Условна вероятност

Условна вероятност е вероятността за настъпване на събитието А, при условие, че В е настъпило. Означава се с P(A|B) и се чете „Условна вероятност на събитието А по отношение на събитието В“ ^[1].

Определение

Математическото определение за условна вероятност се записва по следния начин:

${\displaystyle \Pr(A\mid B)={\frac {\Pr(A\cap B)}{\Pr(B)}},\Pr(B)>0.}$

Където ${\displaystyle \Pr(A\cap B)}$ е общата вероятност двете събития да са се сбъднали, а Pr(B) e вероятността да се е сбъднало събитието В без оглед на другите обстоятелства.

Трябва да се отбележи, че в горните определения не се въвеждат никакви времеви или причинно-следствени връзки между събитията А и В. Както А може да предхожда В, така и обратно.

Въвеждането на условности във вероятностите се осъществява с теоремата на Бейс.

Независимост на две събития

Две събития ${\displaystyle A,B\in {\mathfrak {A}}}$ се наричат независими, тогава и само тогава, когато:

${\displaystyle \Pr(A\cap B)=\Pr(A)\Pr(B).}$

От математическото определение на условните вероятности очевидно следва, че:

${\displaystyle \Pr(A|B)\ =\ \Pr(A)}$

и

${\displaystyle \Pr(B|A)\ =\ \Pr(B).}$

Следствия

За две независими събития ${\displaystyle A,B\in {\mathfrak {A}}}$ е в сила:

1. ${\displaystyle A^{c}}$ e независимо от ${\displaystyle B}$.

2. ${\displaystyle A}$ e независимо от ${\displaystyle B^{c}}$.

3. ${\displaystyle A^{c}}$ e независимо от ${\displaystyle B^{c}}$.

Независимост на ${\displaystyle \sigma }$-Алгебри

Две ${\displaystyle \sigma }$-Алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{1},{\mathfrak {A}}_{2}\in {\mathfrak {A}}}$ се наричат независими, тогава и само тогава, когато:

${\displaystyle \forall A_{1}\in {\mathfrak {A}}_{1},\forall A_{2}\in {\mathfrak {A}}_{2}}$: Събитие ${\displaystyle A_{1}}$ е независимо от събитие ${\displaystyle A_{2}}$.

Допълнителни формули

1.${\displaystyle \Pr(A)=\Pr(A|B)\Pr(B)+\Pr(A|B^{c})\Pr(B^{c}).}$

2.${\displaystyle \Pr(A_{1}\cap ....\cap A_{n})=\Pr(A_{1})\Pr(A_{2}|A_{1})...\Pr(A_{n}|A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{n-1}).}$

3.${\displaystyle \forall A,B\in {\mathfrak {A}},\Pr(A)>0,\Pr(B)>0}$:

${\displaystyle \Pr(A|B)={\frac {\Pr(B|A)\Pr(A)}{\Pr(B)}}.}$ (Формула на Бейс)

Примери

1. Нека разгледаме най-простия пример:този на еднократно хвърления зар. Дадено е вероятностно пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},\Pr )}$, където ${\displaystyle \Omega =\left\{1,2,...,6\right\},{\mathfrak {A}}=\left\{\emptyset ,\Omega ,\left\{2,4,6\right\},\left\{1,3,5\right\}\right\},\Pr \left\{i\right\}={\frac {1}{6}}}$. Интересува ни каква е вероятността да сме хвърлили двойка при положение, че знаем че хвърления зар е четен.

В случая ${\displaystyle {A}=\left\{2\right\},{B}=\left\{2,4,6\right\}}$. Тогава:

${\displaystyle \Pr(A\mid B)={\frac {\Pr(A\cap B)}{\Pr(B)}}={\frac {\Pr(\left\{2\right\}\cap \left\{2,4,6\right\})}{\Pr(\left\{2,4,6\right\})}}={\frac {\frac {1}{6}}{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{3}}.}$

Източници

1. Серафимов, Д. и съавт., Четиризначни математически таблици и формули, изд. Регалия 6, 2003. ISBN 954-8147-12-2

Външни препратки

• Условна вероятност, Формула на Бейс Архив на оригинала от 2008-01-08 в Wayback Machine., лекции по вероятности на проф. Димитър Въндев