Тэарэма Баеса

Тэарэ́ма Ба́еса — адна з асноўных тэарэм тэорыі імавернасцей, якая дазваляе падлічыць умоўную імавернасць падзеі пры выкананні іншай, статыстычна звязанай з ёй падзеі. Названа ў гонар Томаса Баеса.

Фармулёўка

Калі ${\displaystyle \{A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\}}$ — поўная група падзей і ўсе ${\displaystyle P(A_{k})>0}$, а ${\displaystyle B}$ — падзея, якая таксама адбываецца з дадатнай імавернасцю, то^[1]:39 $${\displaystyle P(A_{k}|B)={\frac {P(A_{k})P(B|A_{k})}{P(B)}}={\frac {P(A_{k})P(B|A_{k})}{\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})}}.}$$

Доказ

Згодна з тэарэмай множання імавернасцей $${\displaystyle P(B)P(A_{k}|B)=P(A_{k}B)=P(A_{k})P(B|A_{k}).}$$

Адсюль праз формулу поўнай імавернасці вынікае, што $${\displaystyle P(A_{k}|B)={\frac {P(A_{k})P(B|A_{k})}{P(B)}}={\frac {P(A_{k})P(B|A_{k})}{\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})}}.}$$

Інтэрпрэтацыя

Падзеі ${\displaystyle A_{k}}$ можна інтэрпрэтаваць як гіпотэзы, ${\displaystyle B}$ — вынік нейкага выпрабавання. Імавернасці ${\displaystyle P(A_{k})}$ — апрыёрныя^[en] (вядомыя або меркаваныя яшчэ перад выпрабаваннем) імавернасці гіпотэз ${\displaystyle A_{k}}$. Імавернасці ${\displaystyle P(A_{k}|B)}$ — апастэрыёрныя^[en] (вылічаныя пасля выпрабавання) імавернасці. Такім чынам, тэарэма Баеса дазваляе вылічыць апастэрыёрныя імавернасці гіпотэз праз іхнія апрыёрныя імавернасці і ўмоўныя імавернасці ${\displaystyle P(B|A_{k})}$^[1]:39.

Прыклад

Няхай маецца дзве скрыні з шарамі. У першай скрыні 9 белых шароў і 1 чорны, а ў другой скрыні 9 чорных шароў і 1 белы. Спачатку выпадкова выбіраецца адна са скрынь, пасля з яе дастаецца шар (у кожнага шара, як і ў кожнай скрыні, імавернасці выбару роўныя паміж сабой). Вядома, што ў канцы працэдуры быў выбраны чорны шар. Патрабуецца знайсці імавернасць таго, што шар даставаўся з першай скрыні.

Развязанне

Увядзём наступныя абазначэнні:

• ${\displaystyle A_{1}}$ — падзея (гіпотэза) «шар даставаўся з першай скрыні».
• ${\displaystyle A_{2}}$ — падзея (гіпотэза) «шар даставаўся з другой скрыні».
• ${\displaystyle B}$ — падзея (вынік выпрабавання) «быў выбраны чорны шар».

З умовы задачы вядомыя апрыёрныя імавернасці ${\displaystyle P(A_{1})=P(A_{2})=1/2}$. З колькасці белых і чорных шароў у кожнай скрыні можна падлічыць умоўныя імавернасці ${\displaystyle P(B|A_{1})=1/10}$, ${\displaystyle P(B|A_{2})=9/10}$. Патрабуецца знайсці апастэрыёрную імавернасць ${\displaystyle P(A_{1}|B)}$ — імавернасць выбару першай скрыні, калі вядома, што выняты шар быў чорным.

Скарыстаем тэарэму Баеса: $${\displaystyle P(A_{1}|B)={\frac {P(A_{1})P(B|A_{1})}{P(A_{1})P(B|A_{1})+P(A_{2})P(B|A_{2})}}=}$$ $${\displaystyle ={\frac {(1/2)*(1/10)}{(1/2)*(1/10)+(1/2)*(9/10)}}=1/10.}$$

Можна падлічыць і апастэрыёрную імавернасць другой гіпотэзы: $${\displaystyle P(A_{2}|B)=1-P(A_{1}|B)=9/10.}$$

Такім чынам, перад эксперыментам абедзве гіпотэзы мелі роўную імавернасць (апрыёрныя імавернасці роўныя ${\displaystyle 1/2}$, няма падстаў аддаваць перавагу той ці іншай гіпотэзе). Карыстаючыся вынікамі эксперыменту (выманне чорнага шара), мы абнавілі нашую ўпэўненасць у тым, якая з гіпотэз насамрэч адбылася (у другой гіпотэзы апастэрыёрная імавернасць вышэй, чым у першай). Такая працэдура ляжыць у аснове статыстычнага метаду баесавага высноўвання^[en].

Зноскі

1. Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.