অসীমসীমা রেখা বিশ্লেষণ

এই নিবন্ধটি ফাংশনের আচরণ যখন ইনপুট অসীম বা অন্য কোনো সীমা মানে পৌঁছায় সম্পর্কে। জ্যামিতিতে অসীমাসন্ন জন্য Asymptote দেখুন।

গাণিতিক বিশ্লেষণ-এ, অসীমাসন্ন বিশ্লেষণ (ইংরেজি: asymptotic analysis), যা অসীমাসন্নতা নামেও পরিচিত, একটি পদ্ধতি যা সীমাবদ্ধ আচরণের বর্ণনা করে।

উদাহরণস্বরূপ, মনে করুন আমরা একটি ফাংশন f (n)-এর বৈশিষ্ট্যগুলি বুঝতে আগ্রহী যখন n খুব বড় হয়ে যায়। যদি f(n) = n² + 3n হয়, তবে যখন n খুব বড় হয়ে যায়, 3n পদটি n²-এর তুলনায় তুচ্ছ হয়ে যায়। এই অবস্থায়, f(n) ফাংশনটিকে "n²-এর অসীমাসন্ন সমতুল্য" বলা হয়, যেখানে n → ∞। এটি প্রায়ই প্রতীকীভাবে f (n) ~ n² আকারে লেখা হয়, যা পড়া হয় "f(n) n²-এর অসীমাসন্ন"।

একটি গুরুত্বপূর্ণ অসীমাসন্ন ফলাফল হলো মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য। এখানে π(x) দ্বারা মৌলিক সংখ্যা গণনা ফাংশন নির্দেশ করা হয়েছে (যা সরাসরি পাই ধ্রুবকের সাথে সম্পর্কিত নয়), অর্থাৎ π(x) হলো x-এর চেয়ে ছোট বা সমান মৌলিক সংখ্যাগুলির সংখ্যা। তখন উপপাদ্যটি বলে যে: $${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.}$$

অসীমাসন্ন বিশ্লেষণ কম্পিউটার বিজ্ঞানে অ্যালগরিদম বিশ্লেষণের একটি অংশ হিসেবে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় এবং এটি প্রায়ই বিগ ও নোটেশন আকারে প্রকাশিত হয়।

সংজ্ঞা

আনুষ্ঠানিকভাবে, যদি f (x) এবং g(x) দুটি ফাংশন হয়, তবে একটি দ্বিপদ সম্পর্ক সংজ্ঞায়িত করা হয়: $${\displaystyle f(x)\sim g(x)\quad ({\text{যখন }}x\to \infty )}$$ তখন এবং কেবল তখনই যদি (de Bruijn 1981, §1.4) $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.}$$

এখানে ~ প্রতীকটি টিল্ড নির্দেশ করে। এই সম্পর্কটি x-এর ফাংশনের সেটের উপর একটি সমতুল্য সম্পর্ক গঠন করে; যেখানে f এবং g ফাংশনগুলোকে অসীমাসন্ন সমতুল্য বলা হয়। f এবং g ফাংশনের ক্ষেত্র এমন কোনো সেট হতে পারে যেখানে সীমা সংজ্ঞায়িত হয়: যেমন বাস্তব সংখ্যা, জটিল সংখ্যা, ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

এই একই প্রতীকটি সীমার দিকে যাওয়ার অন্যান্য উপায়ের জন্যও ব্যবহৃত হয়: যেমন x → 0, x ↓ 0, | x | → 0। প্রেক্ষাপট থেকে স্পষ্ট হলে, সীমার দিকে যাওয়ার পদ্ধতিটি প্রায়ই স্পষ্টভাবে উল্লেখ করা হয় না।

উপরোক্ত সংজ্ঞাটি সাহিত্যে সাধারণ হলেও এটি সমস্যাযুক্ত হতে পারে যদি g(x) অসীমবার শূন্য হয় যখন x সীমিত মানের দিকে যায়। এই কারণে, কিছু লেখক একটি বিকল্প সংজ্ঞা ব্যবহার করেন। বিকল্প সংজ্ঞাটি লিটল-ও নোটেশন-এ হল যে f ~ g তখন এবং কেবল তখনই যদি: $${\displaystyle f(x)=g(x)(1+o(1)).}$$

যদি g(x) সীমিত মানের একটি প্রতিবেশে শূন্য না হয়, তবে এই সংজ্ঞাটি পূর্ববর্তী সংজ্ঞার সমতুল্য।^[১][২]

বৈশিষ্ট্য

যদি ${\displaystyle f\sim g}$ এবং ${\displaystyle a\sim b}$, তবে কিছু সাধারণ শর্তের অধীনেটেমপ্লেট:Explain

নিম্নলিখিতগুলো সঠিক হবে:

${\displaystyle f^{r}\sim g^{r}}$, প্রতিটি বাস্তব r-এর জন্য ${\displaystyle \log(f)\sim \log(g)}$ যদি ${\displaystyle \lim g\neq 1}$ হয় ${\displaystyle f\times a\sim g\times b}$ ${\displaystyle f/a\sim g/b}$ এই ধরনের বৈশিষ্ট্য অসীমাসন্ন সমতুল্য ফাংশনগুলোকে অনেক গাণিতিক প্রকাশে অবাধে পরিবর্তনের সুযোগ দেয়।

অসীমাসন্ন সূত্রের উদাহরণ

• গুণফল

$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$$ — এটি স্টার্লিং-এর সন্নিকটতা।

• পার্টিশন ফাংশন

কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য, পার্টিশন ফাংশন, p(n), নির্দেশ করে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলির যোগফল হিসেবে n লেখার বিভিন্ন উপায় যেখানে যোগফলগুলির ক্রম বিবেচিত হয় না।

$${\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}}$$

• এয়ারি ফাংশন

এয়ারি ফাংশন, Ai(x), একটি বিভাজক সমীকরণের সমাধান y″ − xy = 0; এর পদার্থবিদ্যায় অনেক প্রয়োগ রয়েছে।

$${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}}$$

• হ্যাঙ্কেল ফাংশন

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\end{aligned}}}$$

অসীমাসন্ন সম্প্রসারণ

মূল নিবন্ধ: Asymptotic expansion

একটি ফাংশন f(x)-এর অসীমাসন্ন সম্প্রসারণ হলো বাস্তবে সেই ফাংশনটির একটি সিরিজ আকারে প্রকাশ, যার আংশিক যোগফলগুলো প্রয়োজনীয়ভাবে অভিসারী নাও হতে পারে, তবে এমন যে কোনো আংশিক যোগফল একটি অসীমাসন্ন সূত্র প্রদান করে। এর ধারণা হলো, ক্রমান্বয়ে প্রদত্ত পদগুলো f-এর বৃদ্ধি ক্রম সম্পর্কে ক্রমশ সঠিক বর্ণনা প্রদান করে।

প্রতীক হিসেবে, এটি নির্দেশ করে যে ${\displaystyle f\sim g_{1},}$ তবে এছাড়াও ${\displaystyle f-g_{1}\sim g_{2}}$ এবং ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$ প্রতিটি নির্দিষ্ট k-এর জন্য। \sim প্রতীকের সংজ্ঞা অনুযায়ী, শেষ সমীকরণটি নির্দেশ করে ${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})}$ লিটল ও নোটেশন-এ, অর্থাৎ ${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})}$ ${\displaystyle g_{k}}$-এর তুলনায় অনেক ছোট।

সম্পর্ক ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$ পূর্ণ অর্থে প্রযোজ্য হয় যদি প্রতিটি k-এর জন্য ${\displaystyle g_{k+1}=o(g_{k})}$, অর্থাৎ g_k গুলো একটি অসীমাসন্ন স্কেল গঠন করে। এই ক্ষেত্রে, কিছু লেখক প্রতীকটি ভুলভাবে ব্যবহার করে ${\displaystyle f\sim g_{1}+\cdots +g_{k}}$ লিখতে পারেন যা ${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})}$ নির্দেশ করে। তবে এটি § সংজ্ঞা-এ প্রদত্ত \sim প্রতীকের মান অনুযায়ী নয়।

এই পরিস্থিতিতে, সম্পর্ক ${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1})}$ বাস্তবায়িত হয় k এবং k−1 ধাপগুলোর সমন্বয়ের মাধ্যমে। ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}=g_{k-1}+o(g_{k-1})}$ থেকে ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}-g_{k-1}=g_{k}+o(g_{k})}$ বিয়োগ করলে পাওয়া যায় ${\displaystyle g_{k}+o(g_{k})=o(g_{k-1}),}$ অর্থাৎ ${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1}).}$

যদি অসীমাসন্ন সম্প্রসারণ অভিসারী না হয়, তবে যেকোনো নির্দিষ্ট আর্গুমেন্টের জন্য একটি নির্দিষ্ট আংশিক যোগফল সর্বোত্তম সন্নিকটতা প্রদান করবে এবং অতিরিক্ত পদ যোগ করা নির্ভুলতা হ্রাস করবে। এই সর্বোত্তম আংশিক যোগফলে সীমার মানের দিকে যাওয়ার সাথে সাথে সাধারণত আরও বেশি পদ থাকবে।

অসীমাসন্ন সম্প্রসারণের উদাহরণ

• গামা ফাংশন

$${\displaystyle {\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )}$$

• সূচকীয় অন্তর্গত

$${\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\to \infty )}$$

• ত্রুটি ফাংশন

$${\displaystyle {\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{n!(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )}$$ এখানে m!! ডাবল ফ্যাক্টোরিয়াল নির্দেশ করে।

উদাহরণ কাজ

অসীমাসন্ন সম্প্রসারণ প্রায়শই ঘটে যখন একটি সাধারণ সিরিজকে এমন একটি আনুষ্ঠানিক প্রকাশে ব্যবহার করা হয় যা এর অভিসারণ ক্ষেত্রের বাইরে মান গ্রহণ করতে বাধ্য করে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা সাধারণ সিরিজ দিয়ে শুরু করতে পারি $${\displaystyle {\frac {1}{1-w}}=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}}$$

বামপাশের প্রকাশটি সম্পূর্ণ জটিল সমতলে ${\displaystyle w\neq 1}$ এর জন্য বৈধ, যখন ডানপাশটি কেবলমাত্র ${\displaystyle |w|<1}$ এর জন্য অভিসারী। ${\displaystyle e^{-w/t}}$ দ্বারা গুণ করে এবং উভয় পাশে ইন্টিগ্রেশন করে পাই $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {w}{t}}}}{1-w}}\,dw=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{n}\,du}$$

বামপাশের ইন্টিগ্রালটি সূচকীয় অন্তর্গত দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে। ডানপাশের ইন্টিগ্রালটি, ${\displaystyle u=w/t}$ প্রতিস্থাপনের পর, গামা ফাংশন হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে। উভয়টি নির্ণয় করলে অসীমাসন্ন সম্প্রসারণ পাই $${\displaystyle e^{-{\frac {1}{t}}}\operatorname {Ei} \left({\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }n!\;t^{n+1}}$$

এখানে, ডানপাশটি কোনো অ-শূন্য t মানের জন্য স্পষ্টতই অভিসারী নয়। তবে, t ছোট রেখে এবং ডানপাশের সিরিজটি একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক পদ পর্যন্ত কমিয়ে, ${\displaystyle \operatorname {Ei} (1/t)}$ এর মানের একটি ভাল সন্নিকটতা পাওয়া যেতে পারে। ${\displaystyle x=-1/t}$ প্রতিস্থাপন করে এবং উল্লেখ করে যে ${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-E_{1}(-x)}$, পূর্বে উল্লেখিত অসীমাসন্ন সম্প্রসারণটি পাওয়া যায়।

অসীমাসন্ন বিতরণ

মূল নিবন্ধ: Asymptotic distribution

গাণিতিক পরিসংখ্যান-এ, একটি অসীমাসন্ন বিতরণ হলো একটি কাল্পনিক বিতরণ যা কোনো ধারাবাহিক বিতরণের "সীমারেখা"র বিতরণ হিসেবে বিবেচিত হয়। একটি বিতরণ হলো একটি ক্রমান্বিত র্যান্ডম ভেরিয়েবল-এর সেট Z_i যেখানে i = 1, …, n, কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n এর জন্য। একটি অসীমাসন্ন বিতরণ i-কে অনন্ত পর্যন্ত বিস্তৃত করার অনুমতি দেয়, অর্থাৎ n অনন্ত।

অসীমাসন্ন বিতরণের একটি বিশেষ ক্ষেত্র হলো যখন শেষ দিকের মানগুলো শূন্যে পৌঁছে যায়—অর্থাৎ Z_i শূন্যে পৌঁছে যায় যেমন i অনন্তের দিকে যায়। "অসীমাসন্ন বিতরণ" এর কিছু উদাহরণ কেবলমাত্র এই বিশেষ ক্ষেত্রে নির্দেশ করে।

এটি অসীমাসন্ন ফাংশনের ধারণার উপর ভিত্তি করে গঠিত যা একটি ধ্রুবক মানের (asymptote) পরিষ্কারভাবে কাছে যায় যেমন স্বাধীন চলকটি অনন্তের দিকে যায়; এখানে "পরিষ্কার" অর্থ হলো যে কোনো নির্দিষ্ট ক্ষুদ্র epsilon এর জন্য স্বাধীন চলকটি এমন একটি মান পাবে যার পরে ফাংশনটি ধ্রুবকের চেয়ে epsilon-এর বেশি পৃথক হবে না।

একটি asymptote হলো একটি সরলরেখা যা একটি বক্ররেখা কাছে আসে কিন্তু কখনো মিলিত হয় না বা অতিক্রম করে না। অপ্রাতিষ্ঠানিকভাবে, কেউ বলতে পারে বক্ররেখাটি "অনন্তে" asymptote-এর সাথে মিলিত হয় যদিও এটি একটি সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞা নয়। সমীকরণ ${\displaystyle y={\frac {1}{x}},}$ তে, y মানে ক্রমান্বয়ে ছোট হয়ে যায় যেমন x বৃদ্ধি পায়।

প্রয়োগসমূহ

অসীমাসন্ন বিশ্লেষণ গাণিতিক বিজ্ঞানগুলিতে বিভিন্নভাবে ব্যবহৃত হয়। পরিসংখ্যান-এ, অসীমাসন্ন তত্ত্ব নমুনা পরিসংখ্যানের সম্ভাব্যতা বিতরণের সীমারেখা আনুমানিকতা প্রদান করে, যেমন সম্ভাবনা-অনুপাত পরিসংখ্যান এবং প্রত্যাশিত মান। তবে, অসীমাসন্ন তত্ত্ব নমুনা পরিসংখ্যানের সসীম-নমুনা বিতরণ মূল্যায়নের কোনো পদ্ধতি প্রদান করে না। আনুমানিক তত্ত্বের পদ্ধতিগুলি সসীম-নমুনার সীমানা প্রদান করে।

নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে অসীমাসন্ন বিশ্লেষণের ব্যবহার দেখা যায়:

• প্রয়োগকৃত গণিত-এ, অসীমাসন্ন বিশ্লেষণ সমীকরণ সমাধানের জন্য সংখ্যাত্মক পদ্ধতি তৈরি করতে ব্যবহৃত হয়।
• গাণিতিক পরিসংখ্যান এবং সম্ভাবনা তত্ত্ব-এ, র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং মূল্যায়কদের দীর্ঘমেয়াদি বা বৃহৎ-নমুনা আচরণ বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়।
• কম্পিউটার বিজ্ঞান-এ, আলগোরিদমের বিশ্লেষণে অ্যালগোরিদমগুলির কার্যকারিতা নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়।
• শারীরিক ব্যবস্থার আচরণ বিশ্লেষণে, যেমন পরিসংখ্যনিক বলবিদ্যা।
• দুর্ঘটনা বিশ্লেষণ-এ, একটি নির্দিষ্ট সময় এবং স্থানে দুর্ঘটনার সংখ্যা মডেল করতে ব্যবহৃত হয়।

অসীমাসন্ন বিশ্লেষণ সাধারণ এবং আংশিক পার্থক্য সমীকরণ বিশ্লেষণের একটি গুরুত্বপূর্ণ হাতিয়ার, যা বাস্তব জীবনের ঘটনাগুলির গাণিতিক মডেল তৈরির ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়। একটি উদাহরণ হলো নাভিয়ার-স্টোকস সমীকরণ থেকে সীমান্ত স্তর সমীকরণ নির্ণয়। অনেক ক্ষেত্রে, অসীমাসন্ন সম্প্রসারণ একটি ছোট প্যারামিটার ε-এর শক্তি হিসাবে প্রকাশিত হয়; যেমন সীমান্ত স্তরের ক্ষেত্রে, এটি সমস্যার সাধারণ দৈর্ঘ্যের সাথে সীমান্ত স্তরের পুরুত্বের মাত্রাহীন অনুপাত।

অসীমাসন্ন সম্প্রসারণ সাধারণত কিছু নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল (লাপ্লাস পদ্ধতি, স্যাডল-পয়েন্ট পদ্ধতি, তীক্ষ্ণতম পতনের পদ্ধতি) বা সম্ভাব্যতা বিতরণের (এজওয়ার্থ সিরিজ) আনুমানিকতায় দেখা যায়। কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বের ফাইনম্যান গ্রাফগুলো অসীমাসন্ন সম্প্রসারণের আরেকটি উদাহরণ যা প্রায়শই অভিসারী হয় না।

অসীমাসন্ন বনাম সংখ্যাত্মক বিশ্লেষণ

ডি ব্রুইন অসীমাসন্ন বিশ্লেষণের ব্যবহার একটি সংলাপের মাধ্যমে তুলে ধরেন, যেখানে ড. এন.এ., একজন সংখ্যাত্মক বিশ্লেষক এবং ড. এ.এ., একজন অসীমাসন্ন বিশ্লেষকের মধ্যে আলোচনা হয়:

N.A.: আমি আমার ফাংশন ${\displaystyle f(x)}$ বৃহৎ মানের ${\displaystyle x}$ এর জন্য ১% এর বেশি আপেক্ষিক ত্রুটি ছাড়াই মূল্যায়ন করতে চাই।

A.A.: ${\displaystyle f(x)=x^{-1}+\mathrm {O} (x^{-2})\qquad (x\to \infty )}$।

N.A.: দুঃখিত, আমি বুঝতে পারছি না।

A.A.: ${\displaystyle |f(x)-x^{-1}|<8x^{-2}\qquad (x>10^{4})}$।

N.A.: কিন্তু আমার ${\displaystyle x}$ এর মান মাত্র ১০০।

A.A.: কেন তুমি এটা বলনি? আমার হিসাব অনুযায়ী পাই ${\displaystyle |f(x)-x^{-1}|<57000x^{-2}\qquad (x>100)}$।

N.A.: এটি আমার জন্য নতুন কিছু নয়। আমি ইতিমধ্যেই জানি ${\displaystyle 0<f(100)<1}$।

A.A.: কিছু পরিমার্জন করে, এখন পাই ${\displaystyle |f(x)-x^{-1}|<20x^{-2}\qquad (x>100)}$।

N.A.: আমি ১% চেয়েছিলাম, ২০% নয়।

A.A.: এটি প্রায় আমার সর্বোচ্চ চেষ্টা। কেন তুমি বড় ${\displaystyle x}$ এর মান ব্যবহার করছ না?

N.A.: !!! আমার ইলেকট্রনিক কম্পিউটিং মেশিন ব্যবহার করা ভালো।

Machine: ${\displaystyle f(100)=0.01137422593400867153}$

A.A.: আমি তো বলেছিলাম! আমার ২০% অনুমান বাস্তব ত্রুটির ১৪% থেকে দূরে ছিল না।

N.A.: !!! . . . !

কয়েক দিন পর, মিস এন.এ. ${\displaystyle f(1000)}$ এর মান জানতে চান, কিন্তু তার মেশিনটি এটি নির্ণয়ে এক মাস সময় নেবে। তিনি তার অসীমাসন্ন সহকর্মীর কাছে ফিরে আসেন এবং একটি সন্তোষজনক উত্তর পান।

আরো দেখুন

তথ্যসূত্র

1. Hazewinkel, Michiel, সম্পাদক (২০০১), "Asymptotic equality", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media, আইএসবিএন 978-1-55608-010-4 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
2. Estrada & Kanwal (2002, §1.2)