Паралелепѝпед (от гръцки: παράλλος – паралелен; επιπεδον – плоскост) е геометричнотяло с шест стени и дванадесет ръба, които се състоят от три групи от по четири успоредни помежду си ръба, както и осем върха. Той е частен случай на четиристенна призма с основауспоредник. Най-често се разглежда вариантът, при който всички стени сключват прав ъгъл с неуспоредните на тях – правоъгълен паралелепипед. Правоъгълен паралелепипед, чийто ръбове са еднакво дълги, се нарича куб. Всички стени на произволен паралелепипед са успоредници, на правоъгълен паралелепипед – правоъгълници, а на куб – квадрати. [1]
Основните елементи на паралелепипеда са ръбове (страни), ъгли, стени и върхове. Допълнителни елементи са диагоналите на стените и телесният диагонал.
Две стени на паралелепипед, които нямат общ ръб, се наричат противоположни, а тези, които имат общ ръб, се наричат съседни.
Два върха на паралелепипед, които не принадлежат на една и съща стена, се наричат противоположни. Отсечката, свързваща противоположни върхове, се нарича телесен диагонал на паралелепипеда. Отсечката, свързваща противоположни върхове на една стена, се нарича диагонал на стената. Дължините на три ръба на правоъгълен паралелепипед, които имат общ връх, се наричат негови размери. Ъглите между ръбовете на произволен паралелепипед в общия случай са различни.
В евклидовата геометрия формата на паралелепипеда се определя изцяло от дължината на трите ръба, идващи от върха, и стойността на трите ъгъла, които образуват между тях. Дължините на трите ръба могат да бъдат избрани произволно, но ъглите, които образуват, са взаимозависими. [2]
Има няколко вида паралелепипеди:
Наклонен – страничните стени не са перпендикулярни на основата.
Прав – страничните стени са перпендикулярни на основата.
Разгънатият вид на паралелепипеда е модел на разгънат многостен, подобен на този на куб, но срещуположните стени се появяват в две различни симетрични ориентации. Този модел илюстрира факта, че трите ъгъла на успоредници, споделящи един и същ връх, трябва да удовлетворяват следните серии от неравенства: [2]
Обемът на правоъгълен паралелепипед е равен на произведението на дължината, ширината и височината му. При куба те са равни и обемът му е равен на трета степен от дължината на страната. Общия случай може чрез разместване да бъде приведен към правоъгълен паралелепипед и обемът на произволен паралелепипед е равен на произведението на площта на основата по височината му. [1]
Понеже лицето на основата и височината се определят векторно като:
и ,
то формулата за обем на паралелепипед придобива следния вид:
Ако се извърши транспониране , тогава обемът е:
Съотношението между дължините на страните на паралелепипеда и ъглите между тях дава твърдението, че детерминантата на Грам на тези три вектора е равна на квадрата на тяхното смесено произведение. [3]
Когато паралелепипедът се определя от дължините и на трите ръба, идващи от един и същи връх, и ъглите и , които те образуват между тях, неговият обем е: [2]
,
където са ъглите между ръбовете и .
Тази формула може да бъде доказана със свойствата на детерминанта и геометричната интерпретация на скаларното произведение. Нека е 3x3-мерна матрица, чиито колонни вектори са векторите . Чрез нея се изразява обема и след преобразуване се получава:
Отчитайки, че:
,
се получава
,
откъдето
Обемът на тетраедъра, построен върху трите ръба, произтичащи от един и същ връх на паралелепипеда, е равен на шестата от обема на паралелепипеда.
В ъгъла, от където започват векторите и , вътрешните ъгли заедно с трите съседни ъгъла образуват тетраедър. Ако се опише сфера около този тетраедър, тогава за триъгълниците в сферата се прилага косинусовата теорема:
Тук е двустенният ъгъл между двете странични повърхности, които лежат върху вектора .
Следователно:
Аналогично се получават двустенните ъгли и с ръбове векторите и .
Паралелепипедът е централно-симетричен спрямо средата на телесния му диагонал (следствие от централната симетрия на стените му).
Всяка отсечка с краища върху паралелепипед и минаваща през средата на телесния му диагонал се разполовява от тази среда.
В частност всички телесни диагонали се пресичат и разполовяват в една точка.
Успоредните помежду си ръбове на паралелепипеда са равни по дължина.
Успоредните стени са еднакви успоредници и съответно имат еднакви обиколка и площ;
Сечението на паралелепипед в зависимост от разположението на секущата равнина може да бъде триъгълник, четириъгълник, петоъгълник и шестоъгълник.
Квадратът на дължината на телесния диагонал на правоъгълен паралелепипед е равен на сумата на квадратите на трите му размера (следствие от Питагоровата теорема).
Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20389-3.
Coxeter, H. S. M. – Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, p. 122, 1973. (Той дефинира паралелотоп като обобщение на успоредник и паралелепипед в n-измерения.)