Категория (математика)

Категория е математическа структура, която по определение ^[1] включва:

А. Два класа от елементи

1. Клас от обекти X;

2. Клас от морфизми (или стрелки) ${\displaystyle \phi }$, понятие, което идва от комутативните диаграми, където морфизмите се означават със стрелки.

3. Четири оператора:

3.1. Оператор cod, присвояващ на всеки морфизъм ${\displaystyle \phi }$ обект cod ${\displaystyle \phi }$, кодомейн на ${\displaystyle \phi }$, (В някои текстове вместо означението cod се среща означението tgt – target.)

3.2. Оператор dom, присвояващ на всеки морфизъм ${\displaystyle \phi }$ обект dom ${\displaystyle \phi }$, домейн на ${\displaystyle \phi }$ (В някои текстове вместо означението dom се среща означението src – source.)

3.3. Оператор id, присвояващ на всеки обект X морфизъм ${\displaystyle 1_{X}}$, морфизъм на идентичността на X, за който dom ${\displaystyle 1_{X}}$ = cod ${\displaystyle 1_{X}}$ = X,

3.4. Бинарен оператор, наречен композиция, присвояващ на всяка композируема двойка ${\displaystyle (\alpha }$, ${\displaystyle \beta )}$, т.е., на всяка двойка морфизми ${\displaystyle (\alpha }$, ${\displaystyle \beta )}$ с dom ${\displaystyle \beta }$ = cod ${\displaystyle \alpha }$, морфизъм ${\displaystyle \beta \circ \alpha }$ с

${\displaystyle dom\ \beta \circ \alpha =dom\ \alpha }$

${\displaystyle cod\ \beta \circ \alpha =cod\ \beta }$

4. Асоциативност на оператора за композиция ${\displaystyle \circ }$:

Ако f, g и h са морфизми,

${\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)}$.

Това са твърдениета, които формират хипотезата на категорията ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$.

Морфизмът на идентичност ${\displaystyle 1_{X}}$ за всеки обект X може да бъде анулиран от всяка една композиция в смисъл, че

• за всеки морфизъм ${\displaystyle \phi }$ с dom ${\displaystyle \phi }$ = X имаме ${\displaystyle \phi \circ 1_{X}=\phi }$

• за всеки морфизъм ${\displaystyle \psi }$ с cod ${\displaystyle \psi }$ = X имаме ${\displaystyle 1_{X}\circ \psi =\psi }$

Източници

1. [ Chriss Hillman, Categorical primer ((en)), архив на оригинала от 1 март 2015, https://web.archive.org/web/20150301051236/http://synrc.com/publications/cat/Category%20Theory/General%20Theory/hillman01categorical.pdf, посетен на 1 август 2012  Chriss Hillman, Categorical primer ((en))]

Външни препратки

• Кратък увод в представата за категория, илюстриран с прости примери, ((en))

• Jaap van Oosten, Basic Category Theory, ((en))

Тази статия, свързана с математика, все още е мъниче. Помогнете на Уикипедия, като я редактирате и разширите.