Q.E.D.

Книгата на Филип ван Лансберг от 1604 г. Triangulorum Geometriæ използва израза на латински: quod erat demonstrandum за завършек на някои от доказателствата; други завършват с изрази като sigillatim deinceps demonstrabitur, magnitudo demonstranda est, и други подобни.^[1]

Оригиналният текст на „Етика“ на Спиноза, Част 1, където Q.E.D. се използва в края на Demonstratio на Propositio III на дясната страница

Q.E.D. или QED е съкращение от латинската фраза quod erat demonstrandum, която означава „това, което трябваше да се докаже“.^[2] Традиционно, със съкращението или със съответстващия му графичен символ „квадратче“ се обозначава краят на математическо доказателство или философско разсъждение в печатни публикации.

Съответната гръцка фраза ὅπερ ἔδει δεῖξαι (hoper edei deixai; съкращавано до ΟΕΔ) е използвано от много древногръцки математици, включително Евклид и Архимед.^[3] Латинската фраза или производният от нея акроним е използван от много ренесансови математици и философи, включително Галилео Галилей, Барух Спиноза, Айзък Бароу и Исак Нютон.^[4]

Вероятно най-известната употреба на „Q.E.D.“ във философията е „Етика“-та на Барух Спиноза, публикувана посмъртно през 1677 година и смятана от много изследователи за най-съществения му труд. Стилът и подредбата в книгата са, по думите на Спиноза, „представени в геометричен ред“, като аксиомите и дефинициите са последвани от твърдения, подлежащи на доказване. Според Спиноза, това е съществено подобрение на философското изложение в сравнение със стила на писане на Рене Декарт в книгата му „Медитации“, която следва форм̀ата на дневник.

Символ за край на доказателството

Поради изключителното значение на доказателствата в математиката, математиците от времето на Евклид до наши дни са разработили конвенции за обозначаване на началото и края на доказателството. При формулирането на теоремите, лемите и твърденията, които трябва да бъдат доказани, текстът им е форматиран с курсивен шрифт. Началото на доказателството обикновено започва непосредствено след твърдението, което трябва да се докаже, като началото е указано с думата „Доказателство“ в курсив или получер шрифт. Изрази, с които доказателствата типично завършват, са „с това доказателството е завършено“, „което се търсеше“, „следователно твърдението е доказано“, „откъдето следва верността на твърдението“ и подобни. Съществуват няколко символни конвенции, с които се указва краят на доказателството.

Въпреки че някои автори още ползват класическото съкращение Q.E.D., то е относително рядко в съвременните математически текстове. Първи математикът от унгарски произход Паул Халмос въвежда употребата на плътно запълнено черно квадратче в края на доказателството – практика, която се е превърнала в стандарт, макар и не универсален. Халмос заимства идеята от практиките в типографията на списанията, където проста геометрична фигура се ползва за указване на край на статия. В AMS Theorem Environment за LaTeX, символът по подразбиране за край на доказателство е квадратче, визуализиран чрез командата $\qed$, $\qedhere$ или $\square$. Някои автори са възприели да ползват две // или четири наклонени черти ////. В някои случаи авторите са избрали типографски да разграничат доказателствата, като ги оформят като блокове текст с отстъп навътре.

Източници

1. Philippe van Lansberge. Triangulorum Geometriæ. Apud Zachariam Roman, 1604. с. 1–5. quod-erat-demonstrandum 0-1700.
2. Definition of QUOD ERAT DEMONSTRANDUM // Посетен на 2017-09-03.
3. Elements 2.5 by Euclid (ed. J. L. Heiberg), retrieved 16 July 2005
4. Earliest Known Uses of some of the Words of Mathematics (Q) // Посетен на 2019-11-04.