কশি সূচক

গাণিতিক বিশ্লেষণে, কশি সূচক হলো একটি পূর্ণসংখ্যা যা একটি ব্যবধানে একটি বাস্তব মূলদ ফাংশনের সাথে যুক্ত। রাউথ-হুরউইটজ উপপাদ্য দ্বারা, আমাদের নিম্নলিখিত ব্যাখ্যা আছে। কশি সূচক:

r ( x ) = p ( x ) / q ( x )

আসল রেখার উপরে হল ডান অর্ধেক প্লেনে অবস্থিত f ( z ) এর শিকড়ের সংখ্যা এবং বাম অর্ধেক প্লেনে অবস্থিতগুলির মধ্যে পার্থক্য। জটিল বহুপদী f ( z ) এমন

f ( iy ) = q ( y ) + ip ( y )।

আমাদের অবশ্যই অনুমান করতে হবে যে p এর ডিগ্রী q এর ডিগ্রীর চেয়ে কম।^[১]

সংজ্ঞা

• ১৮৩৭ সালে অগাস্টিন-লুই কশি দ্বারা যুক্তিসঙ্গত ফাংশনের মেরুগুলির জন্য কশি সূচকটি প্রথম সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল যেমন একতরফা সীমা ব্যবহার করে:

${\displaystyle I_{s}r={\begin{cases}+1,&{\text{if }}\displaystyle \lim _{x\uparrow s}r(x)=-\infty \;\land \;\lim _{x\downarrow s}r(x)=+\infty ,\\-1,&{\text{if }}\displaystyle \lim _{x\uparrow s}r(x)=+\infty \;\land \;\lim _{x\downarrow s}r(x)=-\infty ,\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

• কমপ্যাক্ট ব্যবধানের উপর একটি সাধারণীকরণ [ a, b ] সরাসরি (যখন a বা b উভয়ই r ( x ) এর মেরু নয়): এটি কচি সূচকের সমষ্টি ${\displaystyle I_{s}}$ ব্যবধানে অবস্থিত প্রতিটি s-এর জন্য r। আমরা সাধারণত এটি দ্বারা চিহ্নিত করিঃ ${\displaystyle I_{a}^{b}r}$ .
• আমরা তখন টাইপের ব্যবধানে সাধারণীকরণ করতে পারি ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$ যেহেতু r- এর মেরুগুলি একটি সসীম সংখ্যা ( a এবং b- এর জন্য কচি সূচকের সীমাকে [ a, b ] ধরে নিয়ে অসীমতায় চলে যায়)।

উদাহরণ

একটি যৌক্তিক ফাংশন

• যুক্তিবাদী ফাংশন বিবেচনা করুন:

${\displaystyle r(x)={\frac {4x^{3}-3x}{16x^{5}-20x^{3}+5x}}={\frac {p(x)}{q(x)}}.}$

আমরা ডিগ্রী ৩ এবং ৫ এর চেবিশেভ বহুপদ যথাক্রমে p (x) এবং q (x) এ চিনতে পারি। অতএব, r (x) এর খুঁটি রয়েছে ${\displaystyle x_{1}=0.9511}$, ${\displaystyle x_{2}=0.5878}$, ${\displaystyle x_{3}=0}$, ${\displaystyle x_{4}=-0.5878}$ এবং ${\displaystyle x_{5}=-0.9511}$, যেমন ${\displaystyle x_{j}=\cos((2i-1)\pi /2n)}$ জন্য ${\displaystyle j=1,...,5}$ . আমরা ছবিতে দেখতে পাচ্ছি যে ${\displaystyle I_{x_{1}}r=I_{x_{2}}r=1}$ এবং ${\displaystyle I_{x_{4}}r=I_{x_{5}}r=-1}$ . শূন্য মেরু জন্য, আমরা আছে ${\displaystyle I_{x_{3}}r=0}$ যেহেতু বাম এবং ডান সীমা সমান (যার কারণ p (x) এরও শূন্যের একটি মূল রয়েছে)। আমরা যে উপসংহার ${\displaystyle I_{-1}^{1}r=0=I_{-\infty }^{+\infty }r}$ যেহেতু q (x) এর মাত্র পাঁচটি মূল আছে, সবগুলোই [ − 1,1]। আমরা এখানে F (iy) এর সাথে প্রতিটি জটিল বহুপদী হিসাবে Routh-Hurwitz উপপাদ্য ব্যবহার করতে পারি না। = q (y)  + ip (y) এর কাল্পনিক লাইনে একটি শূন্য রয়েছে (যেমন মূলে)।

তথ্যসূত্র

1. "The Cauchy Index"। deslab.mit.edu। সংগ্রহের তারিখ ২০২৪-০১-২০।