Наредена двойка

Наредената двойка е понятие с фундамантално значение за математиката. То се използва при дефиницията на друго важно математическо понятие – функция. Наредена двойка се дефинира по различен начин, но винаги така, че да са изпълнени следните две условия:

• за всяка наредна двойка могат да се определят точно два (не непременно различни) индивидууми, единият от които се нарича първи, а другият – втори елемент на наредената двойка,
• за всеки два индивидууми ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ съществува точно една наредена двойка, така че ${\displaystyle a}$ да е нейният първи елемент, а ${\displaystyle b}$ – вторият.

Наредена двойка с първи елемент ${\displaystyle a}$ и втори елемент ${\displaystyle b}$ се бележи с ${\displaystyle (a,b)}$ или ${\displaystyle \langle }$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle \rangle }$.

Във формализираните на основата на теорията на множествата математически теории (вж. Никола Бурбаки) всеки математически обект е множество.

Това позволява наредена двойка да се дефинира чрез ${\displaystyle (a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}}$ (предложение на Казимеж Куратовски, 1921 г.) или ${\displaystyle (a,b):=}$${\displaystyle \{\{\{a\},}$${\displaystyle \!^{\emptyset }}$${\displaystyle \},\{\{b\}\}\}}$ (предложение на Норберт Винер, 1914 г.).

Формално записана, дефиницията на Куратовски гласи: Едно множество ${\displaystyle A}$ e наредена двойка тогава и само тогава, когато ${\displaystyle \!^{\exists }}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \!^{\exists }}$${\displaystyle b}$${\displaystyle (A=\{\{a\},\{a,b\}\})}$.

Вижте също

• Наредена n-орка

Литература

• Куратовски К., Увод в теория на множествата и топологията, изд. „Наука и изкуство“, София, 1979
• Deiser O., Einführung in die Mengenlehre, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20401-6
• Enderton H., Elements of Set Theory, Academic Press Inc., New York, 1977, ISBN 978-0-12-238440-0
• Hausdorff F., Grundzüge der Mengenlehre, Veit & Comp., Leipzig, 1914 (преиздадена от Chelsea, New York 1949, 1965, 1978)