Комплексен вектор

RLC-контур, свързан последователно, и съответстващата фазова диаграма за определена ω.

Сумата от комплексни вектори като сбор на въртящи се вектори.

Комплексен вектор е термин, използван във физиката и инженерството, за въртящ се вектор, представящ изменяща се по синусоиден закон величина. Дължината му изразява амплитудата на величината, а ъгловата скорост на въртене на вектора е равна на ъгловата честота на величината. Фазовият ъгъл между две величини може да се представи с ъгъла между техните комплексни вектори.

Често срещан случай в електрическите мрежи е наличието на различни синусоиди с една и съща честота, но с различни амплитуда и фаза. Единствета разлика при аналитичното им представяне е комплекснат аамплитуда.

Важна допълнителна особеност на преобразуването на комплексните вектори е, че диференцирането и интегрирането на синусоидалните сигнали (имащи постоянна амплитуда, период и фаза) съответстват на прости алгебрични действие върху комплексните вектори. По този начин, тези преобразувания позволяват изчисляването на променливотокови RLC-контури (колебателни контури) чрез решаване на прости алгебрични уравнения (макар и с комплексни коефициенти) спрямо комплексните вектори, вместо диференциални уравнения (с реални коефициенти) спрямо времето.^[1][2] Преобразуването на комплексните вектори за пръв път е изучавано от Чарлз Щайнмец в General Electric към края на 19 век.^[3][4]

Определение

Формулата на Ойлер сочи, че синусоидите могат да се представят математически като сбор от две комплексни функции:

${\displaystyle A\cdot \cos(\omega t+\theta )=A\cdot {\frac {e^{i(\omega t+\theta )}+e^{-i(\omega t+\theta )}}{2}},}$

или като реалната част на едната от функциите:

${\displaystyle {\begin{aligned}A\cdot \cos(\omega t+\theta )=\operatorname {Re} \{A\cdot e^{i(\omega t+\theta )}\}=\operatorname {Re} \{Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t}\}.\end{aligned}}}$

Функцията ${\displaystyle A\cdot e^{i(\omega t+\theta )}}$ се нарича аналитично представяне на ${\displaystyle A\cdot \cos(\omega t+\theta )}$.

Източници

1. William J. Eccles. Pragmatic Electrical Engineering: Fundamentals. Morgan & Claypool Publishers, 2011. ISBN 978-1-60845-668-0. с. 51.
2. Introduction to Electric Circuits. 8th. John Wiley & Sons, 2010. ISBN 978-0-470-52157-1. с. 661.
3. Circuit Analysis: Theory and Practice. 5th. Cengage Learning, 2012. ISBN 1-285-40192-1. с. 536.
4. Circuit Systems with MATLAB and PSpice. John Wiley & Sons, 2008. ISBN 978-0-470-82240-1. с. 256–261.

Тази статия, свързана с физика, все още е мъниче. Помогнете на Уикипедия, като я редактирате и разширите.