Критерий за устойчивост на Найкуист

Критерият за устойчивост на Найкуист (или Найквист, англ. Nyquist, рус. Найквист) е един от графичните начини да се прецени устойчивостта на затворена система за управление по амплитудно-фазовата честотна характеристика (АФЧХ) на нейното отворено състояние. Това е един от честотните критерии за устойчивост, заедно с критериите на Михайлов и Боде. Среща се още и обединен с първия от тях под името Критерий за устойчивост на Найквист – Михайлов, най-вече в рускоезичната литература. В западноезичната литература е наричан още Критерий за устойчивост на Стрекер – Найкуист. Критерият е открит и различно формулиран в началото на 30-те години на XX век от независимо работещи учени: през 1930 г. от немския електроинженер Феликс Стрекер в Сименс^[1][2][3] и през 1932 г. от шведско-американския електроинженер Хари Найкуист от телефонни лаборатории „Бел“^[4] и руския учен и електроинженер Александър Михайлов.^[5] Оценява се преминаването на графиката (ходографа) на АФЧХ спрямо точка ${\displaystyle (-1;j0)}$ от абсцисната ос. По този критерий е много лесно да се оцени устойчивостта, без да е необходимо да се изчисляват корените на предавателната функция на затворената система за автоматично управление (САУ).

Ходограф на Найкуист

Условие за устойчивост

Предавателната функция на затворена динамична система за автоматично управление (САУ) може да бъде представена във вид на дроб

${\displaystyle \ \Phi (p)={\frac {N(p)}{D(p)}}}$,

където ${\displaystyle \ p=j\omega }$, ${\displaystyle \ \omega }$ е кръговата честота. Корените на уравнението на числителя ${\displaystyle \ N(p)=0}$ се наричат нули, а корените на уравнението на знаменателя ${\displaystyle \ D(p)=0}$ – полюси. Устойчивост на системата се достига, когато всичките полюси на предавателната функция ${\displaystyle \ \Phi (p)}$ са в лявата полуравнина ${\displaystyle \ s}$, т.е. с отрицателна реална част. Не трябва да има полюси в дясната полуравнина. Ако предавателната функция ${\displaystyle \ \Phi (p)}$ се получава чрез затваряне на отрицателна обратна връзка на отворена система с предавателна функция

Затворен контур, описан от ходографа при честоти ${\displaystyle \ \omega }$ = -∞ ÷ +∞

${\displaystyle \ W(p)={\frac {A(p)}{B(p)}}}$, тогава ${\displaystyle \ N(p)=W(p)}$,

${\displaystyle \ D(p)=W^{*}(p)={1+W(p)}}$ и

${\displaystyle \ \Phi (p)={\frac {W(p)}{1+W(p)}}}$

и полюсите на предавателната функция на затворената система са корени на уравнението ${\displaystyle \ 1+W(p)=0}$, наречено характеристично уравнение на системата.

Формулировки на критерия

Обща формулировка

„

Нека ${\displaystyle \Gamma _{p}\ }$ е затворен контур в комплексната равнина, получен от ходографа при изменение на честотата от 0 до ∞, ${\displaystyle \ z}$ е броят на полюсите на ${\displaystyle \ W(p)}$, оградени от контура ${\displaystyle \Gamma _{p}\ }$ и ${\displaystyle \ n}$ е броят на нулите на ${\displaystyle \ W(p)}$ [т.е. броят на полюсите на ${\displaystyle \ \Phi (p)}$], оградени от ${\displaystyle \Gamma _{p}\ }$. За да бъде устойчива затворената система, трябва полученият контур ${\displaystyle \Gamma _{W(p)}\ }$ в равнината ${\displaystyle \ W(p)}$ да огражда по часовниковата стрелка ${\displaystyle \ s=n-z}$ пъти точката с координати ${\displaystyle \ (-1;j0)}$.

“

Контурът се нарича ходограф на Найкуист. На фигурите ходографът започва от точката с нулева честота вдясно на абсцисната ос и с увеличаване на честотата се описва спираловидно към началото на координатната система. Очевидно е, че той ще огражда точката ${\displaystyle \ (-1;j0)}$ поне един път само ако ${\displaystyle \ n>z}$, т. е. ако нулите са повече от полюсите. Ако полиномите ${\displaystyle \ N(p)}$ и ${\displaystyle \ D(p)}$ на предавателната функция ${\displaystyle \ \Phi (p)}$ са такива, че при решаване на уравненията ${\displaystyle \ N(p)=0}$ и ${\displaystyle \ D(p)=0}$ се установи, че нулите не са повече от полюсите ${\displaystyle \ n}$ ≤ ${\displaystyle \ z}$, ${\displaystyle \ s}$ ≤ ${\displaystyle 0}$, тогава затворената система ще бъде устойчива ако ходографът не огражда точката ${\displaystyle \ (-1;j0)}$.

Устойчива отворена статична САУ

„

Затворената САУ е устойчива, ако при изменение на честотата от 0 до ∞ ходографът на характеристичния вектор на отворената система ${\displaystyle \ W(p)}$ не обхваща точката ${\displaystyle \ (-1;j0)}$. Ако ходографът минава вляво от точката ${\displaystyle \ (-1;j0)}$, системата е неустойчива, а ако минава през нея, системата е на границата на устойчивост.

“

Критерий на Найкуист при устойчива отворена статична САУ: червен ходограф – неустойчива затворена САУ; зелен ходограф: устойчива затворена САУ със запас по амплитуда и фаза.

Следствие

Затворената САУ е устойчива, ако при изменение на честотата от 0 до ∞ сумарният ъгъл на завъртане на вектора ${\displaystyle \ W^{*}(p)=1+W(p)}$ е равен на нула.

Устойчива отворена астатична САУ

В този случай предавателната функция на отворената система може да бъде представена в следния вид:

${\displaystyle \ W(p)={\frac {K.W_{1}(p)}{p^{v}}}}$,

където ${\displaystyle \ v}$ е броят на интегриращите звена (ред на астатизъм на системата);

${\displaystyle \ W_{1}(p)}$ – предавателна функция на едно звено.

За вектора на амплитудно-фазовата честотна характеристика при ${\displaystyle \ p=j\omega }$ и ${\displaystyle \ \omega =0}$ се получава

${\displaystyle \ W(j.0)={\frac {K.W_{1}(j.0)}{j^{v}.0^{v}}}={\frac {K.W_{1}(j.0)}{0}}=}$ ∞,

Следователно, за разлика от статичните САУ, за които при ω=0 съответства точка от ходографа на W(jω) върху реалната ос, ходографът на W(jω) на астатичните САУ при ω=0 остава незатворена линия, което не дава възможност за точно определяне на изменението на аргумента на W*(jω) при изменение на честотата от 0 до ∞ и възпрепятства анализа на устойчивостта на затворените системи, когато отворените системи са астатични. Това се дължи на факта, че астатичната система има ${\displaystyle \ v}$ нулеви корени на характеристичното си уравнение.

За да се получи затворена крива на астатичната САУ, на практика се постъпва по следния начин:
С дъга с безкрайно голям радиус се свързват началният участък на ходографа W(jω) /при ω=0/ и реалната положителна полуос на комплексната равнина. Пресечната точка на дъгата с реалната положителна полуравнина се разглежда като фиктивна точка ω=0 и се приема за начало на ходографа W(jω), откъдето започва измерването на изменението на аргумента на W*(jω) при изменение на честотата ω от 0 до ∞ за анализа на устойчивостта на затворените системи.

При такова допълнение на ходографа W(jω) на отворената астатичната система разглежданият критерий на Найквист за отворени статични САУ остава валиден за отворени астатични САУ.

Неустойчива отворена САУ

Отворените САУ по принцип са устойчиви. Те могат да бъдат неустойчиви, само когато съдържат неустойчиви звена или елементи, обхванати с положителна обратна връзка. След затваряне на системата с отрицателна обратна връзка, при определени условия тя може да стане устойчива.

„

Затворената система ще бъде устойчива, ако при изменение на честотата ω от 0 до ∞ сумарният ъгъл на завъртане φ* на вектора ${\displaystyle \ W^{*}(j\omega )}$ против часовниковата стрелка е равен на ${\displaystyle \ l\pi }$, където ${\displaystyle \ l}$ е броят на положителните корени на характеристичното уравнение на отворената система.

“

Този критерий може да се формулира в по-удобна форма за практическо използване. Затова се въвежда правило за знаците на преходите: преминаването на ходографа W(jω) през реалната ос отгоре надолу се смята за положително, а отгоре надолу – за отрицателно. Така може да се формулира критерият за устойчивост по следния начин:

„

Затворената САУ ще бъде устойчива, ако разликата между положителните и отрицателните преходи на ходографа ${\displaystyle \ W(j\omega )}$ на отворената система през участъка (– ∞; -1) на реалната ос е равна на ${\displaystyle \ l/2}$, където ${\displaystyle \ l}$ е броят на положителните корени на характеристичното уравнение на отворената система.

“

Вижте също

• Критерий за устойчивост на Михайлов
• Критерий за устойчивост на Раус
• Критерий за устойчивост на Хурвиц
• Критерий за устойчивост на Вишнеградски
• Критерий за устойчивост на Боде
• Маркеры устойчивости линейных динамических систем
• Критерий за устойчивост в пространството на състоянията
• ЛАФЧХ

Източници

1. Reinschke, Kurt (2014). "Chapter 4.3. Das Stabilitätskriterium von Strecker-Nyquist". Lineare Regelungs- und Steuerungstheorie (in German) (2 ed.). Springer-Verlag. p. 184. ISBN 978-3-64240960-8. Retrieved 2019-06-14.
2. Bissell, Christopher C. (2001). "Inventing the 'black box': mathematics as a neglected enabling technology in the history of communications engineering" (PDF). Archived (PDF) from the original on 2019-06-14. Retrieved 2019-06-14.
3. Strecker, Felix (1947). Die elektrische Selbsterregung mit einer Theorie der aktiven Netzwerke (in German). Stuttgart, Germany: S. Hirzel Verlag [de]. (NB. Earlier works can be found in the literature section.)
4. Nyquist, Harry (January 1932). "Regeneration Theory". Bell System Technical Journal. USA: American Telephone and Telegraph Company (AT&T). 11 (1): 126–147. doi:10.1002/j.1538-7305.1932.tb02344.x.
5. Михайлов А. В. – Метод гармонического анализа в теории регулирования – „Автоматика и телемеханика“, 1938, № 3, с. 27−81.

Литература

• Михайлов А. В. – О новом подходе исследования замкнутых регулируемых систем – издание „Автоматика и телемеханика“, № 8, 1973.
• Nyquist, H. – Regeneration theory – „Bell System Technical Journal“, № 11, 1932, pp. 126-147.
• Чернецкий В. И. – Математическое моделирование динамических систем – издательство „Петрозаводский госуд. ун-т“, Петрозаводск, 1996, 432 страницы, ISBN 5-230-08981-4.