Петнадесетоъгълник

Правилен петнадесетоъгълник

Петнадесетоъгълникът (също и пентадекагон) е многоъгълник с петнадесет страни и ъгли. Сборът на всички вътрешни ъгли е 2340° (13π). Има 90 диагонала.

Правилен петнадесетоъгълник

При правилния петнадесетоъгълник всички страни и ъгли са равни. Вътрешният ъгъл е 156°, а външният и централният – 24°.

Лице

Лицето S на правилен петнадесетоъгълник може да бъде намерено по три начина:

• По страната a:

${\displaystyle S={\frac {15a^{2}}{8}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)={\frac {15a^{2}}{4}}\cot(12^{\circ })\approx 17,6423629\,a^{2}}$

• По радиуса R на описаната окръжност:

${\displaystyle S={\frac {15R^{2}}{2}}\sin(24^{\circ })\approx 3,0505248\,R^{2}}$

• По радиуса r на вписаната окръжност (т.е. апотемата):

${\displaystyle S=15r^{2}\cdot \tan(12^{\circ })\approx 3,1883484\,r^{2}}$

Построение

Тъй като 15 е произведение на 3 и 5, които са две различни прости числа на Ферма, правилен петнадесетоъгълник може да бъде построен с линийка и пергел:^[1]

Използване

• 

Пентадекаграми

Трите правилни звездовидни многоъгълници са: {15/2}, {15/4}, {15/7}.

Има също три правилни звездовидни многоъгълника: {15/3}, {15/5}, {15/6}; първият е съединение от 3 петоъгълника, вторият – 5 равностранни триъгълника, а третият – 3 пентаграма.

Петриеви многоъгълници

Петнадесеточетиринадесетичник (14D)

Източници

1. Constructible Polygon, mathworld.wolfram.com

Тази статия за геометричен обект все още е мъниче. Помогнете на Уикипедия, като я редактирате и разширите.