Теорема на Гаус-Остроградски

Теоремата на Гаус-Остроградски е резултат от векторния анализ, който представя зависимостта между дивергенцията на едно векторно поле и потока на полето през затворена повърхност.

Теоремата следва от един специален случай на теоремата на Стокс, която от своя страна обобщава основния израз в интегралното и диференциално смятане.

Формулировка

Дадено е: ${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{n}}$ компактно множество с частично гладка граница ${\displaystyle A}$. Векторното поле ${\displaystyle {\vec {F}}}$ е непрекъснато върху границата на V и непрекъснато и диференцируемо вътре в областта ${\displaystyle V}$, а ${\displaystyle {\vec {n}}}$ е нормала излизаща от елемента площ ${\displaystyle dA}$. Тогава е в сила:

${\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} {\vec {F}}\;\mathrm {d} V=\oint _{A}{\vec {F}}\cdot {\vec {n}}\;\mathrm {d} A.}$

Приложение

Теоремата е от особена важност във физиката, особено в електромагнетизма (например, при решаването на задачи, свързани с някои от уравненията на Максуел, виж Теорема на Гаус) и хидродинамиката (чийто математически апарат също включва векторния анализ).

История

Първи използва теоремата Жозеф Луи Лагранж през 1762 г. По-късно, независимо от Лагранж и един от друг, теоремата откриват и Карл Фридрих Гаус (1813) и Джордж Грийн (1825). Първото доказателство на теоремата е дадено от Михаил Остроградски през 1831 г.

Вижте също

• Теореми на Грийн
• Функция на Грийн

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Gaußscher Integralsatz в Уикипедия на немски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите. ​ ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.​