কসি–শোয়ার্জের অসমতা

কসি–শোয়ার্জের অসমতা (যাকে কসি-বুনিয়াকোভস্কি-শোয়ার্জ অসমতাও বলা হয়) ^{[১][২][৩]} হল ভেক্টর নর্মের গুণফলের পরিপ্রেক্ষিতে একটি অভ্যন্তরীণ গুণফলের স্থানে(ইনার প্রোডাক্ট স্পেস) দুটি ভেক্টরের মধ্যে অভ্যন্তরীণ গুণফলের উপর একটি ঊর্ধ্বসীমা। এটি গণিতে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ এবং বহুল ব্যবহৃত অসমতার মধ্যে একটি হিসাবে বিবেচিত হয়। ^[৪]

ভেক্টরের অভ্যন্তরীণ গুণফলকে সসীম যোগফল (সসীম-মাত্রিক ভেক্টর স্পেসের মাধ্যমে), অসীম সিরিজ ( সিকোয়েন্স স্পেসের ভেক্টরগুলির মাধ্যমে) এবং ইন্টিগ্রাল ( হিলবার্ট স্পেসের ভেক্টরগুলির মাধ্যমে) হিসেবে বর্ণনা করা যেতে পারে। যোগের অসমতা অগাস্টিন লুইস কসি দ্বারা প্রকাশিত হয়েছিল ১৮২১ সালে। ইন্টিগ্রালের জন্য সংশ্লিষ্ট অসমতা প্রকাশ করেছিলেন ভিক্টর বুনিয়াকোভ্স্কি (১৮৫৯) এবং হারম্যান শোয়ার্জ (১৮৮৮)। শোয়ার্জ ইন্টিগ্রাল সংস্করণের আধুনিক প্রমাণ দিয়েছেন। ^[৪]

অসমতার বিবৃতি

কসি-শোয়ার্জ অসমতা বলে যে ${\displaystyle \mathbf {u} }$ এবং ${\displaystyle \mathbf {v} }$ সমস্ত ভেক্টরের জন্য একটি অভ্যন্তরীণ প্রোডাক্ট স্পেসে

${\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,}$

(1)

কোথায় ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ হল ইনার প্রোডাক্ট । অভ্যন্তরীণ গুণফলের উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে বাস্তব এবং জটিল ডট গুণফল ; অভ্যন্তরীণ গুণফলের উদাহরণগুলি দেখুন। প্রতিটি অভ্যন্তরীণ গুণফল থেকে একটি ইউক্লিডীয় ${\displaystyle \ell _{2}}$ নর্ম পাওয়া যায়, যাকে ক্যানোনিক্যাল বা induced norm বলা হয়, যেখানে একটি ভেক্টর ${\displaystyle \mathbf {u} }$- এর নর্ম চিহ্নিত এবং সংজ্ঞায়িত করা হয়, $${\displaystyle \|\mathbf {u} \|:={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }},}$$ যেখানে ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }$ সর্বদা একটি অ-ঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা (অভ্যন্তরীণ গুণফলটি জটিল-সংখ্যা হলেও)। উপরোক্ত অসমতার উভয় পক্ষের বর্গমূল গ্রহণ করে, কসি-শোয়ার্জ অসমতাকে নর্মের পরিপ্রেক্ষিতে আরও পরিচিত আকারে লেখা যেতে পারে:^[৫][৬]

এছাড়াও, উভয় পক্ষই সমান হবে, শুধুমাত্র যদি ${\displaystyle \mathbf {u} }$ এবং ${\displaystyle \mathbf {v} }$ রৈখিকভাবে নির্ভরশীল(লিনিয়ারলি ডিপেনডেন্ট) হয়। ^{[৭][৮][৯]}

বিশেষ ক্ষেত্রে

সেদ্রাকিয়ানের লেমা – ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা

সেদ্রাকিয়ানের অসমতা, যা বার্গস্ট্রোমের অসমতা, এঙ্গেলের রূপ, টিটুর লেমা (অথবা T2 লেমা) নামেও পরিচিত, বলে যে ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}}$ বাস্তব সংখ্যার জন্য এবং ${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}}$ ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য: $${\displaystyle {\frac {\left(u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}\right)^{2}}{v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n}}}\leq {\frac {u_{1}^{2}}{v_{1}}}+{\frac {u_{2}^{2}}{v_{2}}}+\cdots +{\frac {u_{n}^{2}}{v_{n}}},}$$অথবা, সমষ্টি চিহ্ন ব্যবহার করে বলা যেতে পারে, $${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\biggr )}^{2}{\bigg /}\sum _{i=1}^{n}v_{i}\,\leq \,\sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}.}$$

এটি কসি-শোয়ার্জ অসমতার সরাসরি পরিণতি, যা ডট গুণফল ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-এর উপর ব্যবহার করে এবং ${\displaystyle u_{i}'={\frac {u_{i}}{\sqrt {v_{i}{\vphantom {t}}}}}}$ ও ${\displaystyle v_{i}'={\textstyle {\sqrt {v_{i}{\vphantom {t}}}}}}$, এই প্রতিস্থাপন ব্যবহার করে পাওয়া যায়। এই ফর্মটি বিশেষভাবে সহায়ক যখন অসমতা ভগ্নাংশের সাথে জড়িত, যেখানে ভগ্নাংশের লব একটি পূর্ণবর্গ ।

R² - সমতল

ইউক্লিডীয় সমতলের একক বৃত্তে কসি-শোয়ার্জ অসমতা

বাস্তব ভেক্টর স্পেস ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ দ্বিমাত্রিক সমতল নির্দেশ করে। এটি একটি দ্বিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানও(স্পেস) যেখানে অভ্যন্তরীণ গুণফল হল ডট গুণফল(ডট প্রোডাক্ট) । যদি ${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},u_{2})}$ এবং ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2})}$ তাহলে কৌচি-শোয়ার্জ বৈষম্য হয়ে ওঠে: $${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ^{2}={\bigl (}\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|\cos \theta {\bigr )}^{2}\leq \|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2},}$$কোথায় ${\displaystyle \theta }$ হল ${\displaystyle \mathbf {u} }$ এবং ${\displaystyle \mathbf {v} }$ এর মধ্যে কোণ

উপরের ফর্মটি সম্ভবত অসমতা বোঝার সবচেয়ে সহজ উপায়, কারণ কোসাইনের বর্গ সর্বাধিক ১ হতে পারে, যা তখন ঘটে যখন ভেক্টরগুলি একই বা বিপরীত দিকে থাকে। এটি ${\displaystyle u_{1}}$, ${\displaystyle u_{2}}$, ${\displaystyle v_{1}}$, এবং ${\displaystyle v_{2}}$ ভেক্টর স্থানাঙ্কের পরিপ্রেক্ষিতে পুনরায় বর্ণনা করা যেতে পারে যেমন $${\displaystyle \left(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}\right)^{2}\leq \left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}\right)\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right),}$$যেখানে সমতা বজায় থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি ${\displaystyle \left(u_{1},u_{2}\right)}$ ভেক্টরের একই বা বিপরীত দিকে ${\displaystyle \left(v_{1},v_{2}\right)}$ভেক্টর থাকে, অথবা যদি তাদের মধ্যে একটি শূন্য ভেক্টর হয়।

Rⁿ : n মাত্রিক ইউক্লিডিয়ান স্পেস

ইউক্লিডীয় স্পেসে ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ও এই স্পেসের আদর্শ অভ্যন্তরীণ গুণফল, যা ডট গুণফল, দিয়ে কসি-শোয়ার্জ অসমতা প্রকাশ করলে: $${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}{\biggr )}^{2}\leq {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}{\biggr )}.}$$

এই ক্ষেত্রে শুধুমাত্র প্রাথমিক বীজগণিত ব্যবহার করে কৌচি-শোয়ার্জ অসমতা প্রমাণ করা যেতে পারে, ডান এবং বাম দিকের পার্থক্য হল পর্যবেক্ষণ করলে$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(u_{i}v_{j}-u_{j}v_{i})^{2}\geq 0}$$

অথবা নিম্নলিখিত ${\displaystyle x}$ এর দ্বিঘাত বহুপদী বিবেচনা করলে$${\displaystyle (u_{1}x+v_{1})^{2}+\cdots +(u_{n}x+v_{n})^{2}={\biggl (}\sum _{i}u_{i}^{2}{\biggr )}x^{2}+2{\biggl (}\sum _{i}u_{i}v_{i}{\biggr )}x+\sum _{i}v_{i}^{2}.}$$

যেহেতু পরের বহুপদীটি অঋণাত্মক, তাই এর সর্বাধিক একটি বাস্তব মূল আছে, তাই এর বিভেদক শূন্যের চেয়ে কম বা সমান। অর্থাৎ, $${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i}u_{i}v_{i}{\biggr )}^{2}-{\biggl (}\sum _{i}{u_{i}^{2}}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{i}{v_{i}^{2}}{\biggr )}\leq 0.}$$

Cⁿ : n মাত্রিক জটিল স্পেস

যদি ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$ এবং ${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{n})}$ ও ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ (যেখানে ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {C} }$ এবং ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {C} }$ ) এবং যদি অভ্যন্তরীণ গুণফল ভেক্টর স্পেস ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$-এর ক্যানোনিকাল জটিল অভ্যন্তরীণ গুণ (দ্বারা সংজ্ঞায়িত ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle :=u_{1}{\overline {v_{1}}}+\cdots +u_{n}{\overline {v_{n}}},}$ যেখানে জটিল সংযোজনের জন্য বার নোটেশন ব্যবহার করা হয়), তাহলে অসমতাটি আরও স্পষ্টভাবে নিম্নরূপে পুনঃনির্ধারণ করা যেতে পারে: $${\displaystyle {\bigl |}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle {\bigr |}^{2}={\Biggl |}\sum _{k=1}^{n}u_{k}{\bar {v}}_{k}{\Biggr |}^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ={\biggl (}\sum _{k=1}^{n}u_{k}{\bar {u}}_{k}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}v_{k}{\bar {v}}_{k}{\biggr )}=\sum _{j=1}^{n}|u_{j}|^{2}\sum _{k=1}^{n}|v_{k}|^{2}.}$$

অর্থাৎ, $${\displaystyle {\bigl |}u_{1}{\bar {v}}_{1}+\cdots +u_{n}{\bar {v}}_{n}{\bigr |}^{2}\leq {\bigl (}|u_{1}|{}^{2}+\cdots +|u_{n}|{}^{2}{\bigr )}{\bigl (}|v_{1}|{}^{2}+\cdots +|v_{n}|{}^{2}{\bigr )}.}$$

L²

বর্গাকার-সমন্বিত জটিল-মূল্যযুক্ত ফাংশনের অভ্যন্তরীণ গুণফল জনেসেরয, নিম্নলিখিত অসমতাটি ধারণ করে। $${\displaystyle \left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\overline {g(x)}}\,dx\right|^{2}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\bigl |}f(x){\bigr |}^{2}\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\bigl |}g(x){\bigr |}^{2}\,dx.}$$

হোল্ডার বৈষম্য হলো এর একটি সাধারণীকরণ।

ব্যবহার

বিশ্লেষণ

যেকোনো অভ্যন্তরীণ গুণফল স্থানে, ত্রিভুজ বৈষম্য হল কচি-শোয়ার্জ বৈষম্যের ফলাফল, যেমনটি এখন দেখানো হয়েছে: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}&=\langle \mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle &&\\&=\|\mathbf {u} \|^{2}+\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle +\|\mathbf {v} \|^{2}~&&~{\text{ where }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }}\\&=\|\mathbf {u} \|^{2}+2\operatorname {Re} \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\|\mathbf {v} \|^{2}&&\\&\leq \|\mathbf {u} \|^{2}+2|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |+\|\mathbf {v} \|^{2}&&\\&\leq \|\mathbf {u} \|^{2}+2\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {v} \|^{2}~&&~{\text{ using CS}}\\&={\bigl (}\|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|{\bigr )}^{2}.&&\end{alignedat}}}$$

ত্রিভুজ অসমতার বর্গমূল নিলে পাওয়া যায়: $${\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|.}$$

অভ্যন্তরীণ গুণফল দ্বারা সৃষ্ট টপোলজির সাপেক্ষে অভ্যন্তরীণ গুণফল একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন তা প্রমাণ করার জন্য কচি-শোয়ার্জ অসমতা ব্যবহার করা হয়। ^{[১০][১১]}

জ্যামিতি

কসি-শোয়ার্জ অসমতা "দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ" ধারণাটিকে যেকোনো বাস্তব অভ্যন্তরীণ-প্রোডাক্ট স্পেস পর্যন্ত প্রসারিত করার অনুমতি দেয়:^{[১২][১৩]} $${\displaystyle \cos \theta _{\mathbf {u} \mathbf {v} }={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}}.}$$

কসি-শোয়ার্জ অসমতা প্রমাণ করে যে এই সংজ্ঞাটি যুক্তিসঙ্গত, এখানে দেখানো হয় যে ডান দিকটি [−1, 1] ব্যবধানে অবস্থিত এবং এই ধারণাটিকে ন্যায্যতা দেয় যে (প্রকৃত) হিলবার্ট স্পেসগুলি কেবল ইউক্লিডীয় স্পেসের সাধারণীকরণ। জটিল অভ্যন্তরীণ-প্রোডাক্ট স্পেসে পরম মান বা ডান দিকের বাস্তব অংশ গ্রহণ করে, একটি কোণ সংজ্ঞায়িত করতেও ব্যবহার করা যেতে পারে,^{[১৪][১৫]} যেমনটি কোয়ান্টাম ফিডেলিটি থেকে একটি মেট্রিক বের করার সময় করা হয়।

সম্ভাব্যতা তত্ত্ব

ধরা হল, ${\displaystyle X}$ এবং ${\displaystyle Y}$ এলোমেলো ভেরিয়েবল। সুতরাং সহভ্যারিয়েন্স অসমতা ^{[১৬][১৭]} থেকে পাওয়া যায়: $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)\geq {\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)^{2}}{\operatorname {Var} (Y)}}.}$$

দৈব চলকের সেটে তাদের প্রোডাক্টের প্রত্যাশা ব্যবহার করে অভ্যন্তরীণ গুণফল সংজ্ঞায়িত করার পর, $${\displaystyle \langle X,Y\rangle :=\operatorname {E} (XY),}$$কসি-শোয়ার্জ বৈষম্য হয়ে ওঠে $${\displaystyle {\bigl |}\operatorname {E} (XY){\bigr |}^{2}\leq \operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} (Y^{2}).}$$

কচি-শোয়ার্জ অসমতা ব্যবহার করে সহ-প্রকরণ বৈষম্য প্রমাণ করতে, ধরুন ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)}$ এবং ${\displaystyle \nu =\operatorname {E} (Y),}$ তারপর $${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl |}\operatorname {Cov} (X,Y){\bigr |}^{2}&={\bigl |}\operatorname {E} ((X-\mu )(Y-\nu )){\bigr |}^{2}\\&={\bigl |}\langle X-\mu ,Y-\nu \rangle {\bigr |}^{2}\\&\leq \langle X-\mu ,X-\mu \rangle \langle Y-\nu ,Y-\nu \rangle \\&=\operatorname {E} \left((X-\mu )^{2}\right)\operatorname {E} \left((Y-\nu )^{2}\right)\\&=\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y),\end{aligned}}}$$যেখানে ${\displaystyle \operatorname {Var} }$ ভেদাঙ্ক(ভ্যারিয়েন্স) নির্দেশ করে এবং ${\displaystyle \operatorname {Cov} }$ সহ-ভেদাঙ্ক বোঝায়।

সাধারণীকরণ

কসি-শোয়ার্জ বৈষম্যের বিভিন্ন সাধারণীকরণ বিদ্যমান। হোল্ডারের বৈষম্য এটির সাধারণীকরণ করে ${\displaystyle L^{p}}$ নর্মে। আরও সাধারণভাবে, এটিকে ব্যানাচ স্পেসে একটি রৈখিক অপারেটরের নর্ম-এর সংজ্ঞার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে (যেমন, যখন স্থানটি একটি হিলবার্ট স্পেস হয়)। আরও সাধারণীকরণ করা যায় অপারেটর তত্ত্বের প্রেক্ষাপটে, যেমন অপারেটর-উত্তল ফাংশন এবং অপারেটর বীজগণিতের জন্য, যেখানে ডোমেন এবং/অথবা রেঞ্জ একটি C*-বীজগণিত বা W*-বীজগণিত দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়।

একটি ধনাত্মক রৈখিক অপেক্ষক সংজ্ঞায়িত করতে একটি অভ্যন্তরীণ গুণফল ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, একটি হিলবার্ট স্থান দেওয়া হয়েছে ${\displaystyle L^{2}(m),m}$ একটি সীমাবদ্ধ পরিমাপ(ফাইনাইট মেজার) হওয়ায়, আদর্শ অভ্যন্তরীণ প্রোডাক্ট প্রকাশ করা হয় একটি ইতিবাচক অপেক্ষক ${\displaystyle \varphi }$ দ্বারা ${\displaystyle \varphi (g)=\langle g,1\rangle .}$ বিপরীতভাবে, প্রতিটি ধনাত্মক রৈখিক অপেক্ষক ${\displaystyle \varphi }$ এর উপর ${\displaystyle L^{2}(m)}$ একটি অভ্যন্তরীণ প্রোডাক্ট সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে ${\displaystyle \langle f,g\rangle _{\varphi }:=\varphi \left(g^{*}f\right),}$ যখন ${\displaystyle g^{*}}$ হল এর বিন্দুভিত্তিক জটিল সংযোজক ${\displaystyle g.}$এর। এই ভাষায়, কসি-শোয়ার্জ বৈষম্য ^[১৮] হয়ে যায় $${\displaystyle {\bigl |}\varphi (g^{*}f){\bigr |}^{2}\leq \varphi \left(f^{*}f\right)\varphi \left(g^{*}g\right),}$$

যা C*-বীজগণিতের ধনাত্মক ফাংশনাল পর্যন্ত প্রসারিত হয়:

C*-বীজগণিতের ধনাত্মক ফাংশনালের জন্য কসি-শোয়ার্জ অসমতা^{[১৯][২০]} — যদি ${\displaystyle \varphi }$ একটি C*- বীজগণিত ${\displaystyle A,}$ এর উপর একটি রৈখিক অপেক্ষক হয় তাহলে সব ${\displaystyle a,b\in A}$, এর জন্য ${\displaystyle \left|\varphi \left(b^{*}a\right)\right|^{2}\leq \varphi \left(b^{*}b\right)\varphi \left(a^{*}a\right).}$

পরবর্তী দুটি উপপাদ্য অপারেটর বীজগণিতের আরও উদাহরণ।

কাডিসন-শোয়ার্জ বৈষম্য^{[২১][২২]} (রিচার্ড ক্যাডিসন-এর নামানুসারে নামকরণ করা হয়েছে) — যদি ${\displaystyle \varphi }$ একটি একক ধনাত্মক ম্যাপ হয়, তবে ডোমেইনে থাকা প্রত্যেকটি নরম্যাল এলিমেন্ট ${\displaystyle a}$-এর জন্য, আমরা পাই ${\displaystyle \varphi (a^{*}a)\geq \varphi \left(a^{*}\right)\varphi (a)}$ and ${\displaystyle \varphi \left(a^{*}a\right)\geq \varphi (a)\varphi \left(a^{*}\right).}$

এটি এই সত্যটিকে আরও বিস্তৃত করে ${\displaystyle \varphi \left(a^{*}a\right)\cdot 1\geq \varphi (a)^{*}\varphi (a)=|\varphi (a)|^{2},}$ যখন ${\displaystyle \varphi }$ একটি রৈখিক অপেক্ষক। এই ঘটনাটি যখন ${\displaystyle a}$ স্ব-সংযুক্ত, অর্থাৎ, ${\displaystyle a=a^{*},}$ তখন ক্যাডিসনের বৈষম্য নামে পরিচিত।

কসি-শোয়ার্জ বৈষম্য (২-ধনাত্মক মানচিত্রের জন্য পরিবর্তিত শোয়ার্জ অসমতা^[২৩]) — For a 2-positive map ${\displaystyle \varphi }$ between C*-algebras, for all ${\displaystyle a,b}$ in its domain, $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (a)^{*}\varphi (a)&\leq \Vert \varphi (1)\Vert \varphi \left(a^{*}a\right),{\text{ and }}\\[5mu]\Vert \varphi \left(a^{*}b\right)\Vert ^{2}&\leq \Vert \varphi \left(a^{*}a\right)\Vert \cdot \Vert \varphi \left(b^{*}b\right)\Vert .\end{aligned}}}$$

আরেকটি সাধারণীকরণ হল কসি-শোয়ার্জ অসমতার উভয় পক্ষের মধ্যে প্রবর্তনের মাধ্যমে প্রাপ্ত একটি পরিমার্জন:

ক্যালেবাউটের বৈষম্য^[২৪] — For reals ${\displaystyle 0\leq s\leq t\leq 1,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}{\biggr )}^{2}~&\leq ~{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1+s}b_{i}^{1-s}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1-s}b_{i}^{1+s}{\biggr )}\\&\leq ~{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1+t}b_{i}^{1-t}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1-t}b_{i}^{1+t}{\biggr )}~\leq ~{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}{\biggr )}.\end{aligned}}}$$

এই উপপাদ্যটি হোল্ডারের অসমতা থেকে অনুমান করা যেতে পারে। ^[২৫] ম্যাট্রিক্সের অপারেটর এবং টেনসর প্রোডাক্টের নন-কমিউটেটিভ সংস্করণও রয়েছে। ^[২৬]

কসি-শোয়ার্জ অসমতা এবং ক্যান্টোরোভিচ বৈষম্যের বেশ কয়েকটি ম্যাট্রিক্স সংস্করণ রৈখিক রিগ্রেশন মডেলগুলিতে প্রয়োগ করা হয়েছে। ^{[২৭][২৮]}

প্রমাণ

নিচে দেওয়া প্রমাণ ছাড়াও কচি-শোয়ার্জ অসমতার আরও অনেক প্রমাণ ^[২৯] রয়েছে। ^[৪][৬] অন্যান্য উৎসের সাথে পরামর্শ করার সময়, প্রায়শই বিভ্রান্তির দুটি উৎস থাকে। প্রথমত, কিছু লেখক প্রথম যুক্তির পরিবর্তে দ্বিতীয় যুক্তিতে ⟨⋅,⋅⟩-কে রৈখিক হিসেবে সংজ্ঞায়িত করেছেন। দ্বিতীয়ত, কিছু প্রমাণ কেবল তখনই বৈধ যখন ক্ষেত্রটি ${\displaystyle \mathbb {R} }$ এবং ${\displaystyle \mathbb {C} .}$নয়। ^[৩০]

এই অংশটি নিম্নলিখিত উপপাদ্যের দুটি প্রমাণ দেয়:

কচি-শোয়ার্জ বৈষম্য — ধরি ${\displaystyle \mathbf {u} }$ এবং ${\displaystyle \mathbf {v} }$ স্কেলার ফিল্ড ${\displaystyle \mathbb {F} }$ এর সাপেক্ষে অভ্যন্তরীণ প্রোডাক্ট স্পেসে যেকোনো দুটি ভেক্টর, যেখানে ${\displaystyle \mathbb {F} }$ বাস্তব সংখ্যা ${\displaystyle \mathbb {R} }$ বা জটিল সংখ্যা ${\displaystyle \mathbb {C} }$-এর ফিল্ড, সুতরাং

${\displaystyle {\bigl |}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle {\bigr |}\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}$

(Cauchy–Schwarz Inequality)

with equality holding in the Cauchy–Schwarz Inequality if and only if ${\displaystyle \mathbf {u} }$ and ${\displaystyle \mathbf {v} }$ are linearly dependent.

Moreover, if ${\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}$ and ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$ then ${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {v} \|^{2}}}\mathbf {v} .}$

নিচে দেওয়া দুটি প্রমাণেই, প্রাথমিক ক্ষেত্রের প্রমাণ যেখানে কমপক্ষে একটি ভেক্টর শূন্য (অথবা সমতুল্য, যেখানে ${\displaystyle \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|=0}$ ) একই রকম। পুনরাবৃত্তি কমাতে এটি নীচে কেবল একবার উপস্থাপন করা হয়েছে। এতে উপরে প্রদত্ত সমতা চরিত্রায়নের প্রমাণের সহজ অংশটিও অন্তর্ভুক্ত রয়েছে; অর্থাৎ, এটি প্রমাণ করে যে যদি ${\displaystyle \mathbf {u} }$ এবং ${\displaystyle \mathbf {v} }$ তাহলে রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয় তবে,${\displaystyle {\bigl |}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle {\bigr |}=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|.}$

Proof of the trivial parts: Case where a vector is ${\displaystyle \mathbf {0} }$ and also one direction of the Equality Characterization

By definition, ${\displaystyle \mathbf {u} }$ and ${\displaystyle \mathbf {v} }$ are linearly dependent if and only if one is a scalar multiple of the other. If ${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$ where ${\displaystyle c}$ is some scalar then $${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |=|\langle c\mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle |=|c\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle |=|c|\|\mathbf {v} \|\|\mathbf {v} \|=\|c\mathbf {v} \|\|\mathbf {v} \|=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}$$ which shows that equality holds in the Cauchy–Schwarz Inequality. The case where ${\displaystyle \mathbf {v} =c\mathbf {u} }$ for some scalar ${\displaystyle c}$ follows from the previous case: $${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |=|\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle |=\|\mathbf {v} \|\|\mathbf {u} \|.}$$ In particular, if at least one of ${\displaystyle \mathbf {u} }$ and ${\displaystyle \mathbf {v} }$ is the zero vector then ${\displaystyle \mathbf {u} }$ and ${\displaystyle \mathbf {v} }$ are necessarily linearly dependent (for example, if ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$ then ${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$ where ${\displaystyle c=0}$), so the above computation shows that the Cauchy–Schwarz inequality holds in this case.

ফলস্বরূপ, কসি-শোয়ার্জ অসমতা কেবলমাত্র অ-শূন্য ভেক্টরগুলির জন্য প্রমাণ করতে হবে এবং সমতা চরিত্রায়নের কেবল ট্রিভিয়াল নয় এমন দিকটিও দেখাতে হবে।

পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যের মাধ্যমে প্রমাণ

বিশেষ ক্ষেত্রে ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} }$ উপরে প্রমাণিত হয়েছে তাই এখন থেকে ধরে নেওয়া হচ্ছে যে ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} .}$ ধরি,$${\displaystyle \mathbf {z} :=\mathbf {u} -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} .}$$

এটির প্রথম যুক্তিতে অভ্যন্তরীণ গুণফলের রৈখিকতা থেকে এটি অনুসরণ করা যায় যে: $${\displaystyle \langle \mathbf {z} ,\mathbf {v} \rangle =\left\langle \mathbf {u} -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} ,\mathbf {v} \right\rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle =0.}$$

অতএব, ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ভেক্টরের একটি লম্বক ভেক্টর ${\displaystyle \mathbf {v} }$ (প্রকৃতপক্ষে, ${\displaystyle \mathbf {z} }$ হল ${\displaystyle \mathbf {u} }$-এর প্রক্ষেপণ ${\displaystyle \mathbf {v} .}$এর অরথোগোনালে থাকা সমতলের দিকে) আমরা এইভাবে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রয়োগ করতে পারি $${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} +\mathbf {z} }$$যা থেকে পাওয়া যায়$${\displaystyle \|\mathbf {u} \|^{2}=\left|{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\right|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}+\|\mathbf {z} \|^{2}={\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{(\|\mathbf {v} \|^{2})^{2}}}\,\|\mathbf {v} \|^{2}+\|\mathbf {z} \|^{2}={\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{\|\mathbf {v} \|^{2}}}+\|\mathbf {z} \|^{2}\geq {\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{\|\mathbf {v} \|^{2}}}.}$$

কসি-শোয়ার্জ অসমরতার সাথে ${\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}}$ গুণ করলে এবং তারপর বর্গমূল নেওয়া হলে। তাছাড়া, যদি সম্পর্কটি ${\displaystyle \geq }$ উপরের অভিব্যক্তিতে আসলে একটি সমতা, তাহলে ${\displaystyle \|\mathbf {z} \|^{2}=0}$ এবং তাই ${\displaystyle \mathbf {z} =\mathbf {0} ;}$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$ এর সংজ্ঞা তারপর ${\displaystyle \mathbf {u} }$ এবং ${\displaystyle \mathbf {v} .}$এর মধ্যে রৈখিক নির্ভরতার সম্পর্ক স্থাপন করে যা এই বিভাগের শুরুতে বিপরীতটি প্রমাণিত হয়েছিল, তাই প্রমাণটি সম্পূর্ণ। ${\displaystyle \blacksquare }$

একটি দ্বিঘাত বিশ্লেষণের মাধ্যমে প্রমাণ

এক জোড়া ভেক্টর বিবেচনা করুন ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} }$ . একটি ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করুন ${\displaystyle p:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, যখন ${\displaystyle p(t)=\langle t\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} ,t\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle }$দ্বারা সংজ্ঞায়িত, যখন ${\displaystyle \alpha }$ একটি জটিল সংখ্যা যা এবং এবং ${\displaystyle \alpha \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |}$ .এমন একটি ${\displaystyle \alpha }$ যদি থেকে বিদ্যমান থাকে তবে, ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0}$ তারপর ${\displaystyle \alpha }$-কে ১ হিসেবে ধরা যেতে পারে।

যেহেতু অভ্যন্তরীণ গুণফলটি ধনাত্মক-নির্দিষ্ট, ${\displaystyle p(t)}$ শুধুমাত্র অ-ঋণাত্মক বাস্তব মান গ্রহণ করে। অন্যদিকে, ${\displaystyle p(t)}$ অভ্যন্তরীণ গুণফলের দ্বি-রৈখিকতা ব্যবহার করে প্রসারিত করা যেতে পারে: $${\displaystyle {\begin{aligned}p(t)&=\langle t\alpha \mathbf {u} ,t\alpha \mathbf {u} \rangle +\langle t\alpha \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {v} ,t\alpha \mathbf {u} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \\&=t\alpha t{\overline {\alpha }}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle +t\alpha \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +t{\overline {\alpha }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \\&=\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}t^{2}+2|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |t+\lVert \mathbf {v} \rVert ^{2}\end{aligned}}}$$সুতরাং, ${\displaystyle p}$ বহুপদী যার ডিগ্রি ${\displaystyle 2}$ (যদি না ${\displaystyle \mathbf {u} =0,}$ যা এমন একটি কেস যা আগে পরীক্ষা করা হয়েছিল)। ${\displaystyle p}$-এর চিহ্নের কোনো পরিবর্তন হয় না, এই বহুপদীটির নির্ণায়ক অবশ্যই অ-ধনাত্মক হতে হবে: $${\displaystyle \Delta =4{\bigl (}\,|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}-\Vert \mathbf {u} \Vert ^{2}\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}{\bigr )}\leq 0.}$$উপসংহারটি নিম্নরূপ। ^[৩১]

সমতার ক্ষেত্রে, লক্ষ্য করুন যে ${\displaystyle \Delta =0}$ যদি এবং তা শুধুমাত্র ঘটে যদি ${\displaystyle p(t)={\bigl (}t\Vert \mathbf {u} \Vert +\Vert \mathbf {v} \Vert {\bigr )}^{2}.}$ যদি ${\displaystyle t_{0}=-\Vert \mathbf {v} \Vert /\Vert \mathbf {u} \Vert ,}$ তারপর ${\displaystyle p(t_{0})=\langle t_{0}\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} ,t_{0}\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle =0,}$ এবং তাই ${\displaystyle \mathbf {v} =-t_{0}\alpha \mathbf {u} .}$

আরও দেখুন

• বেসেলের অসমতা
• হোল্ডারের অসমতা
• জেনসেনের অসমতা
• ক্যান্টোরোভিচ অসমতা
• কুনিতা-ওয়াতানাবে অসমতা
• মিনকোস্কি অসমতা
• প্যালি-জিগমুন্ড অসমতা

মন্তব্য

উদ্ধৃতি

1. O'Connor, J.J.; Robertson, E.F.। "Hermann Amandus Schwarz"। University of St Andrews, Scotland। 
2. Ćurgus, Branko। "Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality"। Western Washington University। 
3. Joyce, David E.। "Cauchy's inequality" (পিডিএফ)। Clark University। ২০২২-১০-০৯ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা। 
4. Steele, J. Michael (২০০৪)। The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities। The Mathematical Association of America। পৃষ্ঠা 1। আইএসবিএন 978-0521546775।  উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; আলাদা বিষয়বস্তুর সঙ্গে "Steele" নামটি একাধিক বার সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে
5. Strang, Gilbert (১৯ জুলাই ২০০৫)। "3.2"। Linear Algebra and its Applications (4th সংস্করণ)। Cengage Learning। পৃষ্ঠা 154–155। আইএসবিএন 978-0030105678। 
6. Hunter, John K.; Nachtergaele, Bruno (২০০১)। Applied Analysis। World Scientific। আইএসবিএন 981-02-4191-7। 
7. Bachmann, George; Narici, Lawrence (২০১২-১২-০৬)। Fourier and Wavelet Analysis। Springer Science & Business Media। পৃষ্ঠা 14। আইএসবিএন 9781461205050। 
8. Hassani, Sadri (১৯৯৯)। Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations। Springer। পৃষ্ঠা 29। আইএসবিএন 0-387-98579-4। 
9. Axler, Sheldon (২০১৫)। Linear Algebra Done Right, 3rd Ed.। Springer International Publishing। পৃষ্ঠা 172। আইএসবিএন 978-3-319-11079-0। 
10. Bachman, George; Narici, Lawrence (২০১২-০৯-২৬)। Functional Analysis। Courier Corporation। পৃষ্ঠা 141। আইএসবিএন 9780486136554। 
11. Swartz, Charles (১৯৯৪-০২-২১)। Measure, Integration and Function Spaces। World Scientific। পৃষ্ঠা 236। আইএসবিএন 9789814502511। 
12. Ricardo, Henry (২০০৯-১০-২১)। A Modern Introduction to Linear Algebra। CRC Press। পৃষ্ঠা 18। আইএসবিএন 9781439894613। 
13. Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (২০১৪-০৬-০৬)। Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics। CRC Press। পৃষ্ঠা 181। আইএসবিএন 9781482248241। 
14. Valenza, Robert J. (২০১২-১২-০৬)। Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics। Springer Science & Business Media। পৃষ্ঠা 146। আইএসবিএন 9781461209010। 
15. Constantin, Adrian (২০১৬-০৫-২১)। Fourier Analysis with Applications। Cambridge University Press। পৃষ্ঠা 74। আইএসবিএন 9781107044104। 
16. Mukhopadhyay, Nitis (২০০০-০৩-২২)। Probability and Statistical Inference। CRC Press। পৃষ্ঠা 150। আইএসবিএন 9780824703790। 
17. Keener, Robert W. (২০১০-০৯-০৮)। Theoretical Statistics: Topics for a Core Course। Springer Science & Business Media। পৃষ্ঠা 71। আইএসবিএন 9780387938394। 
18. Faria, Edson de; Melo, Welington de (২০১০-০৮-১২)। Mathematical Aspects of Quantum Field Theory। Cambridge University Press। পৃষ্ঠা 273। আইএসবিএন 9781139489805। 
19. Lin, Huaxin (২০০১-০১-০১)। An Introduction to the Classification of Amenable C*-algebras। World Scientific। পৃষ্ঠা 27। আইএসবিএন 9789812799883। 
20. Arveson, W. (২০১২-১২-০৬)। An Invitation to C*-Algebras। Springer Science & Business Media। পৃষ্ঠা 28। আইএসবিএন 9781461263715। 
21. Størmer, Erling (২০১২-১২-১৩)। Positive Linear Maps of Operator Algebras। Springer Monographs in Mathematics। Springer Science & Business Media। আইএসবিএন 9783642343698। 
22. Kadison, Richard V. (১৯৫২-০১-০১)। "A Generalized Schwarz Inequality and Algebraic Invariants for Operator Algebras"। Annals of Mathematics। 56 (3): 494–503। জেস্টোর 1969657। ডিওআই:10.2307/1969657। 
23. Paulsen, Vern (২০০২)। Completely Bounded Maps and Operator Algebras। Cambridge Studies in Advanced Mathematics। 78। Cambridge University Press। পৃষ্ঠা 40। আইএসবিএন 9780521816694। 
24. Callebaut, D.K. (১৯৬৫)। "Generalization of the Cauchy–Schwarz inequality"। J. Math. Anal. Appl.। 12 (3): 491–494। ডিওআই:10.1016/0022-247X(65)90016-8 । 
25. Callebaut's inequality। Entry in the AoPS Wiki। Callebaut's inequality. Entry in the AoPS Wiki.
26. Moslehian, M.S.; Matharu, J.S. (২০১১)। "Non-commutative Callebaut inequality": 3347–3353। arXiv:1112.3003 । ডিওআই:10.1016/j.laa.2011.11.024। 
27. Liu, Shuangzhe; Neudecker, Heinz (১৯৯৯)। "A survey of Cauchy–Schwarz and Kantorovich-type matrix inequalities": 55–73। ডিওআই:10.1007/BF02927110। 
28. Liu, Shuangzhe; Trenkler, Götz (২০২৩)। "Professor Heinz Neudecker and matrix differential calculus" (ইংরেজি ভাষায়): 2605–2639। ডিওআই:10.1007/s00362-023-01499-w। 
29. Wu, Hui-Hua; Wu, Shanhe (এপ্রিল ২০০৯)। "কচি-শোয়ার্জ বৈষম্যের বিভিন্ন প্রমাণ" (পিডিএফ): 221–229। আইএসএসএন 1222-5657। আইএসবিএন 978-973-88255-5-0। ২০২২-১০-০৯ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ১৮ মে ২০১৬। 
30. Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (২০০৭-০৫-০২)। Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide। Springer Science & Business Media। আইএসবিএন 9783540326960। 
31. Rudin, Walter (১৯৮৭)। Real and Complex Analysis (3rd সংস্করণ)। McGraw-Hill। আইএসবিএন 0070542341। 

তথ্যসূত্র

• Aldaz, J. M.; Barza, S.; Fujii, M.; Moslehian, M. S. (২০১৫), "Advances in Operator Cauchy—Schwarz inequalities and their reverses", Annals of Functional Analysis, 6 (3): 275–295, এসটুসিআইডি 122631202, ডিওআই:10.15352/afa/06-3-20 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
• Bunyakovsky, Viktor (১৮৫৯), "Sur quelques inegalités concernant les intégrales aux différences finies" (পিডিএফ), Mem. Acad. Sci. St. Petersbourg, 7 (1): 6, ২০২২-১০-০৯ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
• Cauchy, A.-L. (১৮২১), "Sur les formules qui résultent de l'emploie du signe et sur > ou <, et sur les moyennes entre plusieurs quantités", Cours d'Analyse, 1er Partie: Analyse Algébrique 1821; OEuvres Ser.2 III 373-377 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
• Dragomir, S. S. (২০০৩), "A survey on Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz type discrete inequalities", Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 4 (3): 142 pp, ২০০৮-০৭-২০ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
• Grinshpan, A. Z. (২০০৫), "General inequalities, consequences, and applications", Advances in Applied Mathematics, 34 (1): 71–100, ডিওআই:10.1016/j.aam.2004.05.001  উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
• টেমপ্লেট:Halmos A Hilbert Space Problem Book 1982
• Kadison, R. V. (১৯৫২), "A generalized Schwarz inequality and algebraic invariants for operator algebras", Annals of Mathematics, 56 (3): 494–503, জেস্টোর 1969657, ডিওআই:10.2307/1969657 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) .
• Lohwater, Arthur (১৯৮২), Introduction to Inequalities, Online e-book in PDF format উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
• Paulsen, V. (২০০৩), Completely Bounded Maps and Operator Algebras, Cambridge University Press উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) .
• Schwarz, H. A. (১৮৮৮), "Über ein Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung" (পিডিএফ), Acta Societatis Scientiarum Fennicae, XV: 318, ২০২২-১০-০৯ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
• Solomentsev, E. D. (২০০১), "Cauchy inequality", Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media, আইএসবিএন 978-1-55608-010-4 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
• Steele, J. M. (২০০৪), The Cauchy–Schwarz Master Class, Cambridge University Press, আইএসবিএন 0-521-54677-X উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

বহিরাগত সূত্র

• Earliest Uses: The entry on the Cauchy–Schwarz inequality has some historical information.
• Example of application of Cauchy–Schwarz inequality to determine Linearly Independent Vectors Tutorial and Interactive program.

টেমপ্লেট:Lp spaces টেমপ্লেট:Functional Analysis টেমপ্লেট:HilbertSpace