Седемнадесетоъгълник

Седемнадесетоъгълникът (или хептадекагон) е многоъгълник със седемнадесет страни и ъгли.

Правилен седемнадесетоъгълник

Сборът на всички вътрешни ъгли е 2700° или ${\displaystyle 15\pi }$ радиана. Има 119 диагонала. Броят им се определя по общата формула за многоъгълник ${\displaystyle D=n(n-3)/2}$, откъдето при ${\displaystyle n=17}$ се получава

${\displaystyle D={\frac {17(17-3)}{2}}=119}$.

Правилен седемнадесетоъгълник е този, при който всички страни и ъгли са равни. Той е представлявал интерес през вековете и е бил обект на дългогодишни научни изследвания. Свързва се най-вече с откритията на немския математик Карл Фридрих Гаус. По-нататък в статията се разглежда правилен седемнадесетоъгълник.

Ъгли

Вътрешният ъгъл е

${\displaystyle \phi ={\frac {2700^{\circ }}{17}}={158{\frac {14}{17}}}^{\circ }=158,82352941176470588235294117647^{\circ }\approx 158,82353^{\circ }.}$

Централният ъгъл и външният ъгъл са

${\displaystyle \mu ={\frac {360^{\circ }}{17}}={21{\frac {3}{17}}}^{\circ }=21,176470588235294117647058823529^{\circ }\approx 21{,}17647^{\circ }.}$

Вътрешен и централен ъгъл на правилен седемнадесетоъгълник

Лице

Лицето S /или площта/ на правилен седемнадесетоъгълник може да бъде намерено по три начина:

• По страната a:

${\displaystyle S={\frac {17a^{2}}{4}}\cot({\tfrac {\pi }{17}})\approx 22,735492\,a^{2}}$

• По радиуса R на описаната окръжност:

${\displaystyle S={\frac {17R^{2}}{2}}\sin({\tfrac {2\pi }{17}})\approx 3,070554\,R^{2}}$

• По радиуса r на вписаната окръжност (т.е. апотемата):

${\displaystyle S=17r^{2}\cdot \tan({\tfrac {\pi }{17}})\approx 3,177851\,r^{2}}$

В литературата и статията в съответствие с чертежа сe използват и други обозначения:
А вместо S, s вместо a, r_u вместо R и r_i вместо r .

Построения

Точно построение и доказателства на Гаус

Тъй като 17 е просто число на Ферма, правилен седемнадесетоъгълник може да бъде построен с линийка и пергел:^[1]

Съобщението на Гаус през 1796 г., че правилният 17-ъгълник може да бъде построен с пергел и линийка. Лист на вестник „Обща литература“, 1796 г., стр. 554.

Това е доказано от Карл Фридрих Гаус в неговата монография „Аритметични изследвания“ през 1796 г., когато е на 19 години.^[2] Той доказва, че ако нечетните прости делители n на окръжността на равни дъги са различни прости числа на Ферма, тоест прости числа от вида ${\displaystyle n=F_{m}=2^{2^{m}}+1}$, тогава правилен n-ъгълник може да бъде построен с помощта на линийка и пергел (Теорема на Гаус-Ванцел). Тук m е цяло неотрицателно цяло число ${\displaystyle m=0,1,2,3,...}$.
При ${\displaystyle m=0}$, ${\displaystyle n=F_{0}=2^{2^{0}}+1=3}$;
при ${\displaystyle m=1}$, ${\displaystyle n=F_{1}=2^{2^{1}}+1=5}$;
при ${\displaystyle m=2}$, ${\displaystyle n=F_{2}=2^{2^{2}}+1=17}$;
при ${\displaystyle m=3}$, ${\displaystyle n=F_{3}=2^{2^{3}}+1=257}$;
при ${\displaystyle m=4}$, ${\displaystyle n=F_{4}=2^{2^{4}}+1=65537}$; и т. н.
Следователно, от правилните n-ъгълници с нечетен брой страни, с линийка и пергел могат да се построят правилен триъгълник, петоъгълник, седемнадесетоъгълник, 257-ъгълник и т. н.

Доказателството на Гаус разчита и на факта, че построимостта е еквивалентна на изразимостта на тригонометричните функции на централния ъгъл в правилния 17-ъгълник чрез аритметични операции и извличане на квадратен корен. Така конструирането на правилен 17-ъгълник включва намиране на косинус от ${\displaystyle 2\pi /17}$ чрез корен квадратен. В същата книга „Аритметични изследвания“ Гаус определя стойността на косинуса на централния ъгъл на седемнадесетоъгълника: ^[3]

${\displaystyle \cos \mu =\cos {\frac {360^{\circ }}{17}}=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{16}}\left({\sqrt {17}}-1+{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}-2{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}}}\right)\approx }$ ${\displaystyle \approx 0{,}93247222940435580457311589182156.}$

Гаус дава тази формула в съвременна нотация, както е представена и в ^[4].

От този резултат произтича конструктивността и се прилага при построението:

Гаусова конструкция на правилния седемнадесетоъгълник.

Освен това резултатът може да се използва и за изчисляване на различни размери на седемнадесетоъгълника, като дължина на страната ${\displaystyle s}$, обиколка (периметър) ${\displaystyle P}$, радиус на вписаната окръжност ${\displaystyle r_{\rm {i}}}$, диагонал върху две страни ${\displaystyle d_{2}}$ и площ ${\displaystyle A}$:

Размери на правилен седемнадесетоъгълник, изразени чрез радиуса на описаната окръжност ${\displaystyle r_{\rm {u}}}$, централния ъгъл ${\displaystyle \textstyle \mu ={\tfrac {360^{\circ }}{17}}=21{\frac {3}{17}}^{\circ }}$ и неговия косинус ${\displaystyle \textstyle \epsilon =\cos \mu }$

Дължина на страната	${\displaystyle s={\sqrt {2\left(1-\epsilon \right)}}\cdot r_{\rm {u}}}$	${\displaystyle \approx 0{,}367499\cdot r_{\rm {u}}}$
Периметър	${\displaystyle P=17{\sqrt {2\left(1-\epsilon \right)}}\cdot r_{\rm {u}}}$	${\displaystyle \approx 6{,}247484\cdot r_{\rm {u}}}$
Радиус на вписаната окръжност	${\displaystyle r_{\rm {i}}={\sqrt {\frac {1+\epsilon }{2}}}\cdot r_{\rm {u}}}$	${\displaystyle \approx 0{,}982973\cdot r_{\rm {u}}}$
Диагонал	${\displaystyle d_{2}=2{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}\cdot r_{\rm {u}}}$	${\displaystyle \approx 0{,}722483\cdot r_{\rm {u}}}$
Площ	${\displaystyle A={\frac {17}{2}}{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}\cdot r_{\rm {u}}^{2}}$	${\displaystyle \approx 3{,}070554\cdot r_{\rm {u}}^{2}}$
Вътрешен ъгъл	${\displaystyle \phi =180^{\circ }-\mu ={\frac {15}{17}}\cdot 180^{\circ }}$	${\displaystyle 158{\frac {4}{17}}^{\circ }}$

Построениe чрез Гаусовата кратка версия на формулата

На 21 юни 1801 г. Гаус представя на Академията в Санкт Петербург така наречената кратка версия в три стъпки за неговата горна формула, която е резултат от групирането на суми от индивидуални косинусови стойности. През 2009 г. Фридрих Л. Бауер ги описва подробно в книгата си „Historische Notes on Computer Science“ в главата „Карл Фридрих Гаус, 17-ъгълникът и MATEMATИКA“. ^[5] В кратката версия са въведени спомагателните величини ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle q'}$:

${\displaystyle q=\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{17}}\right)}$ и

${\displaystyle q'=\cos \left(3\cdot {\frac {2\pi }{17}}\right)+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{17}}\right).}$

Така за косинуса на централния ъгъл се получава резултатът: ^[6]

${\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {1}{2}}q+{\sqrt {{\frac {1}{4}}q^{2}-{\frac {1}{2}}q'}}}$ и

${\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \left(q+{\sqrt {\left(qq-2q'\right)}}\;\right).}$

Построяването чрез Гаусовата кратка версия на формулата включва следните етапи:

• Построяване на спомагателните величини ${\displaystyle p,q}$ и произведението ${\displaystyle qq}$

Тук се прилага:

${\displaystyle p={\frac {-1+{\sqrt {17}}}{4}}}$ и

${\displaystyle q={\frac {p+{\sqrt {1+pp}}}{2}}}$.

При построенията е важно да не се объркат точките N с О, както и P с J или Q, защото са много близки.

В резултат се получава:

${\displaystyle p=AE}$, ${\displaystyle q=IN}$ и

${\displaystyle qq=IQ}$.

• Построяване на спомагателните величини ${\displaystyle p'}$ и ${\displaystyle q'}$.

${\displaystyle p'={\frac {-1-{\sqrt {17}}}{4}}}$, ${\displaystyle q'={\frac {p'+{\sqrt {1+p'p'}}}{2}}}$, ${\displaystyle A'}$, отсечка ${\displaystyle {\overline {A'B'}}=1}$, дъга 90°${\displaystyle (A';r_{1}=1)}$, ${\displaystyle A'C'=A'B'=1}$, ${\displaystyle A'C'}$⊥${\displaystyle A'B'}$, ${\displaystyle B'D'}$⊥${\displaystyle A'B'}$, ${\displaystyle B'D'={\frac {1}{4}}{\overline {A'B'}}}$, ${\displaystyle {\overline {A'D'}}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {17}}}$, окръжност ${\displaystyle (D';r_{0}=D'B')}$, линия ${\displaystyle A'D'E'}$, ${\displaystyle A'E'=p'}$, ¼ кръг ${\displaystyle (A';r_{2}=p'),F',G',C'F'}$, ${\displaystyle G'E'H'}$||${\displaystyle C'F'}$, ${\displaystyle A'H'=p'p'}$, линия ${\displaystyle A'H'I'J'}$, ${\displaystyle H'I'=1}$, ${\displaystyle I'J'=1}$, ${\displaystyle A'K'={\frac {1}{2}}\cdot A'J'}$, ½ кръг ${\displaystyle (K';r=A'K'=K'J')}$, ${\displaystyle I'L'}$⊥${\displaystyle A'J'}$, ${\displaystyle {\overline {I'L'}}={\sqrt {\left(p'p'+1\right)}}}$, ${\displaystyle {\overline {L'M'}}={\overline {A'E'}}=p'}$, ${\displaystyle {\overline {M'N'}}={\overline {N'I'}}=q'}$.

• Построяване на корен квадратен от ${\displaystyle qq-2q'}$ и косинус от централния ъгъл ${\displaystyle \mu }$.

Доказателствата на Гаус представляват първия напредък в изграждането на правилен многоъгълник от над 2000 години. Гаус е бил толкова вдъхновен от откритието си, че в края на живота си завещал на гроба му да бъде изсечен правилен седемнадесетоъгълник. Скулпторът отказва да го направи с аргумента, че конструкцията ще бъде толкова сложна, че резултатът ще бъде неразличим от кръг. ^[2]

Точно построение на Ричмънд

През 1893 г. Хърбърт Уилям Ричмънд публикува изрично описание на построяването на правилен шестоъгълник в 64 стъпки. Тази конструкция е показана по-долу.

Построение правильного семнадцатиугольника

1. Начертава се голям кръг k₁ (бъдещата описана окръжност около 17-ъгълника) с център O.
2. Прекарва се нейният диаметър AB.
3. Построява се към него перпендикуляр m, пресичащ k₁ в точките C и D.
4. Отбелязва се точка E — среда на DO.
5. По средата на EO се отбелязва точка F и се прекарва отсечката FA.
6. Построява се ъглополовящата (бисектрисата) w₁ на ъгъл ∠OFA.
7. Построява се ъглополовящата w₂ на ъгъла между m и w₁, която пресича AB в точка G.
8. От точка F се издига перпендикуляр s към w₂.
9. Построява се ъглополовящата w₃ на ъгъла между s и w₂. Тя пресича AB в точка H.
10. Построява се окръжността на Талес k₂ с диаметър HA и център в точка M. Тя се пресича с CD в точките J и K.

Анимирано построение на Ерхингер

11. Построява се окръжността k₃ с център G през точките J и K. Тя се пресича с AB в точках L и N. Тук е важно да не се обърка N с M, те са много близки.

12. Построява се допирателната към k₃ през точка N.

Пресечните точки на тази допирателна с първоначалната окръжност k₁ са точките P₃ и P₁₄ на желания седемнадесетоъгълник. Ако се вземе средата на получената дъга като P₀ и се нанесе дъгата P₀P₁₄ около кръга три пъти, всички върхове на седемнадесетоъгълника ще бъдат построени.

Построение на Ерхингер

Конструиране на правилен седемнадесетоъгълник с линийка и пергел в 64 стъпки е създадено и от Йоханес Ерхингер.

Построение на Жерард

Л. Жерард построява правилен 17-ъгълник само с пергел и публикува резултата в Mathematische Annalen (48-ми том) през 1897 г. ^[7][8]

Пълно построение на Жерард

Анимирано построение на Жерард

Построение на ДеТемпъл

Изследванията с резултати продължават и в по-ново време. През 1991 г. Дуейн У. ДеТемпъл използва за построение на правилен 17-ъгълник четири така наречени окръжности на Карлайл. ^[9][10]

Пълно построение на ДеТемпъл

Анимирано построение на ДеТемпъл с пауза 20 s в края

Източници и бележки

1. Constructible Polygon, mathworld.wolfram.com
2. Arthur Jones, Sidney A. Morris, Kenneth R. Pearson – Abstract Algebra and Famous Impossibilities, p. 178, ISBN 0387976612, Springer, 1991.
3. Carl Friedrich Gauss – Disquisitiones Arithmeticae, eod books2ebooks, p. 662 item 365.
4. Callagy, James J. – "The central angle of the regular 17-gon", Mathematical Gazette 67, December 1983, 290–292.
5. Friedrich L. Bauer: Historische Notizen zur Informatik. Berlin, Heidelberg 2009, S. 413 (Google Books, Carl Friedrich Gauß, das 17-Eck und MATHEMATICA, Die Methode der Gruppierung).
6. Hans Vollmayr: 17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal. In: Göttinger Bibliotheksschriften 30 „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“ Carl Friedrich Gauß in Göttingen. Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen 2005, ISBN 3-930457-72-5, S. 103 (Das Siebzehneck: die Zeichnung, → „ ... so dass uns am Schluss nur noch die Gleichung ...“).
7. Felix Klein, Walther Dyck, Adolph Mayer – Inhalt des achtundvierzigsten Bandes, Mathematische Annalen, Göttinger Digitalisierungszentrum, Leipzig, 1897. Посетен на 19.10.2021.
8. L. Gérard – Construction du polygone régulier de 17 côtés au moyen du seul compas, Mathematische Annalen, s. 390–392, Göttinger Digitalisierungszentrum, 8.7.1896. Посетен на 20.10.2021.
9. Окръжността на Карлайл (също окръжност на Лил) е специална окръжност в декартовата координатна система, чиито точки на пресичане с оста x съвпадат с точките на пресичане на нормализирана квадратична функция и оста x. Следователно може да се използва за геометрично построяване на нулите на нормализирана квадратична функция.
10. Duane W. DeTemple – Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygon Constructions, wayback 20110811144945, The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 2 (Feb., 1991), p. 101–104. Aufgerufen am 3 April 2017.