Символ на Шлефли

Додекаедърът е правилен многостен със символ на Шлефли {5,3}, имащ 3 петоъгълника около всеки връх.

Символът на Шлефли е комбинаторна характеристика от вида ${\displaystyle \{p,q,r,...\}}$ за описване на правилни многостени във всички измерения. Наречен е на името на швейцарския математик Лудвиг Шлефли (1814–1895),^{[1]:с. 143} който обобщава евклидовата геометрия до повече от три измерения и описва всички правилни многостени в евклидовото пространство с произволни измерения.

Определение

Символът на Шлефли е рекурсивно описание^{[1]:с. 129}, започващо с {p} за p-странен правилен многоъгълник, който е изпъкнал. Например {3} е равностранен триъгълник, {4} е квадрат, {5} – изпъкнал правилен петоъгълник и т. н.

Правилните звездни многоъгълници не са изпъкнали и техните символи на Шлефли {^p/_q} съдържат несъкратими дроби ^p/_q, където p е броят на върховете, а q е плътността на многоъгълника (броят на завъртанията около центъра на n-ъгълника, които се правят при начертаването му с n прави линии). Например {5⁄2} е пентаграма (петолъчна звезда), а {5⁄1} е правилен петоъгълник; {9⁄2} е енеааграма (деветолъчна звезда), а {9⁄1} е правилен деветоъгълник.

Правилен многостен, който има q странични стени правилни p-ъгълници около всеки връх, се определя с {p,q}. Например, кубът има 3 квадрата около всеки връх и се записва {4,3}.

Правилен четиримерен многостен с r {p,q} правилни многоъгълни стени около всеки ръб се записва {p,q,r}. Например, тесеракт се означава с {4,3,3} и има 3 куба {4,3} около всеки ръб.

Като цяло правилният многостен {p,q,r,...,y,z} има z {p,q,r,...,y} фасети около всяка страна, като страна е: връх в тримерен многостен, ръб в четиримерен многостен, стена в 5-мерен многостен и (n-3)-фасета в n-мерен многостен.

Примери

Размерност на пространството	Символ на Шлефли	Многостен
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \{\}}$	Отсечка
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \{3\}}$	Правилен триъгълник
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \{4\}}$	Правилен четириъгълник
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \{5\}}$	Правилен петоъгълник
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \{6\}}$	Правилен шестоъгълник
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \{n\}}$	Правилен n-ъгълник
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle \{3,3\}}$	Правилен тетраедър
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle \{4,3\}}$	Куб
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle \{3,4\}}$	Октаедър
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle \{3,5\}}$	Правилен икосаедър
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle \{5,3\}}$	Правилен додекаедър
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle \{3,3,3\}}$	Петоклетъчник
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle \{4,3,3\}}$	Тесеракт
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle \{3,3,4\}}$	Шестнадесетоклетъчник
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle \{3,4,3\}}$	Двадесетичетириклетъчник
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle \{5,3,3\}}$	Стоидвадесетоклетъчник
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle \{3,3,5\}}$	Шестстотиноклетъчник
${\displaystyle \geq 5}$	${\displaystyle \{3,...,3\}}$	Симплекс
${\displaystyle \geq 5}$	${\displaystyle \{3,...,3,4\}}$	Хипероктаедър
${\displaystyle \geq 5}$	${\displaystyle \{4,3,...,3\}}$	Хиперкуб

Правилни изпъкнали и звездовидни многоъгълници с 3 до 12 върха, обозначени със своите символи на Шлефли. Квадратът е завъртян за по-добра естетика.

Вижте също

• Списък на правилни многомерни многостени и съединения
• Ойлерова характеристика
• Платоново тяло
• Формула на Шлефли

Източници

1. Coxeter, H.S.M. (1973). Regular Polytopes (3rd ed.). New York: Dover.

Литература

• Николай Вавилов КОНКРЕТНАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯАрхив на оригинала от 2020-03-31 в Wayback Machine.