Линеен оператор

В математиката, линеен оператор (също линейно изображение или линейна трансформация) е изображение V → W между два модула (например две векторни пространства), което запазва операциите на събиране и скаларно умножение. Ако дадено линейно изображение е биекция, тогава става дума за линеен изоморфизъм.^[1][2]

Важен частен случай е V = W, където линейното изображение се нарича ендоморфизъм на V. Линейният оператор позволява на V и W да се различават, стига да са реални векторни пространства.

Линейният оператор винаги преобразува векторно подпространство върху векторно подпространство (по възможност с по-малко измерения).^[3] Например, той преобразува равнина през началото на координатната система към равнина, права линия или точка. Линейните оператори често могат да се представят във вида на матрици.

В контекста на абстрактната алгебра, линейното изображение е модулен хомоморфизъм. В теорията на категориите, това е морфизъм в категорията на модулите върху даден пръстен.

Определение

При дадени векторни пространства ${\textstyle V}$ и ${\textstyle W}$ върху едно и също поле ${\textstyle K}$, функцията ${\textstyle f:V\to W}$ е линеен оператор, ако за кои да е два вектора ${\textstyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$ и кой да е скалар ${\textstyle c\in K}$, са удовлетворени следните две условия:

${\displaystyle f(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=f(\mathbf {u} )+f(\mathbf {v} )}$	адитивност / събиране
${\displaystyle f(c\mathbf {u} )=cf(\mathbf {u} )}$	хомогенност от 1 степен / скаларно умножение

Няма значение дали линейният оператор ще се приложи преди или след операциите на събиране или скаларно умножение, тъй като той запазва тези операции. Чрез асоциативността на операцията за добавяне (+), за всеки вектор ${\textstyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\in V}$ и скалар ${\textstyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in K,}$ важи следното равенство:^[3]

${\displaystyle f(c_{1}\mathbf {u} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {u} _{n})=c_{1}f(\mathbf {u} _{1})+\cdots +c_{n}f(\mathbf {u} _{n}).}$

Обозначавайки нулевите елементи на векторните пространства ${\textstyle V}$ и ${\textstyle W}$ съответно с ${\textstyle \mathbf {0} _{V}}$ и ${\textstyle \mathbf {0} _{W}}$, следва, че ${\textstyle f(\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{W}}$. При ${\textstyle c=0}$ и ${\textstyle \mathbf {v} \in V}$ в уравнението за хомогенност от първа степен:

${\displaystyle f(\mathbf {0} _{V})=f(0\mathbf {v} )=0f(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}.}$

Възможно е ${\textstyle V}$ и ${\textstyle W}$ да са векторни пространства върху различни полета. В такъв случай е нужно да се уточни кое поле се използва при определението за линеен оператор. Ако ${\textstyle V}$ и ${\textstyle W}$ са пространства над едно и също поле ${\textstyle K}$ (както по-горе), тогава става въпрос за ${\textstyle K}$-линейни изображения. Например, комплексното спрегнато на комплексни числа е ${\textstyle \mathbf {R} }$-линейно изображение ${\textstyle \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$, но не е ${\textstyle \mathbf {C} }$-линейно, където символите ${\textstyle \mathbf {R} }$ и ${\textstyle \mathbf {C} }$ обозначават съответните множества на реалните и комплексните числа.

Линейно изображение ${\textstyle V\to K}$, където ${\textstyle K}$ е едномерно векторно пространство, се нарича линейна форма.^[3]

Източници

1. Линейни изображения. Изоморфизъм на линейни пространства.
2. Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis. Third. McGraw-Hill, 1976. ISBN 0-07-085613-3. с. 207.
3. Rudin, Walter. Functional Analysis. Second. McGraw-Hill, 1991. ISBN 0-07-054236-8. с. 14.