Меркаторова проекция

Меркаторова проекция на света между 82 ° S и 82 ° N.

Меркаторовата проекция описва Гренландия като по-голяма от Австралия; в действителност Австралия е повече от три и половина пъти по-голяма от Гренландия.

Меркаторовата проекция е цилиндрична картографска проекция, предложена от фламандския картограф Герардус Меркатор през 1569 г. Тя се превръща в стандартна картографска проекция за морски цели, заради способността си да представлява линии на постоянен курс, известни като локсодроми като прави сегменти, които държат ъглите с меридианите. Въпреки че линейната скала е равна във всички посоки около всяка точка, като по този начин запазва ъглите и формите на малки предмети, Меркаторовата проекция изкривява размера на предметите с увеличаване ширината от екватора до полюсите, където мащабът става безкраен. Така, например, земи като Гренландия и Антарктида изглеждат много по-големи, отколкото са в действителност по отношение на земни маси в близост до екватора, като Централна Африка.

Характеристики

• цилиндрична
• конформна
• паралелите са неравномерно разположени прави линии, сгъстени към екватора; секат меридианите под прав ъгъл
• меридианите са равномерно разположени прави линии
• мащабът е верен по дължината на екватора или при двата равноотдалечени от екватора стандартни паралела (при секантен вариант на проекцията)
• локсодромите са прави линии
• перспективата не се запазва
• полюсите са в безкрайността; големи изкривявания на площите при полюсите
• употреба в навигацията

Проекцията обвива с цилиндър референтния елипсоид (земната сфера) и проектира земната повърхнина конформно (запазвайки ъглите) върху цилиндъра. Възможна е секантна вариация на проекцията при която цилиндъра не се допира до елипсоида, а го сече в два стандартни паралела.^[1]

История

Картата на Герардус Меркатор от 1569 г

Проекцията е използвана за пръв път от Герардус Меркатор в картата му „Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendate Accommodata“ (Ново уголемено описание на Земята с корекции за навигационна употреба), издадена през 1569 г. Описанието на проекцията е дадено в каре, покриващо Северна Америка.^[1]

Употреба

Както при всички картографски проекции, формата и големината са нарушения на реалното оформление на земната повърхност. Меркаторовата проекция увеличава земи, далеч от екватора. Например:

• Гренландия изглежда по-голяма от Африка, когато в действителност площта на Африка е 14 пъти по-голяма, а Гренландия е сравнима по площ с Алжир. Африка също изглежда приблизително същия размер като Европа, когато в действителност Африка е почти 3 пъти по-голяма.
• Аляска заема толкова площ на картата, колкото Бразилия, но площта на Бразилия е почти пет пъти по-голям от тази на Аляска.
• Финландия изглежда с по-голямо северюжно протежение от Индия, въпреки че Индия е по-голяма.
• Антарктида изглежда като най-големият континент (и би била безкрайно голяма на пълна карта), въпреки че тя всъщност е петият по големина континент.

Първата детайлна карта на чужда планета е издадена от USGS през 1972 г. в М1:25 000 000 и изобразява Марс в Меркаторова проекция.^[1]

Българска геодезическа система 2005 (БГС 2005)

Българска геодезическа система 2005 (БГС 2005) въвежда цилиндрична меркаторова проекция за официални нужди в България. Приета е с Постановление на Министерски съвет № 153 от 29 юли 2010 г. за „Въвеждане на „Българска геодезическа система 2005”.^[2]

Изоставя се коничната проекция по предходната БГС 2000, която използва Ламбертова конформна конична проекция и я заменя с цилиндрична проекция. С Наредба № 2 от 2010 г., която детайлизира постановлението, се въвежда Универсална напречна цилиндрична проекция на Меркатор (Universal Transverse Mercator - UTM), и въведената чрез нея система от правоъгълни равнинни координати проекция, която е универсална и глобална.^[3][4]

БГС 2005 синхронизира българската официална координатната система с европейската система ETRS89, реализация ETRF2000,^[5] епоха 2005.^[6]

Трансформация^[1]

За сфероид

Координати от сферична геодезическа референтна система (датум) може да се трансформират към Декартови координати в Меркаторова проекция със следните формули:

${\displaystyle x=R\left(\lambda -\lambda _{0}\right)}$

(1.1)

${\displaystyle y=R\ln \tan \left(\pi /4+\varphi /2\right)}$

(1.2)

или

${\displaystyle y=\left(R/2\right)\left[\ln \left(\left(1+\sin \varphi \right)/\left(1-\sin \varphi \right)\right)\right]}$

(1.2a)

където

${\displaystyle R}$ – е радиусът на сферата

${\displaystyle \lambda ,\varphi }$ – са дадени в радиани

Формули за ${\displaystyle \lambda ,\varphi }$ в градуси:

${\displaystyle x=\pi R\left(\lambda ^{\circ }-\lambda _{0}^{\circ }\right)/180^{\circ }}$

(1.1a)

${\displaystyle y=R\ln \tan \left(45^{\circ }+\varphi ^{\circ }/2\right)}$

(1.2b)

За сфероид, обратна

Декартови координати в Меркаторова проекция може да се трансформират към сферична геодезическа референтна система (датум) със следните формули (в радиани):

${\displaystyle \varphi =\pi /2-2\arctan \left(e^{\left(-y/R\right)}\right)}$

(2.1)

или

${\displaystyle \varphi =\arctan \left[\sinh \left(y/R\right)\right]}$

(2.1a)

${\displaystyle \lambda =x/R+\lambda _{0}}$

(2.2)

където

${\displaystyle e}$ – е Неперовото число

За елипсоид

${\displaystyle x=a\left(\lambda -\lambda _{0}\right)}$

(3.1)

${\displaystyle y=a\ln \left[\tan \left(\pi /4+\varphi /2\right)\left({\frac {1-e\sin \varphi }{1+e\sin \varphi }}\right)^{\left(e/2\right)}\right]}$

(3.2)

или

${\displaystyle y=\left(a/2\right)\ln \left[\left({\frac {1+\sin \varphi }{1-\sin \varphi }}\right)\left({\frac {1-e\sin \varphi }{1+e\sin \varphi }}\right)^{e}\right]}$

(3.2a)

където

${\displaystyle a}$ – е екваториалния радиус на елипсоида

${\displaystyle e}$ – е неговия ексцентрицитет

За елипсоид, обратна

${\displaystyle \varphi =\pi /2-2\arctan \left\{t\left[\left(1-e\sin \varphi \right)/\left(1+e\sin \varphi \right)\right]^{\left(e/2\right)}\right\}}$

(4.1)

където

${\displaystyle t=e^{\left(-y/a\right)}}$

(4.2)

${\displaystyle e}$ – е Неперовото число

за начално ${\displaystyle \varphi }$ се ползва

${\displaystyle \varphi =\pi /2-2\arctan t}$

(4.3)

За изчисляването на ур. 4.1 се използва сходящ итеративен алгоритъм: Изчислява се ${\displaystyle t}$ по ур. 4.2. След това, използвайки начално ${\displaystyle \varphi }$ от ур. 4.3 за дясната част на ур. 4.1, се изчислява ${\displaystyle \varphi }$ вляво. Изчисленото ${\displaystyle \varphi }$ се замества вдясно и калкулацията на ур. 4.1 се повтаря. Итеративният алгоритъм приключва когато изчисленото ${\displaystyle \varphi }$ при текущата и предишната стъпка са еднакви.

${\displaystyle \lambda =x/a+\lambda _{0}}$

(4.4)

Бележки

1. Snyder, John. Map Projections:A Working Manual (USGS Professional Paper: 1395) // USGS, 1987.
2. Обн., ДВ, бр. 61 от 06.08.2010 г.
3. Българска геодезическа система 2005 – история и бъдеще (интервю с инж. Виолета Коритарова) // Геомедия. 22 юли 2022. Посетен на 2022-05-06.
4. Обн., ДВ, бр. 62 от 10.08.2010 г., в сила от 10.08.2010 г.
5. Георгиев, Иван. Нова координатна и височинна системи в България съгласно Постановление на Министерски съвет N 153 от 29 юли 2010 година за „Въвеждане на „Българска геодезическа система 2005“ (PDF) // Институт по океанология "Проф. Фритьоф Нансен" към БАН.
6. Дирекция "Геодезия, картография и ГИС". Основни положения за практическо прилагане на Българска геодезическа система 2005 (БГС2005) // АГКК. Посетен на 2022-05-06.

Общомедия

Общомедия разполага с мултимедийно съдържание за

Меркаторова проекция.