Функция скобка

Функциите „скобки“ или функционални скобки са математически функции, с които се обозначават най-близките цели числа до дадено число или дробната му част.
С долни скобки ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ или средни скобки ${\displaystyle [x]}$ се обозначава най-голямото цяло число, което не надвишава (тоест е по-малко от или равно на) ${\displaystyle x}$.^[1] Обратно, горните скобки ${\displaystyle \lceil x\rceil }$ обозначават най-малкото цяло число, което е по-голямо от или равно на ${\displaystyle x}$.
С големи скобки ${\displaystyle \{x\}}$ се обозначава дробната част на ${\displaystyle x}$. Във всички случаи ${\displaystyle x}$ е реално число.

Графика на функциите ⌅x⌆ и ⌇x⌈.

Долни скобки

Функцията „долни скобки“ (подови скобки, на английски: floor – под) или средни скобки е функция, която се обозначава с ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ или ${\displaystyle [x]}$. Често в програмирането ${\displaystyle \mathrm {floor} (x)}$ се ползва вместо писмените обозначения.^[2]

Функцията е дефинирана по следния начин:

За едно реално число ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ е най-голямото цяло число, което е по-малко или равно на ${\displaystyle x}$.

или

${\displaystyle \lfloor x\rfloor :=\max \lbrace n\in \mathbb {Z} |n\leq x\rbrace }$

Обозначението ${\displaystyle [x]}$ е изобретено от Карл Фридрих Гаус.^[3]

Примери:

• ${\displaystyle \lfloor 2,8\rfloor =2}$
• ${\displaystyle \lfloor -3,1\rfloor =-4}$
• ${\displaystyle \lfloor \pi \rfloor =3}$
• ${\displaystyle \lfloor e\rfloor =2}$
• ${\displaystyle \lfloor 5\rfloor =5}$
• ${\displaystyle \lfloor 4{\frac {1}{2}}\rfloor =4}$
• ${\displaystyle \lfloor -3{\frac {2}{5}}\rfloor =-4}$

Свойства

1. За всяко цяло число ${\displaystyle x}$ ⇒ ${\displaystyle [x]=x}$.

2. Вярно е и обратното: Ако ${\displaystyle [x]=x}$, то ${\displaystyle x}$ е цяло.

3. За произволни реални числа ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ e изпълнено ${\displaystyle \quad [x]+[y]\leqslant [x+y][x]+[y]\leqslant [x+y]}$.

4. За произволни реални числа ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ цялата част на сбора

${\displaystyle [x+y]\leqslant [x]+[y]+1[x+y]\leqslant [x]+[y]+1}$.

5. За произволно реално ${\displaystyle x}$ и цяло ${\displaystyle n}$, следва ${\displaystyle \quad [x+n]=[x]+n[x+n]=[x]+n}$.

Горни скобки

Функцията „горни скобки“ (също изписана като ceiling) е дефинирана така:

За едно реално число ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle \lceil x\rceil }$ е най-малкото цяло число, което е по-голямо или равно на ${\displaystyle x}$,

или

${\displaystyle \lceil x\rceil :=\min \lbrace n\in \mathbb {Z} |n\geq x\rbrace }$.

На български език индивидуални имена за горната скобка не са често срещани; в тази статия се ползва горни скобки с обратното име долни скобки, по подобен начин както ${\displaystyle \mathrm {floor} (x)}$ и ${\displaystyle \mathrm {ceiling} (x)}$ са обратни, означавайки буквално под и таван. Имената най-вероятно идват от действието на функциите: те са като горната и долната граница на цялата част на ${\displaystyle x}$.

Примерни стойности на ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle \lceil x\rceil }$ са:

• ${\displaystyle \lceil 2,1\rceil =3}$
• ${\displaystyle \lceil -4,5\rceil =-4}$
• ${\displaystyle \lceil \pi \rceil =4}$
• ${\displaystyle \lceil e\rceil =3}$
• ${\displaystyle \lceil 1\rceil =1}$
• ${\displaystyle \lceil 6{\frac {2}{3}}\rceil =7}$
• ${\displaystyle \lceil -8{\frac {3}{4}}\rceil =-8}$

Дробна част

 Основна статия: Дробна част

Дробната част ${\displaystyle \{x\}}$ на реалното число ${\displaystyle x}$ е разликата между числото и цялата му част:^[1]

${\displaystyle \{x\}=x\,{\bmod {\,}}1=x-\lfloor x\rfloor }$,

или ${\displaystyle \quad \lfloor x\rfloor +\{x\}=x}$.

От определението за дробна част следва, че ${\displaystyle \quad 0\leq \{x\}<1}$.

Примери:

• ${\displaystyle \{3\}=0}$
• ${\displaystyle \{4,5\}=0,5}$
• ${\displaystyle \{\pi \}=0,1415926...}$
• ${\displaystyle \{e\}=0,718281828459...}$
• ${\displaystyle \left\{{\tfrac {11}{3}}\right\}={\tfrac {11}{3}}-3={\tfrac {2}{3}}}$
• ${\displaystyle \left\{-{\tfrac {11}{3}}\right\}=-{\tfrac {11}{3}}-\lfloor -{\tfrac {11}{3}}\rfloor =-3{\tfrac {2}{3}}-(-4)={\tfrac {1}{3}}}$
• ${\displaystyle \;\{-1,05\}=-1,05-\lfloor -1,05\rfloor =-1,05-(-2)=0,95}$

Понякога ${\displaystyle \{x\}}$ се ползва само да означава частта на ${\displaystyle x}$, която е след десетичната запетая. Тогава последната примерна стойност е ${\displaystyle \{-1,05\}=0,05}$.

Източници

1. Скобка хикс [x какво значи?], matematika.bg.
2. ((en)) developer.mozilla.org
3. Lemmermeyer, страници 10, 23.