Декартов лист

Декартов лист

Декартов лист е вид равнинна алгебрична крива, с уравнение в декартови координати:

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy}$ при ${\displaystyle a\neq 0}$

и в полярни координати:

${\displaystyle r={\frac {\sin 2\varphi }{\sin ^{3}\varphi +\cos ^{3}\varphi }}}$,

където ${\displaystyle \varphi }$ e ъгълът между радиус-вектор към точка от кривата и абсцисната ос.

Декартовият лист има параметрично представяне:

${\displaystyle {\begin{cases}x={\dfrac {3at}{1+t^{3}}}\\y={\dfrac {3at^{2}}{1+t^{3}}}\end{cases}}}$,

където ${\displaystyle t}$ е тангенсът на ъгъла между радиус-вектора и абсцисната ос.

Кривата е симетрична относно правата y = x. Ролята на нейна асимптота играе правата g = -x – a. В точка O декартовият лист има двойна точка и допирателните в нея са координатните оси.

Лицето на областта, заградено от примката, е равно на лицето на областта между кривата и асимптотата. Заедно те са равни на ${\displaystyle S={\frac {3}{2}}a^{2}}$.

Декартовият лист е частен случай при ${\displaystyle n=0}$ на по-широк клас криви с уравнение ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy-n}$. При ${\displaystyle n<0}$ кривата се разпада на две части, като примката се обособява в отделна затворена равнинна крива, а при ${\displaystyle n>0}$ примката и точката на самопресичане изчезват.^[1]

Кривата е въведена и първо изследвана от Рене Декарт през 1638 г., става известна от кореспонденция между Декарт и Ферма. Декарт е изследвал основно примката, а пълната форма на кривата е определена през 1692 г. от Кристиан Хюйгенс и Йохан Бернули. Декарт използва названието „лист“ (feuille), а названието „Декартов лист“ е наложено от Даламбер.

Вижте също

• къдрица на Анези, строфоида, трактриса, цисоида

Източници

1. Декартов лист в електронния учебник по диференциална геометрия на проф. Г. Станилов, ФМИ-СУ, архив на оригинала от 29 септември 2007, https://web.archive.org/web/20070929133554/http://www.fmi.uni-sofia.bg/projects/daad/ebooks/diffgeom/chapter5-1.html, посетен на 22 септември 2006 

• „Математически енциклопедичен речник“, В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983
• „Математический энциклопедический словарь“, Ю. В. Прохоров, „Советская энциклопедия“, Москва, 1988
• „Математически термини“, Н.В. Александрова, ДИ Наука и изкуство, София, 1984

Външни препратки

• Страница за декартовия лист на сайта на Система Mathematica
• Java аплет, изобразяващ декартовия лист интерактивно^{[неработеща препратка]}