Хипоциклоида

Конструкция на хипоциклоида

В геометрията, хипоциклоида е равнинна крива, която се дефинира като геометричното място на фиксирана точка от окръжност, която се търкаля по вътрешната страна на друга окръжност, наречена направляваща, с радиус по-голям от радиуса на първата.

Уравнение

Нека търкалящата се окръжност има радиус r, а направляващата окръжност – R. Тогава параметричните уравнения на кривата се задават с:

${\displaystyle {\begin{cases}x(\theta )=(R-r)\cos \theta +r\cos({\frac {R-r}{r}}\theta )\\y(\theta )=(R-r)\sin \theta -r\sin({\frac {R-r}{r}}\theta )\\\end{cases}}}$,

където ${\displaystyle \theta }$ е ъгълът образуван от абсцисната ос и правата минаваща през центровете на двете окръжности.

Нека представим R във вида R = kr. Тогава:

• ако k е цяло число, то кривата е затворена и има k на брой рогови точки.
• ако k е рационално число, представимо във вида ${\displaystyle k={\frac {p}{q}}}$, p и q са взаимно прости, то кривата е затворена и има p на брой рогови точки.
• ако k е ирационално число, то кривата никога не се затваря и с графиката си изпълва равнинна пръстеновидна фигура с външен радиус R и вътрешен R – r.

• Примери за хипоциклоди
• 
  k=3
• 
  k=4
• 
  k=5
• 
  k=6
• 
  k=2.1
• 
  k=3.8
• 
  k=5.5
• 
  k=7.2

Връзка с други криви

• Хипоциклоидата е частен случай на хипотрохоида, при която фиксираната точка принадлежи на окръжността.
• Хипоциклоидата с четири рогови точки е известна като астроида.
• Еволютата на хипоциклоидата е нейна увеличена версия, а инволютата ѝ – нейна умалена версия.

История

Наименованието идва от гръцки, съставено е от "„, „под“ и “", „кръгообразен“. Първата циклоида е разгледана от Албрехт Дюрер в „Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Rychtscheyd“ („Наставление за измерването с пергел и линийка“, 1525). Филип де Лаир извършва първото систематично изследване на хипоциклоидите и епициклоидите, като намира квадратурите им, извършва ректификации и построения на допирателните. По-късно с тези криви се занимават и Леонард Ойлер, Жозеф Алфред Сере, Гаспар Монж и други.

Вижте също

• Епициклоида
• Трохоида
• Хипотрохоида
• Циклоида

Източници

• „The Penguin Dictionary of Mathematics“, John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989
• „Лексикон Математика“, Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN 954-584-146-Х
• „Математически енциклопедичен речник“, В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983

Външни препратки

• Страница за хипоциклоидата на сайта на Система Mathematica
• Java аплет, изобразяващ хипоциклоидата интерактивно Архив на оригинала от 2006-12-31 в Wayback Machine.
• Галерия с епициклоиди и хипоциклоиди