Тэорыя Бранса — Дыке

Тэорыя Бранса — Дыке (радзей тэорыя Ёрдана — Бранса — Дыке) — скалярна-тэнзарная тэорыя гравітацыі, якая супадае ў адной з частак з агульнай тэорыяй адноснасці. У тэорыі Ёрдана — Бранса — Дыке як скалярна-тэнзарнай метрычнай тэорыі гравітацыйнае ўздзеянне на матэрыю рэалізуецца праз метрычны тэнзар прасторы-часу, а матэрыя ўплывае на метрыку не толькі непасрэдна, але і праз скалярнае поле, якое генеруецца дадаткова, ${\displaystyle \phi }$. З-за гэтага ў тэорыі Ёрдана — Бранса — Дыке гравітацыйная пастаянная ${\displaystyle G}$ не абавязкова сталая, але залежыць ад скалярнага поля ${\displaystyle 1/G\sim \phi }$, якое можа змяняцца ў прасторы і часе.

Гэтая тэорыя атрымала канчатковую фармулёўку ў 1961 годзе ў артыкуле Карла Бранса і Роберта Дыке,^[1] якая абапіралася істотным чынам на працу Паскуаля Ёрдана 1959 года.^[2]. У Залаты век тэорыі адноснасці гэтая тэорыя разглядалася як годны сапернік агульнай тэорыі адноснасці з ліку альтэрнатыўных тэорый гравітацыі.

Як тэорыя, якая зводзіцца да АТА пры спецыяльным наборы параметраў, тэорыя Ёрдана — Бранса — Дыке не можа быць аспрэчана эксперыментамі, што не супярэчаць агульнай тэорыі адноснасці. Аднак прадказанні тэорыі адноснасці, якія пацвярджаюцца эксперыментамі, значна абмяжоўваюць дапушчальную свабоду параметраў тэорыі Ёрдана — Бранса — Дыке. У цяперашні час тэорыю Ёрдана — Бранса — Дыке падтрымлівае меншасць фізікаў.

Параўнанне з агульнай тэорыі адноснасці

Як АТА, так і тэорыя Бранса — Дыке прадстаўляюць сабой прыклады класічных тэорый гравітацыйнага поля, так званых метрычных тэорый. У гэтых тэорыях прастора-час апісваецца метрычным тэнзарам ${\displaystyle g_{ab}}$, а гравітацыйнае поле прадстаўляецца, цалкам або часткова, тэнзарам крывізны Рымана ${\displaystyle R_{abcd}}$, які вызначаецца метрычным тэнзарам.

Усе метрычныя тэорыі задавальняюць прынцыпу эквівалентнасці Эйнштэйна, які на сучаснай геаметрычнай мове сцвярджае, што ў маленькай вобласці прасторы, занадта маленькай, каб у ёй праяўляліся эфекты, звязаныя з крывізной прасторы, усе законы фізікі, якія існуюць у спецыяльнай тэорыі адноснасці, справядлівыя ў лакальнай лорэнцавай сістэме адліку. Адсюль вынікае, што, ва ўсіх метрычных тэорыях праяўляецца эфект гравітацыйнага чырвонага зрушэння.

Як і ў АТА, крыніцай гравітацыйнага поля з’яўляецца тэнзар энергіі-імпульсу. Аднак спосаб, якім наяўнасць гэтага тэнзара ў якой-небудзь вобласці прасторы ўплывае на гравітацыйнае поле ў гэтай вобласці, аказваецца іншым. У тэорыі Бранса — Дыке у дадатак да метрыкі, якая з’яўляецца тэнзарам другога рангу, існуе гэтак жа скалярнае поле ${\displaystyle \phi }$, якое фізічна праяўляецца як змяненне ў прасторы эфектыўнай гравітацыйнай сталай.

Ураўненні поля тэорыі Бранса — Дыке ўтрымліваюць параметр ${\displaystyle \omega }$, так званую канстанту сувязі Бранса — Дыке. Гэта сапраўдная безразмерная канстанта, якая выбіраецца адзін раз і не змяняецца. Зразумела, яе варта выбіраць так, каб яна адпавядала назіранням. Акрамя таго, што існуе фонавае значэнне эфектыўнай гравітацыйнай пастаяннай, якая павінна быць выкарыстана ў якасці межавой ўмовы. Пры ўзрастанні канстанты сувязі тэорыя Бранса — Дыке дае прадказанні, усё больш блізкія да АТА, а на граніцы ${\displaystyle \omega \rightarrow \inf }$ пераходзіць у яе.

У АТА безразмерныя канстанты адсутнічаюць, і, такім чынам, яна лягчэй паддаецца фальсіфікацыі, чым тэорыя Бранса — Дыке. Тэорыі, якія дапускаюць падгонку параметраў, у прынцыпе лічацца меней здавальняючымі, і пры выбары з двух альтэрнатыўных тэорый варта выбіраць тую, якая ўтрымлівае меншую колькасць параметраў (прынцып брытвы Окама). Аднак у некаторых тэорыях такія параметры з’яўляюцца неабходнымі.

Тэорыя Бранса — Дыке з’яўляецца менш строгай, чым АТА і ў яшчэ адным сэнсе — яна дапускае большую колькасць рашэнняў. У прыватнасці, дакладнае вакуумнае рашэнне ўраўненняў Эйнштэйна АТА, дапоўненае трывіяльным скалярным полем ${\displaystyle \phi =1}$, становіцца дакладным вакуумным рашэннем у тэорыі Бранса — Дыке, аднак некаторыя рашэнні, якія не з’яўляюцца вакуумнымі рашэннямі АТА, пры адпаведным выбары скалярнага поля становяцца вакуумнымі рашэннямі тэорыі Бранса — Дыке. Аналагічна, важны клас метрык прасторы-часу, так званых pp-хваль, з’яўляюцца нулявымі пылавымі рашэннямі як у АТА, так і ў тэорыі Бранса — Дыке, аднак у тэорыі Бранса — Дыке існуюць дадатковыя хвалевыя рашэнні, якія маюць геаметрыі, немагчымыя ў АТА.

Як і АТА, тэорыя Бранса — Дыке прадказвае гравітацыйнае лінзаванне і прэцэсію перыгелія планет, якія круцяцца вакол Сонца. Аднак дакладныя формулы, якія апісваюць гэтыя эфекты ў ёй, залежаць ад значэння канстанты сувязі ${\displaystyle \omega }$. Гэта азначае, што з назіранняў можа быць атрымана значэнне ніжняй мяжы на магчымыя значэнні${\displaystyle \omega }$. У 2003 годзе ў ходзе эксперыменту Касіні-Гюйгенс было паказана, што ${\displaystyle \omega }$ павінна перавышаць 40000.

Часта можна пачуць, што тэорыя Бранса — Дыке, у адрозненне ад АТА, задавальняе прынцып Маха. Аднак некаторыя аўтары сцвярджаюць, што гэта не так (асабліва улічваючы адсутнасць кансенсусу аб тым, што, уласна, прадстаўляе сабой прынцып Маха). Звычайна сцвярджаецца, што АТА можа быць атрымана з тэорыі Бранса — Дыке пры ${\displaystyle \omega \rightarrow \infty }$. Аднак Фараоні сцвярджае, што такі пункт гледжання з’яўляецца спрашчэннем. Сцвярджаецца гэтак жа, што толькі АТА задавальняе моцнаму прынцыпу эквівалентнасці.

Ураўненні поля

Ураўненні поля ў тэорыі Бранса — Дыке маюць наступны выгляд:

${\displaystyle \Box \phi ={\frac {8\pi }{3+2\omega }}T}$,

${\displaystyle G_{ab}={\frac {8\pi }{\phi }}T_{ab}+{\frac {\omega }{\phi ^{2}}}(\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\frac {1}{2}}g_{ab}\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi )+{\frac {1}{\phi }}(\nabla _{a}\nabla _{b}\phi -g_{ab}\Box \phi ),}$

дзе

• ${\displaystyle \omega }$ — безразмерная канстанта сувязі Бранса — Дыке,
• ${\displaystyle g_{ab}}$ — метрычны тэнзар,
• ${\displaystyle G_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}}$ — тэнзар Эйнштэйна,
• ${\displaystyle R_{ab}={R^{\,m}}_{amb}}$ — тэнзар Рычы, след тэнзара крывізны,
• ${\displaystyle R={R^{\,m}}_{m}}$ — скаляр Рычы, след тэнзара Рычы,
• ${\displaystyle T_{ab}}$ — тэнзар энергіі-імпульсу,
• ${\displaystyle T}$ — след ${\displaystyle T_{ab}}$,
• ${\displaystyle \phi }$ — скалярнае поле,
• ${\displaystyle \Box }$ — аператар Лапласа — Бельтрамі або каварыянтны хвалевы аператар, ${\displaystyle \Box \phi =\phi _{\;\;;a}^{;a}}$

Першае ўраўненне сцвярджае, што след тэнзара энергіі-імпульсу з’яўляецца крыніцай скалярнага поля ${\displaystyle \phi }$. Раз электрамагнітнае поле робіць уклад толькі ў члены тэнзара энергіі-імпульсу без следу, то ў абласцях прасторы, якія змяшчаюць толькі электрамагнітнае поле (плюс гравітацыйнае поле), правая частка выразу становіцца нулём і ${\displaystyle \phi }$ свабодна праходзіць скрозь электравакуумны рэгіён і ${\displaystyle \phi }$ задавальняе хвалевае ўраўненне (для скрыўлення прасторы). Гэта азначае, што любыя змены ў ${\displaystyle \phi }$ свабодна распаўсюджваюцца праз электравакуумную вобласць; ў гэтым сэнсе мы можам сцвярджаць, што ${\displaystyle \phi }$ з’яўляецца дальнадзеючым полем.

Другое ўраўненне апісвае, якім чынам тэнзар энергіі-імпульсу і скалярнае поле ${\displaystyle \phi }$ сумесна ўплываюць на прастору-час. Злева тэнзар Эйнштэйна можа разглядацца як сярэдняя крывізна. З матэматыкі вынікае, што ў любой метрычнай тэорыі тэнзар Рымана можна запісаць як суму тэнзара Вейля (які таксама называецца канформным тэнзарам крывізны) і складніка, які збіраецца з тэнзара Эйнштэйна.

Для параўнання, ураўненні поля ў агульнай тэорыі адноснасці

${\displaystyle G_{ab}=8\pi T_{ab}.}$

Яно азначае, што ў АТА крывізна Эйнштэйна цалкам вызначаецца тэнзарам энергіі-імпульсу, а іншы складнік, крывізна Вейля, адпавядае частцы гравітацыйнага поля, якая распаўсюджваецца праз вакуум. А ў тэорыі Бранса — Дыке тэнзар Эйнштэйна вызначаецца часткова непасрэдна прысутнымі энергіяй і імпульсам, а часткова дальнадзеючым скалярным полем ${\displaystyle \phi }$.

Ураўненні поля ў вакууме абодвух тэорый атрымліваюцца пры зануленні тэнзара энергіі-імпульсу. Яны апісваюць сітуацыю, калі ўсе палі, акрамя гравітацыйнага, адсутнічаюць.

Дзеянне

Лагранжыян, які змяшчае поўнае апісанне тэорыі Бранса — Дыке, выглядае наступным чынам:

${\displaystyle S={\frac {1}{16\pi }}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\;\left(\phi R-\omega {\frac {\partial _{a}\phi \partial ^{a}\phi }{\phi }}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right),}$

дзе

• ${\displaystyle g}$ — вызначнік метрыкі,
• ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$ — чатырохмерная форма аб’ёму,
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}$ — лагранжыян рэчыва.

Апошні складнік ўключае ў сябе ўклад звычайнай матэрыі і электрамагнітнага поля. У вакууме ён абарачаецца ў нуль, і тое, што застаецца, называецца гравітацыйным складнікам. Для таго, каб атрымаць вакуумныя ўраўненні, мы павінны палічыць яго варыяцыі адносна метрыкі ${\displaystyle g_{ab}}$; гэта дасць нам другое з ураўненняў поля. Пры разліку ж варыяцый адносна скалярнага поля ${\displaystyle \phi }$ мы атрымаем першае з ураўненняў. Заўважым што, у адрозненне ад ураўненняў АТА, складнік ${\displaystyle \delta R_{ab}/\delta g_{cd}}$ не абнуляецца, бо вынік не з’яўляецца поўным дыферэнцыялам. Можна паказаць, што:

${\displaystyle {\frac {\delta (\phi R)}{\delta g^{ab}}}=\phi R_{ab}+g_{ab}g^{cd}\phi _{;cd}-\phi _{;ab}.}$

Каб даказаць гэта, скарыстаем тое, што

${\displaystyle \delta (\phi R)=R\delta \phi +\phi R_{mn}\delta g^{mn}+\phi \nabla _{s}(g^{mn}\delta \Gamma _{nm}^{s}-g^{ms}\delta \Gamma _{rm}^{r}).}$

Пры вылічэнні ${\displaystyle \delta \Gamma }$ ў Рыманавых нармальных каардынатах 6 індывідуальных складнікаў аказваюцца роўнымі нулю. Яшчэ 6 могуць быць скамбінаваны, выкарыстоўваючы тэарэму Стокса, што дае ${\displaystyle (g_{ab}g^{cd}\phi _{;cd}-\phi _{;ab})\delta g^{ab}}$.

Для параўнання, у агульнай тэорыі адноснасці лагранжыян мае выгляд:

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\;({\frac {R}{16\pi G}}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }).}$

Лічачы варыяцыі гравітацыйнага члена адносна ${\displaystyle g_{ab}}$, атрымліваем палявыя ўраўненні Эйнштэйна ў вакууме.

У абодвух тэорыях поўныя палявыя ўраўненні можна атрымаць шляхам варыяцый поўнага лагранжыяна, так што яны валодаюць дзеяннем.

Глядзіце таксама

• Гравітацыя

Зноскі

1. Brans, C. H.; Dicke, R. H. (1961). "Mach's Principle and a Relativistic Theory of Gravitation". Physical Review. 124 (3): 925–935. doi:10.1103/PhysRev.124.925. Архівавана з арыгінала 8 лістапада 2012. Праверана 21 жніўня 2013.
2. Jordan, P. (1959). "Zum gegenwärtigen Stand der Diracschen kosmologischen Hypothesen". Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei. 157 (1): 112–121. doi:10.1007/BF01375155.(недаступная спасылка)

Спасылкі

У Вікікнігах можна знайсці дадатковыя матэрыялы па тэме:

«Gravity»

• P. G. Bergmann (1968). "Comments on the scalar-tensor theory". Int. J. Theor. Phys. 1: 25. doi:10.1007/BF00668828.
• R. V. Wagoner (1970). "Scalar-tensor theory and gravitational waves". Phys. Rev. D1: 3209.
• Misner, Charles; Thorne, Kip S.; & Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
  См. Box 39.1.
• Will, Clifford M. (1986). Was Einstein Right?: Putting General Relativity to the Test. NY: Basic Books. ISBN 0-19-282203-9.
  Chapter 8: «The Rise and Fall of the Brans-Dicke Theory».
• Faroni, Valerio (1999). "Illusions of general relativity in Brans-Dicke gravity". Phys. Rev. D59: 084021.
  Также препринт в ArXiv.
• Faraoni, Valerio (2004). Cosmology in scalar-tensor gravity. Boston: Kluwer. ISBN 1-4020-1988-2.
• Carl H. Brans, The roots of scalar-tensor theory: an approximate history (нявызн.). ArXiv. Праверана June 14 2005.