Хиперболична спирала

Хиперболична спирала

Хиперболичната спирала е равнинна трансцендентна крива, известна още като реципрочна спирала. Нейното уравнение в полярни координати е ${\displaystyle r={\frac {a}{\theta }}}$, като приликата му с уравнението на хиперболата в декартови координати обуславя избора на имената на кривата. Хиперболичната спирала е инверсна (обратна) на архимедовата спирала.

С други думи хиперболичната спирала се дефинира като геометричното място на точка, движеща се по равномерно въртящ се около полюса лъч, така че полярният ѝ радиус да е обратно пропорционален на полярния ъгъл.

Уравнения

Представянето на спиралата с параметрични уравнения е особено елегантно:

• в полярни координати: ${\displaystyle x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta }$,
• и в декартови: ${\displaystyle x=a{\frac {\cos t}{t}},y=a{\frac {\sin t}{t}}}$.

Тъй като

${\displaystyle \lim _{t\to 0}x=a\lim _{t\to 0}{\cos t \over t}=\infty ,}$

${\displaystyle \lim _{t\to 0}y=a\lim _{t\to 0}{\sin t \over t}=a\cdot 1=a.}$,

хиперболичната спирала има асимптота в y = a.

Принципно има два клона, които съответстват на положителните и отрицателните стойности на ${\displaystyle \theta }$, но поради спецификата на графиката ѝ обикновено се изобразява само единият клон на спиралата. Тя започва от безкрайността и с нарастване на аргумента се приближава, извършвайки въртеливо движение, все по-стръмно към полюса, който представлява и асимптотична точка.

Дължината на дъга между две точки от хиперболичната спирала ${\displaystyle M_{1}(r_{1},\theta _{1}),M_{2}(r_{2},\theta _{2})}$ се намира по формулата:

${\displaystyle L=a\left[-{\frac {\sqrt {1+\theta ^{2}}}{\theta }}+\ln {(1+{\sqrt {1+\theta ^{2}}})}\right]_{\theta _{1}}^{\theta _{2}}}$,

а лицето на повърхнината на сектора, съответстващ на дъгата ${\displaystyle M_{1}M_{2}}$ е:

${\displaystyle S={\frac {a^{2}(r_{1}-r_{2})}{2}}}$

Радиусът на кривината на спиралата е равен на: ${\displaystyle R=a/\theta }$.

Исторически факти

Хиперболичната спирала е открита през 1704 г. от Пиер де Вариньон, но независимо от него — и от Йохан Бернули.

Източници

• „Лексикон Математика“, Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN 954-584-146-Х
• „Математический энциклопедический словарь“, Ю. В. Прохоров, „Советская энциклопедия“, Москва, 1988
• „Математически енциклопедичен речник“, В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983
• „Математически термини“, Н.В. Александрова, ДИ Наука и изкуство, София, 1984

Външни препратки

• Страница за хиперболичната спирала на сайта на Система Mathematica
• Интерактивна визуализация на JAVA на хиперболична спирала Архив на оригинала от 2006-05-29 в Wayback Machine.
• Хиперболичната спирала на Springer Online Reference Works