বর্গ সংখ্যা

গণিতে, বর্গ সংখ্যা বা পূর্ণবর্গ হলো একটি পূর্ণসংখ্যা যা একটি পূর্ণসংখ্যার বর্গ;^[১] অন্য কথায়, এটি নিজের সঙ্গেই কিছু পূর্ণসংখ্যার গুণফল। উদাহরণস্বরূপ, ৯ একটি বর্গসংখ্যা, যেহেতু এটিকে ৩ × ৩ আকারে লেখা যায়।

একটি সংখ্যা n এর বর্গের সাধারণ সংকেত n × n নয়, বরং সমতুল্য সূচক n^২, সাধারণত যা "n এর বর্গ" হিসাবে উচ্চারণ করা হয়। বর্গ সংখ্যা নামটি আকৃতির নাম থেকে এসেছে; নিচে দেখুন।

বর্গ সংখ্যাসমূহ হল অ-ঋণাত্মক। অন্য কথায় বলতে গেলে, একটি (অ-ঋণাত্মক) পূর্ণসংখ্যা হল একটি বর্গ সংখ্যা এবং এর বর্গমূলও আবার একটি পূর্ণসংখ্যা। উদাহরণস্বরূপ, √৯ = ৩, তাই ৯ হল একটি বর্গ সংখ্যা। কোন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার ১ ব্যতীত অন্য কোন পূর্ণবর্গ ভাজক না থাকলে, তাকে বর্গ-মুক্ত সংখ্যা বলা হয়।

একটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা n এর জন্য, n তম বর্গ সংখ্যা n^২ হয় ( শূণ্যতম হলে)। বর্গের ধারণা কিছু অন্য সংখ্যা পদ্ধতিতে বিস্তৃত করা যেতে পারে। যদি মূলদ সংখ্যা সংখ্যাদেরকে অন্তর্ভুক্ত করা হয়, তাহলে একটি বর্গ, দুইটি বর্গ পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হয় এবং বিপরীতক্রমে, দুইটি বর্গ পূর্ণসংখ্যার অনুপাত একটি বর্গ হয়, উদাঃ, ${\displaystyle \textstyle {\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}$

১ থেকে শুরু করে, mকে নিয়ে ⌊√m⌋ পর্যন্ত বর্গ সংখ্যা আছে, যেখানে ⌊x⌋ সংখ্যাটি  x সংখ্যাটির তলকে প্রতিনিধিত্ব করে।

উদাহরণ

(ওইআইএস-এ ক্রম A০০০২৯০) বর্গসমূহ ৬০^২ = ৩৬০০ এর চেয়ে ছোট হলে:

০^২ = ০

১^২ = ১

২^২ = ৪

৩^২ = ৯

৪^২ = ১৬

৫^২ = ২৫

৬^২ = ৩৬

৭^২ = ৪৯

৮^২ = ৬৪

৯^২ = ৮১

১০^২ = ১০০

১১^২ = ১২১

১২^২ = ১৪৪

১৩^২ = ১৬৯

১৪^২ = ১৯৬

১৫^২ = ২২৫

১৬^২ = ২৫৬

১৭^২ = ২৮৯

১৮^২ = ৩২৪

১৯^২ = ৩৬১

২০^২ = ৪০০

২১^২ = ৪৪১

২২^২ = ৪৮৪

২৩^২ = ৫২৯

২৪^২ = ৫৭৬

২৫^২ = ৬২৫

২৬^২ = ৬৭৬

২৭^২ = ৭২৯

২৮^২ = ৭৮৪

২৯^২ = ৮৪১

৩০^২ = ৯০০

৩১^২ = ৯৬১

৩২^২ = ১০২৪

৩৩^২ = ১০৮৯

৩৪^২ = ১১৫৬

৩৫^২ = ১২২৫

৩৬^২ = ১২৯৬

৩৭^২ = ১৩৬৯

৩৮^২ = ১৪৪৪

৩৯^২ = ১৫২১

৪০^২ = ১৬০০

৪১^২ = ১৬৮১

৪২^২ = ১৭৬৪

৪৩^২ = ১৮৪৯

৪৪^২ = ১৯৩৬

৪৫^২ = ২০২৫

৪৬^২ = ২১১৬

৪৭^২ = ২২০৯

৪৮^২ = ২৩০৪

৪৯^২ = ২৪০১

৫০^২ = ২৫০০

৫১^২ = ২৬০১

৫২^২ = ২৭০৪

৫৩^২ = ২৮০৯

৫৪^২ = ২৯১৬

৫৫^২ = ৩০২৫

৫৬^২ = ৩১৩৬

৫৭^২ = ৩২৪৯

৫৮^২ = ৩৩৬৪

৫৯^২ = ৩৪৮১

কোন পূর্ণবর্গ এবং তার পূর্বসূরীর মধ্যে পার্থক্য বোঝানো হয় n^২ − (n − ১)^২ = ২n − ১ দ্বারা। সমতুল্যভাবে, অন্তিম বর্গ, অন্তিম বর্গের মূল এবং বর্তমান মূল একসঙ্গে যোগ করে বর্গ সংখ্যার গণনা সম্ভব, যেমনঃ n^২ = (n − ১)^২ + (n − ১) + n।

ধর্মাবলী

 m সংখ্যাটি একটি বর্গ সংখ্যা হবে, একমাত্র যদি ( if and only if) m সংখ্যাটির বর্গের সমান (ক্ষুদ্রতর) বর্গসমূহ গঠন করা হয়:

m = 1^2 = 1
m = 2^2 = 4
m = 3^2 = 9
m = 4^4 = 16
m = 5^2 = 25
দ্রষ্টব্য: বর্গসমূহের মধ্যে সাদা ফাঁকগুলি শুধুমাত্র চাক্ষুষ উপলব্ধিকে উন্নত করার জন্য পরিবেশিত। প্রকৃত বর্গসমূহের মধ্যে কোন ফাঁক থাকবে না।

ক্ষেত্রফলের একক সংজ্ঞায়িত করা হয় একক বর্গক্ষেত্র (১ × ১) এর আয়তন দ্বারা। সুতরাং, n পার্শ্বদৈর্ঘ্য যুক্ত একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হল n^২।

n তম বর্গ সংখ্যার প্রকাশিত আকার হল n^২। এটি উপরের ছবি অনুযায়ী,প্রথম n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টির সমান; যেখানে একটি বর্গক্ষেত্র তৈরি হয়েছে নম্বরগুলির একেকটি বিজোড় সংখ্যার সঙ্গে আগেরটির যোগের মাধ্যমে। গাণিতিক সূত্রটি হলঃ ${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)}$

উদাহরণস্বরূপ, 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9।

বর্গ সংখ্যা গণনা করতে বেশ কয়েকটি পৌনপুনিক পদ্ধতি আছে। উদাহরণস্বরূপ, nতম বর্গ সংখ্যাটি n^২ = (n − ১)^২ + (n − ১) + n = (n − ১)^২ + (২n − ১) দ্বারা পূর্ববর্তী বর্গ থেকে গণনা করা যায়। বিপরীতক্রমে,nতম বর্গ সংখ্যাটি পূর্বের দুটি থেকে (n − ১)তম বর্গকে দ্বিগুণ করে,(n − ২)তম বর্গ সংখ্যাকে বিয়োগ করে, এবং ২ যোগ করে গণনা করা হয়, কারণ n² = 2(n − 1)² − (n − 2)² + 2। দৃষ্টান্তস্বরূপ,

2 × 5² − 4² + 2 = 2 × 25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6²।

একটি বর্গক্ষেত্র সংখ্যা দুটি পরপর ত্রিভুজীয় সংখ্যার যোগফলও বটে। পরপর দুই বর্গ সংখ্যার যোগফল একটি কেন্দ্রিক বর্গ সংখ্যা। প্রতিটি বিজোড় বর্গ আবার একটি কেন্দ্রিক অষ্টভুজ সংখ্যা।

একটি বর্গক্ষেত্র সংখ্যা আরেকটি ধর্ম হল যে, (০ ছাড়া) এটির ধনাত্মক ভাজকবিশিষ্ট একটি বিজোড় সংখ্যা আছে, যেখানে অন্যান্য স্বাভাবিক সংখ্যার ধনাত্মক ভাজকবিশিষ্ট একটি জোড় সংখ্যা বিদ্যমান। একটি পূর্ণসংখ্যার রুট একমাত্র ভাজক যে নিজেই বর্গ সংখ্যাটি উৎপাদন করতে নিজের সাথে জোট বাঁধে, যেখানে অন্যান্য ভাজক জোড় অবস্থাতেই থাকে।

লাগ্রাঞ্জের চতুর্বর্গ উপপাদ্য অনুসারে, কোন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা চার বা তার চেয়ে কম পূর্ণবর্গের সমষ্টি হিসেবে লেখা যেতে পারে। ৪^k(৮m + ৭) আকারের সংখ্যাসমূহের জন্য তিন বর্গ যথেষ্ট নয়। একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দুই বর্গের যোগফল হিসাবে যথাযথভাবে প্রকাশ করা যায়, যদি এর মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ ৪k + ৩ আকারের মৌলিক সংখ্যার কোন বিজোড় সূচক না থাকে। এটি ওয়ারিং-এর সমস্যা দ্বারা সাধারণীকরণ করা হয়।

নিধান ১০-এ, একটি বর্গ সংখ্যা নিম্নরূপ শুধুমাত্র ০, ১, ৪, ৫, ৬ বা ৯ সংখ্যা দিয়ে শেষ করা যেতে পারে:

• যদি একটি সংখ্যার অন্তিম অঙ্ক ০ হয়, তার বর্গ ০ তে শেষ হবে (আসলে, অন্তিম দুটি সংখ্যা ০০ হতে হবে);
• যদি একটি সংখ্যার অন্তিম অঙ্ক ১ বা ৯ হয়, তার বর্গ ১ এ শেষ হবে;
• যদি একটি সংখ্যার অন্তিম অঙ্ক ২ অথবা ৮ হয়, তার বর্গ ৪ এ শেষ হবে;
• যদি একটি সংখ্যার অন্তিম অঙ্ক ৩ বা ৭ হয়, তার বর্গ ৯ তে শেষ হবে;
• যদি একটি সংখ্যার অন্তিম অঙ্ক ৪ বা ৬ হয়, তার বর্গ ৬ তে শেষ হবে; এবং
• যদি একটি সংখ্যার অন্তিম অঙ্ক ৫ হয়, তার বর্গ ৫ এ শেষ হবে (আসলে, অন্তিম দুটি সংখ্যা ২৫ হতে হবে)।

নিধান ১২ তে, একটি বর্গ সংখ্যা শুধুমাত্র বর্গ অঙ্কসমূহ (নিধান ১২র মত, একটি মৌলিক সংখ্যা শুধুমাত্র মৌলিক সংখ্যার অঙ্ক অথবা ১ দ্বারা শেষ করা যেতে পারে), অর্থাৎ, নিম্নরূপ ০, ১, ৪ বা ৯ দ্বারা শেষ করা যেতে পারে:

• যদি একটি সংখ্যা ২ এবং ৩ (অর্থাৎ ৬ দ্বারা বিভাজ্য) উভয় দ্বারাই বিভাজ্য হয়, তার বর্গ ০ তে শেষ হবে;
• যদি একটি সংখ্যা ২ কিংবা ৩ কোনোটির দ্বারাই বিভাজ্য না হয়, তার বর্গ ১ এ শেষ হবে;
• যদি একটি সংখ্যা ২ দ্বারা বিভাজ্য হয়, কিন্তু আছে ৩ দ্বারা না হয়, তার বর্গ ৪ এ শেষ হবে; এবং
• যদি একটি সংখ্যা ২ দ্বারা বিভাজ্য না হয়, কিন্তু ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয়, তার বর্গ ৯ তে শেষ হবে।

একই নিয়ম অন্যান্য নিধান বা তাদের আগের সংখ্যাসমূহের জন্যেও দেওয়া যেতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, এককের অঙ্কের পরিবর্তে দশকের অঙ্ক)। এই সমস্ত নিয়ম একটি নির্দিষ্ট বিষয়ের সংখ্যা মেলানোর দ্বারা এবং মডুলার পাটীগণিতের ব্যবহার দ্বারা প্রমাণিত হতে পারে।

সাধারণভাবে, যদি একটি মৌলিক সংখ্যা p একটি বর্গ সংখ্যা m কে বিভক্ত করে, তাহলে pর বর্গ mএর বর্গকেও বিভক্ত করবে; যদি p +m/p কে ভাগ করতে ব্যর্থ হয়, তাহলে m স্পষ্টভাবেই বর্গ নয়। পূর্ববর্তী বাক্যের বিভাগসমূহের পুনরাবৃত্তি করে উপসংহার টানা যায় যে, প্রতিটি মৌলিক সংখ্যা প্রদত্ত পূর্ণবর্গটিকে একটি জোড়সংখ্যক গুণিতকে (সম্ভব হলে ০ বার সহ) বিভক্ত করবে। সুতরাং, m একটি বর্গ সংখ্যা হবে একমাত্র যদি, এর প্রামাণ্য উপস্থাপনার মধ্যে, সব সূচক যুগ্ম হয়।

বর্গত্ব-পরীক্ষা বৃহৎ সংখ্যার উৎপাদকে বিশ্লেষণের বিকল্প উপায় হিসেবে ব্যবহার করা যেতে পারে। বিভাজ্যতার পরীক্ষার পরিবর্তে, বর্গত্বের পরীক্ষা: প্রদত্ত m এবং কিছু সংখ্যা  k এর জন্য, যদি K২ -m একটি পূর্ণসংখ্যার বর্গ হয়, তাহলে k − n mকে বিভক্ত করে। (এটি দুটি বর্গের পার্থক্য এর উৎপাদকে বিশ্লেষণের একটি প্রয়োগ।) উদাহরণস্বরূপ, ১০০^২ − ৯৯৯১ হল ৩ এর বর্গ, যার ফলস্বরূপ ১০০ − ৩ সংখ্যাটি ৯৯৯১ কে ভাগ করে। এই পরীক্ষাটি k − n থেকে k + n বিস্তারে বিজোড় ভাজকসমূহের জন্য নির্ণায়ক, যেখানে k স্বাভাবিক সংখ্যা k ≥ √m এর কিছু বিস্তারকে অন্তর্ভুক্ত করে।

একটি বর্গ সংখ্যা একটি নিখুঁত সংখ্যা হতে পারে না।

ঘাত সংখ্যার শ্রেণির যোগফলঃ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}}$

নিচের সূত্রটি দ্বারাও প্রমাণ করা যেতে পারেঃ ${\displaystyle {\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}}$

এই শ্রেণির প্রথম পদটি হল (বর্গ পিরামিডীয় সংখ্যাসমূহ):

০, ১, ৫, ১৪, ৩০, ৫৫, ৯১, ১৪০, ২০৪, ২৮৫, ৩৮৫, ৫০৬, ৬৫০, ৮১৯, ১০১৫, ১২৪০, ১৪৯৬, ১৭৮৫, ২১০৯, ২৪৭০, ২৮৭০, ৩৩১১, ৩৭৯৫, ৪৩২৪, ৪৯০০, ৫৫২৫, ৬২০১ ...(ওইআইএস-এ ক্রম A০০০৩৩০)।

এক দিয়ে শুরু বিজোড় পূর্ণসংখ্যাসমূহের যোগফল হল পূর্ণবর্গ সংখ্যা। ১, ১ + ৩, ১ + ৩ + ৫, ১ + ৩ + ৫ +৭, ইত্যাদি।

সমস্ত চতুর্থ ঘাত, ষষ্ঠ ঘাত, অষ্টম ঘাত এবং পরবর্তী ঘাতসমূহ পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

বিশেষ ক্ষেত্রে

• যদি সংখ্যাটি m৫ আকারে থাকে (যেখানে m পূর্ববর্তী অঙ্কটিকে প্রকাশ করে), তবে এর বর্গ হবে m২৫ (যেখানে n = m(m + 1) ;এবং ইহা ২৫ এর আগের অঙ্কগুলিকে প্রকাশ করে)। উদাহরণস্বরূপ, ৬৫ এর বর্গ n = 6 × (6 + 1) = 42 দ্বারা গণনা করা যেতে পারে, যা বর্গফলটিকে ৪২২৫ এর সমান তৈরি করে।
• যদি সংখ্যাটি m০ আকারে থাকে (যেখানে m পূর্ববর্তী অঙ্কটিকে প্রকাশ করে), তবে এর বর্গ হবে m০০ (যেখানে n = m²)। উদাহরণস্বরূপ, ৭০ এর বর্গ হল ৪৯০০।
• যদি সংখ্যাটি দুই অঙ্কবিশিষ্ট হয় এবং তা ৫m আকারে থাকে (যেখানে m এককের অঙ্কটিকে প্রকাশ করে), তবে এর বর্গ হবে aabb (যেখানে aa = 25 + m এবং bb = m²)। উদাহরণস্বরূপ, ৫৭ এর বর্গ ২৫ + ৭ = ৩২ এবং ৭^২ = ৪৯ দ্বারা গণনা করা যেতে পারে, যা বর্গফলটিকে ৫৭^২ = ৩২৪৯ তৈরি করে।
• সংখ্যাটির শেষ অঙ্ক ৫ হলে এর বর্গও ৫এ শেষ হবে; ২৫, ৬২৫, ০৬২৫, ৯০৬২৫, ... ৮২১২৮৯০৬২৫, ইত্যাদির ক্ষেত্রেও একই নিয়ম প্রযোজ্য। সংখ্যাটির শেষ অঙ্ক ৬ হলে এর বর্গও ৬এ শেষ হবে; ৭৬, ৩৭৬, ৯৩৭৬, ০৯৩৭৬, ...১৭৮৭১০৯৩৭৬ইত্যাদির ক্ষেত্রেও একই নিয়ম প্রযোজ্য। উদাহরণস্বরূপ, ৫৫৩৭৬ এর বর্গ হল ৩০৬৬৫০১৩৭৬, উভয়েরই শেষ তিনটি অঙ্ক "৩৭৬" (৫,৬,২৫,৭৬, প্রভৃতি সংখ্যাকে স্বয়ংসংস্থানিক সংখ্যা বলা হয়। এগুলি পূর্ণসংখ্যার পর্যায়ক্রমিক অনলাইন বিশ্বকোষ (OEIS)-এ A০০৩২২৬^{[স্থায়ীভাবে অকার্যকর সংযোগ]} পর্যায়ভুক্ত)।

জোড় ও বিজোড় বর্গ সংখ্যা

জোড় সংখ্যার বর্গসমূহ জোড় হয় (এবং বাস্তবে ৪ দ্বারা বিভাজ্য হয়), যেহেতু (2n)² = 4n²।

বিজোড় সংখ্যার বর্গসমূহ বিজোড় হয়, যেহেতু (2n + 1)² = 4(n² + n) + 1।

দেখা গেছে, জোড় বর্গ সংখ্যার বর্গমূল জোড় হয় এবং বিজোড় বর্গ সংখ্যার বর্গমূল বিজোড় হয়।

যেহেতু, সমস্ত জোড় বর্গ সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য, তাই ৪n + ২ আকারের জোড় সংখ্যাসমূহ বর্গ সংখ্যা নয়।

যেহেতু, সমস্ত বিজোড় বর্গ সংখ্যা ৪n + ১ আকারে থাকে, তাই ৪n + ৩ আকারের বিজোড় সংখ্যাসমূহ বর্গ সংখ্যা নয়।

বিজোড় সংখ্যার বর্গসমূহ ৮n + ১ আকারে থাকে, যেহেতু (2n + 1)² = 4n(n + 1) + 1 এবং n(n + 1) হল একটি বিজোড় সংখ্যা।

প্রত্যেক বিজোড় পূর্ণবর্গ হল একটি কেন্দ্রিক অষ্টভূজীয় সংখ্যা। যেকোনো দুটি বিজোড় পূর্ণবর্গের মধ্যকার পার্থক্য ৮ এর একটি গুণিতক। ১ এবং যেকোনো উচ্চতর বিজোড় পূর্ণবর্গের মধ্যকার পার্থক্য সবসময়ই একটি ত্রিভূজীয় সংখ্যার আটগুণ হয়, যেখানে ৯ এবং যেকোনো উচ্চতর বিজোড় পূর্ণবর্গের মধ্যকার পার্থক্য একটি ত্রিভূজীয় সংখ্যার আটগুণ বিয়োগ আট। যেহেতু, সমস্ত ত্রিভূজীয় সংখ্যার একটি বিজোড় উৎপাদক আছে, কিন্তু ২ⁿ মানের দুটি সংখ্যা নেই যা একটি বিজোড় উৎপাদক সমন্বিত সংখ্যা থেকে প্রভেদযুক্ত হতে পারে; ২ⁿ − ১ আকারের একমাত্র পূর্ণবর্গ হল ১, এবং ২ⁿ + ১ আকারের একমাত্র পূর্ণবর্গ হল ৯।

আরও দেখুন

• স্বয়ংসংস্থানিক সংখ্যা
• ব্রহ্মগুপ্ত-ফিবোনাকি অভেদ
• ঘন সংখ্যা
• অয়লারের চতুর্বর্গ অভেদ
• দুই বর্গের সমষ্টিসূচক ফারম্যাটের উপপাদ্য
• পূর্ণসংখ্যার বর্গমূল
• বর্গমূল গণনার প্রণালীসমূহ
• বহুভূজীয় সংখ্যা
• ২-এর বর্গমূল
• পাইথাগোরাসের ত্রিক
• দ্বিঘাত অবশিষ্টাংশ
• বর্গ (বীজগণিত)#সম্পর্কিত অভেদসমূহ
• বর্গ ত্রিভূজীয় সংখ্যা
• দ্য বুক অব স্কয়ার্স

পাদটীকা

1. কিছু লেখক মূলদ সংখ্যার বর্গকেও পূর্ণবর্গ বলে থাকেন।

তথ্যসূত্র

• এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Square Number"।

অতিরিক্ত পঠন

• Learn Square Numbers. Practice square numbers up to 144 with this children's multiplication game
• Dario Alpern, Sum of squares. A Java applet to decompose a natural number into a sum of up to four squares.
• Fibonacci and Square Numbers at Convergence
• The first 1,000,000 perfect squares Includes a program for generating perfect squares up to 10¹⁵.

টেমপ্লেট:Classes of natural numbers