Съседен клас

В теория на групите, левите/десни съседни класове на група ${\displaystyle G\,}$ по дадена подгрупа ${\displaystyle H\,}$, представляват съвкупности от множества, получени чрез умножаване (или събиране, ако записът е адитивен) отляво/отдясно на елементите от групата с всички елементи на подгрупата. Ако левите съседни класове съвпадат със съответните десни съседни класове за всеки елемент на групата, то подгрупата ${\displaystyle H\,}$ се нарича нормална подгрупа на ${\displaystyle G\,}$.

Формално определение

Нека ${\displaystyle G\,}$ е група с мултипликативен запис на операцията, ${\displaystyle H\leq G\,}$ е нейна подгрупа и е даден елемент ${\displaystyle g\in G\,}$. Множеството ${\displaystyle gH=\{gh\,|\,h\in H\}}$ се нарича ляв съседен клас на ${\displaystyle G\,}$ по ${\displaystyle H\,}$. Множеството ${\displaystyle Hg=\{hg\,|\,h\in H\}}$ е десен съседен клас на ${\displaystyle G\,}$ по ${\displaystyle H\,}$.

Свойства

Всеки елемент на групата принадлежи на някой ляв/десен съседен клас.

Един елемент ${\displaystyle g\in G\,}$ принадлежи на дадена подгрупа ${\displaystyle H\leq G\,}$, когато ${\displaystyle gH\,}$ и ${\displaystyle Hg\,}$ съвпадат с ${\displaystyle H\,}$, т.е. ${\displaystyle g\in H\iff gH=H=Hg}$.

Всеки два различни леви/десни съседни класа нямат общи елементи. Ако два леви/десни съседни класа притежават общ елемент, то те съвпадат.

Всяка крайна група (група с краен брой елементи) има еднакъв брой леви и десни съседни класове по дадена подгрупа. Ред на крайна група ${\displaystyle |G|\,}$ е броя на елементите на ${\displaystyle G\,}$

Ако подгрупата, по-която се формират съседните класове, е крайна, то броят на елементите в подгрупата е равен на броя на елементите в съседния ляв/десен клас ${\displaystyle |H|=|gH|=|Hg|\,}$.

Единствено ${\displaystyle eH=H=He\,}$ е ляв/десен съседен клас, който е подгрупа на ${\displaystyle G\,}$, където с ${\displaystyle e\,}$ отбелязваме единичния елемент на ${\displaystyle G\,}$.

Теорема на Лагранж

Нека ${\displaystyle G\,}$ е крайна група и ${\displaystyle H\,}$ е нейна подгрупа. Индекс ${\displaystyle |G:H|\,}$ на ${\displaystyle H\,}$ в ${\displaystyle G\,}$, е броят на левите (десни) съседни класове на ${\displaystyle G\,}$ по ${\displaystyle H\,}$.

Теорема: ${\displaystyle |G|=|H||G:H|\,}$.

Теоремата е наречена на Лагранж — един от пионерите на теория на групите. Първото доказателство е на Абати от 1803.