцыенты імкнуцца да нуля, і наадварот. Ступеннае спаданне каэфіцыентаў Фур'е ўласцівае функцыям класа ${\displaystyle C^{(k)}}$, а экспаненцыяльнае — аналітычным функцыям. Прыклады такой сувязі:

• Каэфіцыенты Фур'е любой інтэгравальнай функцыі імкнуцца да нуля (лема Рымана — Лебега^[en]).
• Калі функцыя ${\displaystyle f}$ належыць класу ${\displaystyle C^{(k)}([-\pi ,\pi ])}$, г. зн. дыферэнцавальная k разоў і яе k-я вытворная непарыўная, то ${\displaystyle {\hat {f}}_{n}=o\left({\frac {1}{n^{k}}}\right)}$
• Калі рад ${\displaystyle \sum n^{\alpha }{\hat {f}}_{n}}$ збягаецца абсалютна, то ${\displaystyle f\in C^{(k)}([-\pi ,\pi ])}$ пры ўсіх ${\displaystyle k<\alpha }$.
• Калі функцыя належыць класу Гёльдэра з паказчыкам ${\displaystyle \alpha >1/2}$, та рад ${\displaystyle \sum {\hat {f}}_{n}}$ збягаецца абсалютна (тэарэма Бернштэйна).
• Калі ${\displaystyle {\hat {f}}_{n}=O(a^{n}),0<a<1}$, то функцыя ${\displaystyle f}$ з'яўляецца аналітычнаю. Справядліва і адваротнае.

Гл. таксама

• Пераўтварэнне Фур’е
• Хуткае пераўтварэнне Фур'е
• Трыганаметрычны рад
• Прыкмета Жардана
• Прыкмета Дзіні
• Лікавы рад
• АТС тэарэма

Літаратура

• Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.
• Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.
• Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: «Мир», 1965. — Т. 1.