- Метрика пренасочва насам. За термина от стихознанието вижте версификация.
В математиката под метрика се разбира функция, задаваща разстоянието между елементите на дадено множество. Метрично пространство е множество снабдено с метрика.
Една функция
се нарича метрика, ако чрез нея на всяка наредена двойка
от елементи
и
на множеството
се съпоставя реалното число
и за всеки
,
, ![{\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)
![{\displaystyle \!^{\in }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fb74fd0f31125830c91c0088311fc44d2fff062)
са изпълнени следните три условия:[1]
тогава и само тогава, когато
(аксиома за идентичност)
(аксиома за симетричност)
![{\displaystyle \rho (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77e6b579070175c30f334df35d5e465a1423963d)
![{\displaystyle \!^{\leq }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74cc9d8e13da203ac4f3f919f08b75464652af20)
(аксиома на триъгълника или неравенство на триъгълника)
Тези аксиоми отразяват интуитивното понятие за разстояние. Например, разстоянието трябва да е неотрицателна величина (т.е. ![{\displaystyle \rho (x,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c88c295f8f7c77815534eef924a18cd38e097d12)
![{\displaystyle \!^{\geq }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23d1102cf1d969774b27b747033e68a85455835e)
за всеки две
и
, което следва от аксиомата на триъгълника и аксиомата за симетричност при
). Също така разстоянието от
до
е същото, както и от
до
. Неравенството на триъгълника означава, че от
до
може да се стигне по по-къс път, или поне не по по-дълъг, отколкото ако отначало се премине от
до
, а след това от
до
.
Наредената двойка
се нарича метрично пространство.
Понятието е въведено от Морис Фреше през 1906 г.[2]
- Александров П., Введение в теорию множеств и общую топологию, Издательство „Наука“, Москва, 1977
- ↑ Metrischer Raum в: Lexikon der Mathematik, Spektrum-Akademischer Verlag, 2004, ISBN 3-8274-1159-9
- ↑ Метрическое пространство в: Виноградов И., Математическая энциклопедия, т. 3, 1985