Непрекъснатост

Казваме че функцията ${\displaystyle f(x)}$ е непрекъсната в точка ${\displaystyle a}$, ако границата:

${\displaystyle \displaystyle \lim _{x\to \ a}f(x)=f(a)}$

Графика на непрекъсната функция в интервала [-5,9]

Интуитивно, една функция е непрекъсната в даден интервал, ако можем да нарисуваме графиката ѝ без да вдигаме молива от листа.

Ако функцията не е непрекъсната в точка а, казваме че точката а е точка на прекъсване.

Забелязваме, че условието за непрекъснатост налага следните изисквания:

1. Функцията ${\displaystyle f(x)}$ е дефинирана в областта около точка а.
2. Границата ${\displaystyle \displaystyle \lim _{x\to \ a}f(x)}$ съществува.
3. Границата ${\displaystyle \displaystyle \lim _{x\to \ a}f(x)=f(a)}$
4. Лявата и дясната граница са равни:

${\displaystyle \displaystyle \lim _{x\to \ a+0}f(x)=\lim _{x\to \ a-0}f(x)=f(a)}$

Непрекъснатостта на една функция е необходимо, но недостатъчно условие за диференцируемостта на функцията. Обратно, диференцируемостта на дадена функция не е необходимо, но е достатъчно условие за непрекъснатостта на функцията.^[1]

Вижте също

• Диференцируемост
• Функция на Вайерщрас – непрекъсната за всяко реално ${\displaystyle x}$, но недиференцируема за всяко реално ${\displaystyle x}$

Източници

1. Тодоров, Добромир, Кирил Николов. Математика. Четвърто издание. Стр. 41-50. УНСС, София, 2009.