আপেক্ষিকতার বলবিজ্ঞান

পদার্থবিজ্ঞানে আপেক্ষিকতার বলবিজ্ঞান বলতে বিশেষ আপেক্ষিকতা এবং সাধারণ আপেক্ষিকতার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ বলবিজ্ঞানকে বোঝায়। আলোর গতির সমতূল্য বেগ c-তে গতিশীল এমন কণা বা প্রবাহীর ব্যবস্থার ক্ষেত্রে ব্যবস্থাটির ব্যাখ্যা বিজ্ঞানের এই শাখায় অ-কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের মাধ্যমে দেওয়া হয়। ফলস্বরূপ, উচ্চ বেগ এবং শক্তিতে ভ্রমণকারী কণাগুলিতে চিরায়ত বলবিজ্ঞান সঠিকভাবে সম্প্রসারণ ঘটে এবং এখান থেকে কণার যান্ত্রিকতার সাথে তড়িৎচুম্বকত্বের একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ অন্তর্ভুক্তি প্রদান করে। গ্যালিলীয় আপেক্ষিকতায় যেখানে কণা এবং আলো যে কোন গতিতে ভ্রমণ করতে পারে এমনকি আলোর চেয়েও দ্রুত গতিতে ভ্রমণ যেখানে অনুমোদনযোগ্য হয়, সেখানে এই ব্যাপারটি সম্ভব ছিল না। আপেক্ষিকতার বলবিজ্ঞানের ভিত্তিসমূহ হলো বিশেষ আপেক্ষিকতা এবং সাধারণ আপেক্ষিকতার স্বীকার্য। কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের সাথে বিশেষ আপেক্ষিকতার ঐক্যসাধন হলো আপেক্ষিক কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান, পক্ষান্তরে সাধারণ আপেক্ষিকতার সাথে ঐক্যসাধনের প্রচেষ্টা হলো কোয়ান্টাম মহাকর্ষ, পদার্থবিজ্ঞানের একটি অমীমাংসিত সমস্যা ।

চিরায়ত বলবিজ্ঞানের মতো, বিষয়টিকে "সৃতিবিজ্ঞান এবং গতিবিজ্ঞানে" ভাগ করা যায়; যেখানে সৃতিবিজ্ঞানে অবস্থান, বেগ এবং ত্বরণ-কে প্রাধান্য দিয়ে গতির বর্ণনা দেওয়া হয়; এবং পক্ষান্তরে গতিবিদ্যায় শক্তি, ভরবেগ, কৌণিক ভরবেগ, এদের সংরক্ষণ সূত্র এবং কণার উপর প্রযুক্ত বা কণা দ্বারা প্রযুক্ত বলের মাধ্যমে গতির পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা দেওয়া হয়। তবে, প্রসঙ্গ কাঠামো থেকে পরিমাপকারী পর্যবেক্ষকের আপেক্ষিক গতির উপর নির্ভর করে “গতি” ও “স্থিতি”-র ব্যাপারটি নিয়ে একটি একটি সূক্ষ্মতা রয়েছে; চিরায়ত বলবিজ্ঞানেয যাকে "স্থিতিবিদ্যা" পরিভাষাটির দ্বারা অভিহিত করা হয়।

বল যা ভরবেগের সময় অন্তরজ (নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র), কণার দ্বারা কৃত কাজ যা কণার গতিপথ বরাবর প্রযুক্ত বলের রৈখিক সমাকলজ এবং ক্ষমতা যা কৃত কাজের সময় অন্তরজ, চিরায়ত বলবিজ্ঞানের অন্তর্ভুক্ত এমন কিছু কিছু সংজ্ঞা এবং ধারণার জের বিশেষ আপেক্ষিকতায় টানা হলেও অবশিষ্ট সংজ্ঞা এবং সূত্রগুলোর ক্ষেত্রে উল্লেখযোগ্য পরিমাণে পরিবর্তন করতে হয়েছে। বিশেষ আপেক্ষিকতা অনুসারে গতি হলো আপেক্ষিক বিষয় এবং যেকোন জড় প্রসঙ্গ কাঠামোতে সকল পর্যবেক্ষকের সাপেক্ষে পদার্থবিজ্ঞানের সূত্রগুলো একই থাকে। স্থান এবং কালের ধারণার পরিমার্জন করতে গেলে বিশেষ আপেক্ষিকতা ভর, ভরবেগ এবং শক্তির ধারণাগুলোকে পুনর্বিবেচনা করতে বাধ্য করে যাদের সবগুলোই আবার নিউটনীয় বলবিজ্ঞানের প্রধান উপাদান। বিশেষ আপেক্ষিকতা অনুসারে এই ধারণাগুলো একই ভৌত রাশির এমনই ভিন্ন আরেকটি রূপ যা মূলত স্থান ও কালের পারস্পরিক সম্পর্কের কথা বলে। প্রসঙ্গক্রমে যে আরেকটি পরিমার্জনের কথা আসে তা হলো ভরকেন্দ্রের ধারণা যাকে চিরায়ত বলবিজ্ঞানের সোজাসাপ্টাভাবে সংজ্ঞায়িত করা গেলেও আপেক্ষিকতায় এটি খুবই অস্পষ্ট – বিস্তারিত জানতে আপেক্ষিক ভর কেন্দ্র দেখুন।

লরেন্টজ ফ্যাক্টরের অরৈখিকতা যা সমস্ত ক্ষেত্রের এবং কণার আপেক্ষিক বেগের উপর নির্ভরতার এবং গতির সীমাবদ্ধতার সঠিক ব্যাখ্যা দেয় তার কারণে সমীকরণসমূহ অতি পরিচিত ত্রিমাত্রিক ভেক্টর ক্যালকুলাসের আনুষ্ঠানিকতার ক্ষেত্রে অত্যধিক জটিল হয়ে পড়ে। তথাপি চতুর্মাত্রিক স্থান-কালে এদের একটি সরলতর ও মার্জিত রূপ বিদ্যমান যার মধ্যে অন্তর্ভুক্ত রয়েছে সমতল মিনকভস্কি স্থান (বিশেষ আপেক্ষিকতা) এবং বক্র স্থানকাল (সাধারণ আপেক্ষিকতা)। এর কারণ হলো, স্থান থেকে প্রতিপাদিত ত্রিমাত্রিক ভেক্টর এবং সময় থেকে প্রতিপাদিত স্কেলারগুলিকে চার-ভেক্টরে বা চতুর্মাত্রিক টেন্সরে সংকলন করা সম্ভব। এমনকি ছয়টি উপাদান নিয়ে গঠিত কৌণিক ভরবেগ টেন্সরকে কখনও কখনও দ্বিভেক্টর বলা হয়। কারণ ত্রিমাত্রিক দৃষ্টিকোণ থেকে এটি “দুটি ভেক্টর”^{[স্পষ্টকরণ প্রয়োজন]} (একটি অক্ষীয় ভেক্টর হওয়ায় যাদের একটি গতানুগতিক কৌণিক ভরবেগ)।

আপেক্ষিক সৃতিবিজ্ঞান

আপেক্ষিক চার-বেগ যা আপেক্ষিকতার অধীনে বেগের প্রতিনিধিত্বকারী চার-ভেক্টর তাকে নিম্নোক্তভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {U} }}={\frac {d{\boldsymbol {\mathbf {X} }}}{d\tau }}=\left({\frac {cdt}{d\tau }},{\frac {d\mathbf {x} }{d\tau }}\right)}$

উপরে, ${\displaystyle {\tau }}$ হলো স্থান-কাল বরাবর পথরেখার প্রকৃত সময়, যাকে বলা হয় বিশ্ব-রেখা, যা উপরে বর্ণিত বস্তুর বেগ কর্তৃক অনুসৃত হয়, এবং

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {X} }}=(ct,\mathbf {x} )}$

চার অবস্থান ; একটি ঘটনার স্থানাঙ্ক। সময়ের প্রসারণের কারণে, প্রকৃত সময় হলো একই প্রসঙ্গ কাঠামোর একই অবস্থানে সংঘটিত দুটি ঘটনার মধ্যবর্তী সময়। প্রকৃত সময় নিম্নোক্ত সমীকরণের মাধ্যমে স্থানাঙ্ক সময় t-এর সাথে সম্পর্কিত:

${\displaystyle {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{\gamma (\mathbf {v} )}}}$

যেখানে ${\displaystyle {\gamma }(\mathbf {v} )}$ লল রেন্টজ ফ্যাক্টর:

${\displaystyle \gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} /c^{2}}}}\,\rightleftharpoons \,\gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}.}$

(যেকোন সংস্করণ উদ্ধৃত করা যেতে পারে) তাই এটি নিম্নরূপ:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {U} }}=\gamma (\mathbf {v} )(c,\mathbf {v} )}$

প্রথম তিনটি পদ, ${\displaystyle {\gamma (\mathbf {v} )}}$এর গুণনীয়ক ব্যতীত, হলো বেগ যা পর্যবেক্ষক তাদের নিজস্ব প্রসঙ্গ কাঠামোয় দেখে। ${\displaystyle {\gamma (\mathbf {v} )}}$, পর্যবেক্ষকের প্রসঙ্গ কাঠামো এবং বস্তুর কাঠামো, যা সেই কাঠামো যেখানে এর সঠিক সময় পরিমাপ করা হয়, তার মধ্যের ${\displaystyle \mathbf {v} }$ বেগ দ্বারা নির্ধারিত হয়। লরেন্টজ ট্রান্সফরমেশনের অধীনে এই রাশিটি অপরিবর্তনীয়, তাই একটি ভিন্ন প্রসঙ্গ কাঠামোয় একজন পর্যবেক্ষক কী দেখছে তা দেখার জন্য, দুটি প্রসঙ্গ কাঠামোর মধ্যে লরেন্টজ ট্রান্সফরমেশন ম্যাট্রিক্স দ্বারা বেগ চার-ভেক্টরকে গুন করতে হয়।

আপেক্ষিক গতিবিজ্ঞান

স্থির ভর এবং আপেক্ষিক ভর

একটি বস্তুর ভরকে তার নিজস্ব প্রসঙ্গ কাঠামোয় পরিমাপ করা হয় তাকে তার স্থির ভর বা অপরিবর্তনীয় ভর বলা হয় এবং কখনও কখনও লেখা হয় ${\displaystyle m_{0}}$ . যদি কোন বস্তু ${\displaystyle \mathbf {v} }$ বেগে চলে অন্য কোনো প্রসঙ্গ কাঠামোয়, ${\displaystyle m=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}}$ রাশি প্রায়ই সেই কাঠামোয় বস্তুর "আপেক্ষিক ভর" বলা হয়। ^[১] কিছু লেখক স্থির ভর বোঝাতে ${\displaystyle m}$ ব্যবহার করেন, কিন্তু স্পষ্টতার জন্য এই নিবন্ধটিতে আপেক্ষিক ভরের জন্য ${\displaystyle m}$ এবং স্থির ভরের জন্য ${\displaystyle m_{0}}$ব্যবহারের নিয়ম অনুসরণ করা হবে। ^[২]

লেভ ওকুন পরামর্শ দিয়েছেন যে আপেক্ষিক ভরের ধারণাটির "আজ কোন যৌক্তিক ন্যায্যতা নেই" এবং এটি আর শেখানো উচিত নয়। ^[৩] উলফগ্যাং রিন্ডলার এবং টি. আর. স্যান্ডিন সহ অন্যান্য পদার্থবিদরা দাবি করেন যে ধারণাটি প্রয়োজনীয়। ^[৪] এই বিতর্ক সম্পর্কে আরও তথ্যের জন্য বিশেষ আপেক্ষিকতায় ভর দেখুন।

যে কণার স্থির ভর শূন্য তাকে ভরহীন বলে। ফোটন এবং গ্র্যাভিটনকে ভরহীন বলে মনে করা হয় এবং নিউট্রিনো প্রায় তাই।

আপেক্ষিক শক্তি এবং ভরবেগ

বিশেষ আপেক্ষিকতায় ভরবেগ এবং শক্তি সংজ্ঞায়িত করার জন্য কয়েকটি (সমতুল্য) উপায় রয়েছে। একটি পদ্ধতি সংরক্ষণ সূত্র ব্যবহার করে। যদি এই সূত্রগুলি বিশেষ আপেক্ষিকতায় বৈধ থাকতে হয় তবে সেগুলি অবশ্যই প্রতিটি সম্ভাব্য প্রসঙ্গ কাঠামোয় সত্য হতে হবে। তবে, যদি কেউ ভরবেগ এবং শক্তির নিউটনীয় সংজ্ঞা ব্যবহার করে কিছু সাধারণ চিন্তার পরীক্ষা করে, তবে কেউ দেখতে পাবে যে এই পরিমাণগুলি বিশেষ আপেক্ষিকতায় সংরক্ষিত হয় না। আপেক্ষিক বেগের জন্য সংজ্ঞায় কিছু ছোট পরিবর্তন করে কেউ সংরক্ষণের ধারণা উদ্ধার করতে পারে। এই নতুন সংজ্ঞাগুলিই বিশেষ আপেক্ষিকতায় ভরবেগ এবং শক্তির জন্য সঠিক হিসাবে নেওয়া হয়।

একটি বস্তুর চার ভরবেগ সোজা, শাস্ত্রীয় ভরবেগের আকারে অভিন্ন, কিন্তু ৩-ভেক্টরকে ৪-ভেক্টর দিয়ে প্রতিস্থাপন করে পাই:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {P} }}=m_{0}{\boldsymbol {\mathbf {U} }}=(E/c,\mathbf {p} )}$

${\displaystyle m_{0}}$ অপরিবর্তনীয় ভর সহ একটি বস্তুর শক্তি এবং ভরবেগ, ${\displaystyle \mathbf {v} }$ বেগে চলমান একটি প্রদত্ত প্রসঙ্গ কাঠামোর সাপেক্ষে, যথাক্রমে প্রকাশ করা হয়

${\displaystyle {\begin{aligned}E&=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}c^{2}\\\mathbf {p} &=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\mathbf {v} \end{aligned}}}$

${\displaystyle \gamma }$ গুণক উপরে বর্ণিত চার-গতির সংজ্ঞা থেকে আসে। ${\displaystyle \gamma }$ এর উপস্থিতিকে একটি বিকল্প উপায়ে প্রকাশ করা যেতে পারে, যা পরবর্তী বিভাগে ব্যাখ্যা করা হবে৷

গতিশক্তিকে, ${\displaystyle K}$, হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

${\displaystyle K=(\gamma -1)m_{0}c^{2}=E-m_{0}c^{2}\,,}$

এবং গতিকে গতিশক্তির একটি অপেক্ষক হিসাবে নিম্নরূপে প্রকাশ করা হয়

${\displaystyle v=c{\sqrt {1-\left({\frac {m_{0}c^{2}}{K+m_{0}c^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {c{\sqrt {K(K+2m_{0}c^{2})}}}{K+m_{0}c^{2}}}={\frac {c{\sqrt {(E-m_{0}c^{2})(E+m_{0}c^{2})}}}{E}}={\frac {pc^{2}}{E}}\,.}$

স্থানিক ভরবেগ হিসাবে লেখা যেতে পারে ${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$, নিউটনীয় ভরের সাথে প্রতিস্থাপিত আপেক্ষিক ভর সহ নিউটনীয় বলবিদ্যা থেকে আকারটি সংরক্ষণ করা যায়। যাইহোক, এই প্রতিস্থাপন শক্তি এবং গতিশক্তি সহ কিছু রাশির জন্য ব্যর্থ হয়। অধিকন্তু, লরেন্টজ রূপান্তর (ট্রান্সফরমেশন)-এর অধীনে আপেক্ষিক ভর অপরিবর্তনীয় নয়, যেখানে স্থির ভর অপরিবর্তনীয়। এই কারণে, অনেক মানুষ স্থির ভর এবং ${\displaystyle \gamma }$ হিসাবে স্পষ্টভাবে ৪-বেগ বা সমন্বয় সময়ের মাধ্যমে ব্যবহার করতে পছন্দ করে।

শক্তি, ভরবেগ এবং বেগের মধ্যে একটি সরল সম্পর্ক শক্তি এবং ভরবেগের সংজ্ঞা থেকে শক্তিকে ${\displaystyle \mathbf {v} }$ দ্বারা গুণ করে পাওয়া যেতে পারে, ভরবেগকে ${\displaystyle c^{2}}$ দ্বারা গুণ করে, এবং রাশিমালা দুটি সমান সূচিত করলে পাওয়া যায়

${\displaystyle \mathbf {p} c^{2}=E\mathbf {v} }$

তারপর এই সমীকরণটি ${\displaystyle c}$ দ্বারা বিভক্ত করে ${\displaystyle \mathbf {v} }$ নির্মূল করা যেতে পারে এবং বর্গ করে পাই,

${\displaystyle (pc)^{2}=E^{2}(v/c)^{2}}$

${\displaystyle \gamma }$ দ্বারা শক্তির সংজ্ঞা ভাগ এবং বর্গ করে পাই,

${\displaystyle E^{2}\left(1-(v/c)^{2}\right)=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}}$

এবং প্রতিস্থাপন করে পাই:

${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}}$

এটি আপেক্ষিক শক্তি-ভরবেগ সম্পর্ক ।

যখন শক্তি ${\displaystyle E}$ এবং ভরবেগ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ প্রসঙ্গ কাঠামোর উপর নির্ভর করে যেখানে তাদের পরিমাপ করা হয়, ${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}}$ রাশি অপরিবর্তনীয় এর মান ৪-ভরবেগ ভেক্টরের বর্গাকার মাত্রার ${\displaystyle -c^{2}}$ গুণ।

একটি সংস্থার অপরিবর্তনীয় ভর হিসাবে লেখা যেতে পারে

${\displaystyle {m_{0}}_{\text{tot}}={\frac {\sqrt {E_{\text{tot}}^{2}-(p_{\text{tot}}c)^{2}}}{c^{2}}}}$

গতিশক্তি এবং বন্ধন শক্তির কারণে, এই রাশিটি কণাগুলি যা দিয়ে সংস্থাটি গঠিত তাদের স্থির ভরের সমষ্টির থেকে পৃথক। স্থির ভর বিশেষ আপেক্ষিকতায় একটি সংরক্ষিত পরিমাণ নয়, নিউটনীয় পদার্থবিজ্ঞানের পরিস্থিতির বিপরীতভাবে। যাইহোক, এমনকি যদি একটি বস্তু অভ্যন্তরীণভাবে পরিবর্তিত হয়, যতক্ষণ না এটি তার চারপাশের সাথে শক্তি বা ভরবেগ বিনিময় না করে, তার স্থির ভর পরিবর্তিত হয় না এবং যেকোনো প্রসঙ্গ কাঠামোয় একই ফলাফল দিয়ে গণনা করা যেতে পারে।

ভর-শক্তি সমতা

আপেক্ষিক শক্তি–ভরবেগ সমীকরণ সমস্ত কণার জন্য সত্য, এমনকি ভরহীন কণার জন্যও যার জন্য m₀ = 0. এক্ষেত্রে:

${\displaystyle E=pc}$

Ev = c²p-তে প্রতিস্থাপন করলে পাই, v = c: ভরহীন কণা (যেমন ফোটন) সর্বদা আলোর গতিতে ভ্রমণ করে।

লক্ষ্য করা যায় যে একটি যৌগিক ব্যবস্থার স্থির ভর সাধারণত এর অংশগুলির স্থির ভরের সমষ্টির থেকে সামান্য আলাদা হবে কারণ, এর স্থির কাঠামোয় (ফ্রেমে), তাদের গতিশক্তি তার ভরকে বাড়িয়ে দেবে এবং তাদের (ঋণাত্মক) বন্ধন শক্তি তার ভরকে হ্রাস করবে। বিশেষ করে, একটি অনুমানমূলক "আলোর বাক্সে" স্থির ভর থাকবে যদিও কণা দিয়ে তৈরি যা তাদের ভরবেগকে বাতিল করবে না।

একটি সংস্থার অপরিবর্তনীয় ভরের জন্য উপরের সূত্রটি দেখলে, কেউ দেখতে পাবে যে, যখন একটি একক বৃহদায়তন বস্তু স্থিতাবস্থায় থাকে (v = 0, p = 0), তখন একটি অ-শূন্য ভর অবশিষ্ট থাকে: m₀ = E/c ² . সংশ্লিষ্ট শক্তি, যা একটি একক কণা যখন স্থিতাবস্থায় থাকে তখন তার মোট শক্তিও, যাকে "স্থির শক্তি" বলা হয়। কণার সংস্থায় যা একটি চলমান জড় কাঠামো থেকে দেখা যায়, মোট শক্তি বৃদ্ধি পায় এবং তাই ভরবেগও বৃদ্ধি পায়। যাইহোক, একক কণার জন্য স্থির ভর ধ্রুবক থাকে, এবং কণার সংস্থার জন্য অপরিবর্তনীয় ভর ধ্রুবক থাকে, কারণ উভয় ক্ষেত্রেই, শক্তি এবং ভরবেগ একে অপরের থেকে বিয়োগ করে এবং বাতিল করে। এইভাবে, কণার সংস্থার অপরিবর্তনীয় ভর সমস্ত পর্যবেক্ষকের জন্য একটি গণনাকৃত ধ্রুবক, যেমন একক কণার স্থির ভর।

ব্যবস্থার ভর এবং অপরিবর্তনীয় ভরের সংরক্ষণ

কণার ব্যবস্থার ক্ষেত্রে, শক্তি–ভরবেগ সমীকরণের জন্য প্রয়োজন কণার ভরবেগ ভেক্টরের সমষ্টি:

${\displaystyle E^{2}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}$

যে জড় কাঠামোয় সমস্ত কণার ভরবেগ শূন্য হয় তাকে ভরবেগ কাঠামোর কেন্দ্র বলে। এই বিশেষ কাঠামোয়, আপেক্ষিক শক্তি–ভরবেগ সমীকরণে p = 0 রয়েছে এবং এইভাবে ব্যবস্থার অপরিবর্তনীয় ভরকে ব্যবস্থার সমস্ত অংশের মোট শক্তি হিসাবে পাওয়া যায়, যা c² দ্বারা বিভক্ত।

${\displaystyle m_{0,\,{\rm {system}}}=\sum _{n}E_{n}/c^{2}}$

এটি যে কোনও ব্যবস্থার অপরিবর্তনীয় ভর যা একটি কাঠামোর মধ্যে থেকে পরিমাপ করা হয় যেখানে এটির মোট ভরবেগ শূন্য, যেমন একটি মাপনীতে গরম গ্যাসের বোতল। এই ধরনের ব্যবস্থায়, মাপনীতে যে ভরের পরিমাপ করা হয় সেটিই অপরিবর্তনীয় ভর এবং এটি ব্যবস্থার মোট শক্তির উপর নির্ভর করে। এইভাবে এটি অণুর স্থির ভরের সমষ্টির চেয়ে বেশি, তা ব্যবস্থার সমস্ত মোট শক্তিকেও অন্তর্ভুক্ত করে। শক্তি এবং ভরবেগের মতো, বিচ্ছিন্ন ব্যবস্থার অপরিবর্তনীয় ভর ততক্ষণ পরিবর্তন করা যায় না যতক্ষণ না ব্যবস্থাটি সম্পূর্ণরূপে বদ্ধ থাকে (কোন ভর বা শক্তি প্রবেশ বা বাহির অনুমোদিত নয়), কারণ ব্যবস্থার মোট আপেক্ষিক শক্তি ততক্ষণ স্থির থাকে যতক্ষণ না কিছুই প্রবেশ করতে পারে না বা এটা ছেড়ে যায়।

এই ধরনের একটি ব্যবস্থার শক্তি বৃদ্ধি যা ব্যবস্থাটিকে একটি জড় কাঠামোয় রূপান্তরের ফলে ঘটে যা ভরবেগ কাঠামোর কেন্দ্র নয়, অপরিবর্তনীয় ভরের বৃদ্ধি ছাড়াই শক্তি এবং ভরবেগের বৃদ্ধি ঘটায়। E = m₀c², তবে, শুধুমাত্র তাদের ভরবেগের-কেন্দ্র কাঠামোর বিচ্ছিন্ন ব্যবস্থাগুলিতে প্রযোজ্য যেখানে ভরবেগের সমষ্টি শূন্য।

এই সূত্রটিকে অভিহিত মূল্যে নিলে, আমরা দেখতে পাই যে আপেক্ষিকতায়, ভর হলো শক্তির অপর নাম (এবং বিভিন্ন এককে পরিমাপ করা হয়)। ১৯২৭ সালে আইনস্টাইন বিশেষ আপেক্ষিকতা সম্পর্কে মন্তব্য করেছিলেন, "এই তত্ত্বের অধীনে ভর একটি অপরিবর্তনীয় মাত্রা নয়, তবে শক্তির পরিমাণের উপর (এবং, প্রকৃতপক্ষে, অভিন্ন) নির্ভরশীল মাত্রা।" ^[৫]

বদ্ধ (বিচ্ছিন্ন) ব্যবস্থা

একটি "সম্পূর্ণ-বদ্ধ" ব্যবস্থায় (অর্থাৎ, বিচ্ছিন্ন ব্যবস্থা) মোট শক্তি, মোট ভরবেগ এবং তাই মোট অপরিবর্তনীয় ভর সংরক্ষিত হয়। ভরের পরিবর্তনের জন্য আইনস্টাইনের সূত্রটি তার সহজতম Δ E = Δ mc ² ফর্মে পরিণত হয়, তবে, শুধুমাত্র বদ্ধ-নয় এমন ব্যবস্থায় যেখানে শক্তি নিষ্কৃতির অনুমতি দেওয়া হয় (উদাহরণস্বরূপ, তাপ এবং আলো হিসাবে), এবং এইভাবে অপরিবর্তনীয় ভর হ্রাস পায়। আইনস্টাইনের সমীকরণ দেখায় যে এই ধরনের ব্যবস্থাগুলি অবশ্যই ভর ত্যাগ করতে হবে, উপরোক্ত সূত্র অনুসারে, তারা চারপাশে যে শক্তি ত্যাগ করে তার সমানুপাতিক। বিপরীতভাবে, যদি কেউ একটি তাপ এবং আলো প্রকাশ করে এমন বিক্রিয়া হওয়ার আগে, এবং বিক্রিয়ার পরে ব্যবস্থাটি থেকে যখন তাপ এবং আলো ত্যাগ করার পর, ব্যবস্থার মধ্যে ভরের পার্থক্য পরিমাপ করতে পারে, তবে ব্যবস্থাটি থেকে নিষ্কৃতি পাওয়া শক্তির পরিমাণ অনুমান করা যেতে পারে।

রাসায়নিক এবং পারমাণবিক বিক্রিয়া

পারমাণবিক এবং রাসায়নিক বিক্রিয়া উভয় ক্ষেত্রে, এই ধরনের শক্তি পরমাণুতে (রসায়নের জন্য) বা পরমাণু-কেন্দ্রক (নিউক্লিয়াস)-এর নিউক্লিয়নের মধ্যে (পারমাণবিক বিক্রিয়ায়) ইলেকট্রনের বন্ধন শক্তির পার্থক্যকে নির্দেশ করে। উভয় ক্ষেত্রেই, বিক্রিয়ক এবং (শীতল) বিক্রিয়াজাতগুলির মধ্যে ভরের পার্থক্য তাপ এবং আলোর ভরের পরিমাপের সমান যা প্রতিক্রিয়া থেকে নিষ্কৃতি পায় এবং এইভাবে (সমীকরণ ব্যবহার করে) তাপ এবং আলোর সমতুল্য শক্তি দেয় যা বিক্রিয়াটি অগ্রসর হলে নির্গত হতে পারে। .

রসায়নে, নির্গত শক্তির সাথে যুক্ত ভরের পার্থক্যগুলি আণবিক ভরের প্রায় 10⁻⁹ গুণ। ^[৬] যাইহোক, পারমাণবিক বিক্রিয়ায় শক্তি এত বেশি হয় যে তা ভরের পার্থক্যের সাথে যুক্ত থাকে, যা আগাম অনুমান করা যেতে পারে, যদি বিক্রিয়াজাত এবং বিক্রিয়কগুলির ভর পরিমাপ করা হয় (পারমাণবিক ভর ব্যবহার করে পরোক্ষভাবে পরমাণুগুলিকে ওজন করা যায়, যা সর্বদা প্রতিটি নিউক্লাইডের জন্য একই থাকে)। এইভাবে, আইনস্টাইনের সূত্র গুরুত্বপূর্ণ হয়ে ওঠে যখন কেউ বিভিন্ন পরমাণুর কেন্দ্রক (নিউক্লিয়াস)-এর ভর পরিমাপ করে। ভরের পার্থক্য দেখে, কেউ আন্দাজ করতে পারে কোন পরমাণু-কেন্দ্রক (নিউক্লিয়াস) শক্তি সঞ্চয় করেছে যা নির্দিষ্ট পারমাণবিক বিক্রিয়া দ্বারা নির্গত হতে পারে, গুরুত্বপূর্ণ তথ্য প্রদান করে যা পারমাণবিক শক্তির বিকাশে কার্যকর ছিল এবং যেমন, পারমাণবিক বোমা। ঐতিহাসিকভাবে, উদাহরণস্বরূপ, লিজে মাইটনার (Lise Meitner) পরমাণু-কেন্দ্রক (নিউক্লিয়াস)-এর ভরের পার্থক্য ব্যবহার করে অনুমান করতে সক্ষম হয়েছিলেন যে পারমাণবিক বিভাজন একটি অনুকূল প্রক্রিয়া করার জন্য যথেষ্ট শক্তি উপলব্ধ ছিল। আইনস্টাইনের সূত্রের এই বিশেষ রূপের প্রভাব এইভাবে এটিকে সমস্ত বিজ্ঞানের সবচেয়ে বিখ্যাত সমীকরণে পরিণত করেছে।

ভরবেগ কাঠামোর কেন্দ্র

সমীকরণ E = m₀c ² শুধুমাত্র তাদের ভরবেগ কাঠামো (ফ্রেমে)-এর কেন্দ্রে বিচ্ছিন্ন সংস্থার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। এটি জনপ্রিয়ভাবে ভুল বোঝা হয়েছে যে ভর শক্তিতে রূপান্তরিত হতে পারে, যার পরে ভর অদৃশ্য হয়ে যায়। কিন্তু, সংস্থাগুলিতে প্রয়োগ করা সমীকরণের জনপ্রিয় ব্যাখ্যাগুলির মধ্যে রয়েছে মুক্ত (অ-বিচ্ছিন্ন) ব্যবস্থাগুলি যার জন্য তাপ এবং আলোকের নির্গমন সম্ভব, তারা অন্যথায় সংস্থার ভর (স্থির ভর)-এ অবদান রাখত।

ঐতিহাসিকভাবে, ভর এবং "পদার্থ" এর মধ্যে বিভ্রান্তি দ্বারা ভরকে শক্তিতে "রূপান্তরিত" হওয়ার বিষয়ে বিভ্রান্তিতে সাহায্য করেছে, যেখানে পদার্থকে ফার্মিয়ন কণা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। এই ধরনের সংজ্ঞায়, তড়িৎ-চুম্বকীয় বিকিরণ এবং গতিশক্তি (বা তাপ) "পদার্থ" হিসাবে বিবেচিত হয় না। কিছু পরিস্থিতিতে, পদার্থ প্রকৃতপক্ষে শক্তির অ-পদার্থ গঠনে রূপান্তরিত হতে পারে (উপরে দেখুন), কিন্তু এই সমস্ত পরিস্থিতিতে, পদার্থ এবং শক্তির অ-পদার্থ গঠনগুলি এখনও তাদের আসল ভর বজায় রাখে।

বিচ্ছিন্ন সংস্থার জন্য (সমস্ত ভর এবং শক্তি বিনিময়ের জন্য বদ্ধ), ভর কখনোই ভরবেগ কাঠামো (ফ্রেম)-এর কেন্দ্রে অদৃশ্য হয় না, কারণ শক্তি অদৃশ্য হতে পারে না। পরিবর্তে, এই সমীকরণটি, প্রেক্ষাপটে, মানে শুধুমাত্র এই যে যখন ভরবেগের কেন্দ্রের কাঠামোয় (ফ্রেমে) কোনো সংস্থায় কোনো শক্তি যোগ করা হয় বা ত্যাগ করে, তখন সংস্থাটিতে যোগ হওয়া বা ছেড়ে যাওয়া শক্তির অনুপাতে ভর লাভ বা ত্যাগ করার হিসাবে পরিমাপ করা হয়। এইভাবে, তত্ত্বগতভাবে, যদি একটি পারমাণবিক বোমা একটি বাক্সে স্থাপন করা হয় যা তার বিস্ফোরণ ধরে রাখার জন্য যথেষ্ট শক্তিশালী হয় এবং একটি মাপনীতে বিস্ফোরিত হয়, তবে এই বদ্ধ সংস্থার ভর পরিবর্তন হবে না এবং কাঁটাটি সরবে না। শুধুমাত্র যখন অত্যন্ত-শক্তিশালী প্লাজমা-ভরা বাক্সে একটি স্বচ্ছ "জানালা" খোলা হয়, এবং আলো এবং তাপকে একটি মরীচিতে ত্যাগের অনুমতি দেওয়া হয় এবং বোমার উপাদানগুলিকে শীতল হওয়ার অনুমতি দেওয়া হয়, তখন সংস্থাটি কী বিস্ফোরণের শক্তির সাথে যুক্ত ভর হারাবে। একটি ২১ কিলোটন বোমায়, উদাহরণস্বরূপ, প্রায় এক গ্রাম আলো এবং তাপ তৈরি হয়। যদি এই তাপ এবং আলোকে নিষ্কৃতি দেওয়া হয়, বোমার অবশিষ্টাংশগুলি শীতল হওয়ার সাথে সাথে এক গ্রাম ভর হারাবে। এই চিন্তন-পরীক্ষায়, আলো এবং তাপ ভরের গ্রাম বহন করে এবং তাই এই গ্রাম ভর সেই বস্তুগুলিতে জমা হয় যা তাদের শোষণ করে। ^[৭]

কৌণিক ভরবেগ

আপেক্ষিকতার বলবিজ্ঞানে সময়ের সাথে পরিবর্তনশীল ভর মুহূর্ত

${\displaystyle \mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {v} \right)}$

এবং কক্ষপথে ৩-কৌণিক ভরবেগ

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p} }$

একটি বিন্দু-সদৃশ কণাকে ৪-অবস্থান X এবং কণাটির ৪-ভরবেগ P- এর পরিপ্রেক্ষিতে একটি চার-মাত্রিক দ্বি-ভেক্টরে একত্রিত করা হয়: ^{[৮] [৯]}

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} }$

যেখানে ∧ বাহ্যিক গুণফলকে বোঝায়। এই টেনসরটি যোজনীয়: একটি ব্যবস্থার মোট কৌণিক ভরবেগ হলো ব্যবস্থার প্রতিটি উপাদানের টেনসরের কৌণিক ভরবেগের সমষ্টি। সুতরাং, বিচ্ছিন্ন কণার সমাবেশের জন্য কেউ কণার কৌণিক ভরবেগের টেনসর যোগ করে, অথবা একটি অবিচ্ছিন্ন ভর বন্টনের পরিমাণের উপর কৌণিক ভরবেগের ঘনত্বের সমাকলন করে।

অন্যান্য বস্তু এবং ক্ষেত্রগুলির জন্য সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির সাথে একত্রিত হলে ছয়টি উপাদানের প্রতিটি একটি সংরক্ষিত রাশি গঠন করে।

বল

বিশেষ আপেক্ষিকতায়, নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রটি F = m a আকারে প্রকাশ না করে, তবে এটি যদি নিম্নরূপে প্রকাশ করা হয়

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$

যেখানে p = γ( v ) m ₀ v হলো উপরর সংজ্ঞা হিসাবে ভরবেগ এবং m ₀ হলো স্থির ভর । এইভাবে, নিম্নরূপে বল প্রকাশ করা হয়

${\displaystyle \mathbf {F} =\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }}$

ফলস্বরূপ, কিছু পুরানো লেখায়, γ( v ) ³ m ₀ কে অনুদৈর্ঘ্য ভর হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে, এবং γ( v ) m ₀ কে অনুপ্রস্থ ভর হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে, যা সংখ্যাগতভাবে আপেক্ষিক ভরের সমান। বিশেষ আপেক্ষিকতায় ভর দেখুন।

বল থেকে ত্বরণ গণনা করতে যদি এটিকে উল্টে দেওয়া হয়, তবে পাই

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {1}{m_{0}\gamma (\mathbf {v} )}}\left(\mathbf {F} -{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} )\mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\,.}$

এই বিভাগে বর্ণিত বল হলো চিরায়ত ত্রিমাত্রিক (3-D) বল যা একটি চার-ভেক্টর নয়। এই ত্রিমাত্রিক (3-D) বলটি, বলের উপযুক্ত ধারণা কারণ এই বলটি নিউটনের গতির তৃতীয় সূত্র মেনে চলে। এটি তথাকথিত চার-বলের সাথে বিভ্রান্ত হওয়া উচিত নয় যা বস্তুর কমোভিং কাঠামো (ফ্রেম)-এর ত্রিমাত্রিক (3-D) বল মাত্রই রূপান্তরিত হয় যেন এটি একটি চার-ভেক্টর। কিন্তু, ত্রিমাত্রিক (3-D) বলের ঘনত্ব (চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্র (4-ভলিউম)-এর প্রতি এককে স্থানান্তরিত রৈখিক ভরবেগ) একটি চার-ভেক্টর (ওজনের ঘনত্ব+১) যখন ঋণাত্মক স্থানান্তরিত শক্তির ঘনত্বের সাথে একত্রিত হয়।

বলের ভ্রামক (টর্ক)

একটি বিন্দু-সদৃশ কণার উপর ক্রিয়াশীল টর্ককে সঠিক সময়ের সাপেক্ষে উপরে প্রদত্ত কৌণিক ভরবেগ টেনসরের অন্তরকলজ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়: ^[১০]

${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}={\frac {d\mathbf {M} }{d\tau }}=\mathbf {X} \wedge \mathbf {F} }$

বা টেনসর উপাদানগুলির:

${\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }=X_{\alpha }F_{\beta }-X_{\beta }F_{\alpha }}$

যেখানে F হলো চতুর্মাত্রিক (4d) বল X ঘটনাতে কণার উপর কাজ করে। কৌণিক ভরবেগের মতো, ঘূর্ণন সঞ্চারক বল (টর্ক) যোজনীয়, তাই একটি বর্ধিত বস্তুর জন্য ভরের বণ্টনের একটি যোগফল বা সমকলন।

গতিশক্তি

কার্য-শক্তি তত্ত্ব বলে ^[১১] গতিশক্তির পরিবর্তন শরীরের উপর করা কাজের সমান। বিশেষ আপেক্ষিকতায়:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K=W=[\gamma _{1}-\gamma _{0}]m_{0}c^{2}.\end{aligned}}}$

প্রাথমিক অবস্থায় যদি কোনো বস্তু স্থিতাবস্থায় থাকে, তাহলে v₀ = 0 এবং γ₀(v₀) = 1, এবং চূড়ান্ত অবস্থায় এটির গতি v₁ আছে = v, সেটিং γ₁(v₁) = γ(v), গতিশক্তি তখন হয়;

${\displaystyle K=[\gamma (v)-1]m_{0}c^{2}\,,}$

মোট আপেক্ষিক শক্তি γ(v)m₀c ² থেকে অবশিষ্ট শক্তি m₀c ² বিয়োগ করে সরাসরি ফলাফল পাওয়া করা যেতে পারে।

নিউটনীয় সীমাবদ্ধতা

লরেন্টজ গুণক (ফ্যাক্টর) γ( v ) একটি টেলর ধারা বা দ্বিপদী ধারায় (সিরিজে) (v / c) ² < 1 এর জন্য বিস্তৃত করে, পাই:

${\displaystyle \gamma ={\dfrac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)=1+{\dfrac {1}{2}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}+{\dfrac {3}{8}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{4}+{\dfrac {5}{16}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{6}+\cdots }$

এবং ফলত

${\displaystyle E-m_{0}c^{2}={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}}{c^{2}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m_{0}v^{6}}{c^{4}}}+\cdots ;}$

${\displaystyle \mathbf {p} =m_{0}\mathbf {v} +{\frac {1}{2}}{\frac {m_{0}v^{2}\mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}\mathbf {v} }{c^{4}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m_{0}v^{6}\mathbf {v} }{c^{6}}}+\cdots .}$

আলোর বেগের চেয়ে অনেক কম বেগের জন্য, কেউ হর-এ c ² এবং উচ্চতর পদগুলিকে অগ্রাহ্য করতে পারে। এই সূত্রগুলি তখন নিউটনীয় গতিশক্তি এবং ভরবেগের মানক সংজ্ঞায় পর্যবসিত হয়। এটি যেমন হওয়া উচিত তেমনই, বিশেষ আপেক্ষিকতার জন্য কম বেগে নিউটনীয় বলবিজ্ঞানের সাথে সম্মত হওয়া আবশ্যক।

তথ্যসূত্র

মন্তব্য

1. Philip Gibbs, Jim Carr; Don Koks (২০০৮)। "What is relativistic mass?"। Usenet Physics FAQ। সংগ্রহের তারিখ ২০০৮-০৯-১৯।  Note that in 2008 the last editor, Don Koks, rewrote a significant portion of the page, changing it from a view extremely dismissive of the usefulness of relativistic mass to one which hardly questions it. The previous version was: Philip Gibbs; Jim Carr (১৯৯৮)। "Does mass change with speed?"। Usenet Physics FAQ। ২০০৭-০৬-৩০ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। 
2. See, for example: Feynman, Richard (১৯৯৮)। "The special theory of relativity"। Six Not-So-Easy Pieces। Perseus Books। আইএসবিএন 0-201-32842-9। 
3. Lev B. Okun (জুলাই ১৯৮৯)। "The Concept of Mass" (পিডিএফ): 31–36। ডিওআই:10.1063/1.881171। ২০০৮-১২-১৭ তারিখে মূল (subscription required) থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০১২-০৬-০৪। 
4. T. R. Sandin (নভেম্বর ১৯৯১)। "In defense of relativistic mass": 1032–1036। ডিওআই:10.1119/1.16642। 
5. Einstein on Newton
6. Randy Harris (২০০৮)। Modern Physics: Second Edition। Pearson Addison-Wesley। পৃষ্ঠা 38। আইএসবিএন 978-0-8053-0308-7। 
7. E. F. Taylor and J. A. Wheeler, Spacetime Physics, W.H. Freeman and Co., New York. 1992. আইএসবিএন ০-৭১৬৭-২৩২৭-১, see pp. 248–9 for discussion of mass remaining constant after detonation of nuclear bombs, until heat is allowed to escape.
8. R. Penrose (২০০৫)। The Road to Reality। Vintage books। পৃষ্ঠা 437–438, 566–569। আইএসবিএন 978-0-09-944068-0।  Note: Some authors, including Penrose, use Latin letters in this definition, even though it is conventional to use Greek indices for vectors and tensors in spacetime.
9. M. Fayngold (২০০৮)। Special Relativity and How it Works। John Wiley & Sons। পৃষ্ঠা 137–139। আইএসবিএন 978-3-527-40607-4। 
10. S. Aranoff (১৯৭২)। "Equilibrium in special relativity" (পিডিএফ): 159। ডিওআই:10.1007/BF02911417। ২০১২-০৩-২৮ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০১৩-১০-১৩। 
11. R.C.Tolman "Relativity Thermodynamics and Cosmology" pp 47–48

• C. Chryssomalakos; H. Hernandez-Coronado (২০০৯)। "Center of mass in special and general relativity and its role in an effective description of spacetime": 012026। arXiv:0901.3349 । ডিওআই:10.1088/1742-6596/174/1/012026। 

আরও পড়ুন

সাধারণ কর্ম পরিধি এবং বিশেষ/সাধারণ আপেক্ষিকতা

• P.M. Whelan; M.J. Hodgeson (১৯৭৮)। Essential Principles of Physics (2nd সংস্করণ)। John Murray। আইএসবিএন 0-7195-3382-1। 
• G. Woan (২০১০)। The Cambridge Handbook of Physics Formulas। Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-0-521-57507-2। 
• P.A. Tipler; G. Mosca (২০০৮)। Physics for Scientists and Engineers: With Modern Physics (6th সংস্করণ)। W.H. Freeman and Co। আইএসবিএন 978-1-4292-0265-7। 
• R.G. Lerner; G.L. Trigg (২০০৫)। Encyclopaedia of Physics (2nd সংস্করণ)। VHC Publishers, Hans Warlimont, Springer। আইএসবিএন 978-0-07-025734-4। 
• Concepts of Modern Physics (4th Edition), A. Beiser, Physics, McGraw-Hill (International), 1987, আইএসবিএন ০-০৭-১০০১৪৪-১
• C.B. Parker (১৯৯৪)। McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd সংস্করণ)। McGraw Hill। আইএসবিএন 0-07-051400-3। 
• T. Frankel (২০১২)। The Geometry of Physics (3rd সংস্করণ)। Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-1-107-60260-1। 
• L.H. Greenberg (১৯৭৮)। Physics with Modern Applications। Holt-Saunders International W.B. Saunders and Co। আইএসবিএন 0-7216-4247-0। 
• A. Halpern (১৯৮৮)। 3000 Solved Problems in Physics, Schaum Series। Mc Graw Hill। আইএসবিএন 978-0-07-025734-4। 

তড়িৎচুম্বকত্ব এবং বিশেষ আপেক্ষিকতা

• G.A.G. Bennet (১৯৭৪)। Electricity and Modern Physics (2nd সংস্করণ)। Edward Arnold (UK)। আইএসবিএন 0-7131-2459-8। 
• I.S. Grant; W.R. Phillips (২০০৮)। Electromagnetism (2nd সংস্করণ)। John Wiley & Sons। আইএসবিএন 978-0-471-92712-9। 
• D.J. Griffiths (২০০৭)। Introduction to Electrodynamics (3rd সংস্করণ)। Pearson Education, Dorling Kindersley। আইএসবিএন 978-81-7758-293-2। 

চিরায়ত বলবিজ্ঞান এবং বিশেষ আপেক্ষিকতা

• J.R. Forshaw; A.G. Smith (২০০৯)। Dynamics and Relativity। Wiley। আইএসবিএন 978-0-470-01460-8। 
• D. Kleppner; R.J. Kolenkow (২০১০)। An Introduction to Mechanics। Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-0-521-19821-9। 
• L.N. Hand; J.D. Finch (২০০৮)। Analytical Mechanics। Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-0-521-57572-0। 
• P.J. O'Donnell (২০১৫)। Essential Dynamics and Relativity। CRC Press। আইএসবিএন 978-1-4665-8839-4। 

সাধারণ আপেক্ষিকতা

• D. McMahon (২০০৬)। Relativity DeMystified। Mc Graw Hill। আইএসবিএন 0-07-145545-0। 
• J.A. Wheeler; C. Misner (১৯৭৩)। Gravitation। W.H. Freeman & Co। আইএসবিএন 0-7167-0344-0। 
• J.A. Wheeler; I. Ciufolini (১৯৯৫)। Gravitation and Inertia। Princeton University Press। আইএসবিএন 978-0-691-03323-5। 
• R.J.A. Lambourne (২০১০)। Relativity, Gravitation, and Cosmology। Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-0-521-13138-4।