Тетраедрално число

Правилен тетраедър от 35 сфери

Тетраедралното число или триъгълното пирамидално число е фигурно число, представляващо правилен тетраедър (триъгълна пирамида). Всяко n-то тетраедрално число се получава като сбор на първите n на брой триъгълни числа. Това се представя като:

${\displaystyle T_{n}=\sum _{k\mathop {=} 1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}}$

или

${\displaystyle T_{n}={n(n+1)(n+2) \over 6}}$

Първите тетраедрални числа са:^[1]

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, 1540, 1771, 2024, 2300, 2600, 2925, 3276, 3654, 4060, 4495, 4960, 5456, 5984, 6545, 7140, 7770, 8436, 9139, 9880…

Доказателство

Индуктивно формулата за n-тото тетраедрално число се доказва чрез формулата за триъгълно число ${\displaystyle {\mathit {Tri}}_{n}={n(n+1) \over 2}}$, тъй като всяко следващо тетраедрално число n+1 се получава чрез добавяне на n+1 триъгълно число:

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n+1}\quad &=T_{n}+Tri_{n+1}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}\\&={\frac {(n+1)(n+2)(n+3)}{6}}.\end{aligned}}}$

Свойства

• Тетраедралните числа следват определена повторяемост едно нечетно число е следвано от три четни числа.
• Има само 3 тетраедрални числа, които са същевременно и квадратни:

T₁ = 1 = 1²

T₂ = 4 = 2²

T₄₈ = 19 600 = 140²

• Има само 5 тетраедрални числа, които са същевременно и триъгълни:^[2]

1, 10, 120, 1540 и 7140.

• Сборът от две поредни тетраедрални числа (n-1 и n) е равен на сбора от квадратите до n:

T_n-1 + T_n = 1² + 2² + 3² … + n²

Връзка с тригълника на Паскал

${\displaystyle {\begin{array}{c}\\1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\{\underline {1}}\quad 3\quad 3\quad {\underline {1}}\\1\quad {\underline {4}}\quad 6\quad {\underline {4}}\quad 1\\1\quad 5\quad {\underline {10}}\quad {\underline {10}}\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad {\underline {20}}\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad {\underline {35}}\quad {\underline {35}}\quad 21\quad 7\quad 1\\\\\end{array}}}$

Триъгълник на Паскал с подчертани тетраедралните числа

Тетраедралните числа присъстват в триъгълника на Паскал на 4-то място (от ляво надясно или обратно) на всеки ред след 3-тия.

Вижте също

• Тетраедър
• Триъгълно число

Източници

1. Последователност A000292 в OEIS
2. Последователност A027568 в OEIS