Функционно пространство

В математиката, под функционно пространство се разбира множество от функции от даден вид, които изобразяват множеството X в множеството Y. Нарича се пространство, понеже в много приложения има свойство на топологично пространство или на линейно пространство или и на двете.

Примери

Функционните пространства се срещат често в математиката.

• в теория на множествата, степента на булеан на множеството X може да се приравни с множеството на всички функции от X в множеството {0,1}; и да се обозначи с 2^X. По-общо обозначение за множеството от функциите X → Y е Y^X.

• в линейната алгебра множеството от всички линейни трансформации от линейното пространство V в друго линейно пространство W, дефинирани над едно и също поле, е само по себе си линейно пространство;

• във функционалния анализ същото се отнася и до непрекъснатите линейни трансформации. Други примери за топологични линейни пространства са хилбертови пространства и банахови пространства.

• във функционалния анализ множеството на всички функции, които изобразяват множеството на естествените числа в някакво множество X се нарича пространство на редиците. То съдържа всички възможни редици от елементи на X.

• в топологията може да се въведе топология в пространството на непрекъснатите функции от топологично множество X в друго такова Y, вземайки предвид техните свойства. Чест пример е компактно-отворената топология. Друг пример за топология е топологията на сходимостта по точки.

• в алгебричната топология, изучаването на хомотопия е изучаване на дискретни инварианти на функционни пространства;

• в теорията на стохастичните процеси, основната задача е да се построи вероятностна мярка във функционното пространство на пътеките на процеса (функции на времето);

Функционален анализ

Функционалният анализ е изцяло основан на търсенето на начини за преобразуването и изследването на функционни пространства (топологични линейни пространства) с методи, които се използват за крайно-мерни нормирани линейни пространства.

• пространство на Шварц и спрегнатото му пространство от обобщени функции
• пространство Lp
• κ(R) непрекъснатите функции с компактен носител с униформната топология
• B(R) ограничени и непрекъснати функции (ограничена функция)
• C_∞(R) функции, клонящи към 0 в безкрайността
• C^r(R) непрекъснати функции с непрекъснати първи r производни.
• C^∞(R) гладка функция
• C^∞₀ гладки функции с компактен носител
• D(R) с компактен носител в граничната топология
• W^k,p соболево пространство
• O_U холоморфни функции
• линейни функции
• линейни по части функции
• непрекъснати функции, с компактно-отворена топология
• всички функции с топологията на сходимост по точки
• пространство на Харди
• пространство на Хьолдер

Вижте също

• Списък на математически функции

---