কালেন সংখ্যা

কালেন সংখ্যা হল n · 2ⁿ + 1 আকৃতির সব স্বাভাবিক সংখ্যা। একে C_n আকারে লেখা হয়। জেমস কালেন ১৯০৫ সালে প্রথম এই সংখ্যা নিয়ে গবেষণা করেন।

এটা দেখা গেছে যে, প্রায় সমস্ত কালেন সংখ্যা যৌগিক সংখ্যা। যে কয়েকটি মৌলিক কালেন সংখ্যার সন্ধান পাওয়া গেছে, তাদের সংশ্লিষ্ট n এর মান হচ্ছে, n = 1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899 এবং 1354828 তা সত্ত্বেও অনুমান করা হয়েছে যে, কালেন মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা অগুণতি।

২০০৫ সালের আগস্টে Mark Rodenkirch এখন পর্যন্ত সবচেয়ে বড় কালেন মৌলিক সংখ্যাটি বের করেন, যার সংশ্লিষ্ট ${\displaystyle n=1354828}$

কয়েকটি তথ্যঃ

• একটি কালেন সংখ্যা C_n, p=2n-1 দ্বারা বিভাজ্য, যদি p, 8k-3 আকৃতির কোন মৌলিক সংখ্যা হয়।
• এছাড়াও ফার্মার ক্ষুদ্র তত্ব থেকে জানা যায় যে, p যদি একটি বিজোড় মৌলিক হয়, তাহলে C_m(k) p দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য, যেখানে m(k) = (2^k − k) · (p − 1) − k (k > 0)
• কোন বিজোড় মৌলিক সংখ্যা, p, C_(p+1)/2 কে নিঃশেষে ভাগ করে যদি জ্যাকবি প্রতীক (2|p) এর মান -1 হয়।
• কোন বিজোড় মৌলিক সংখ্যা, p, C_(3p-1)/2 কে নিঃশেষে ভাগ করে যদি জ্যাকবি প্রতীক (2|p) এর মান +1 হয়।
• এটা এখনো অজানা যে, এমন কোন মৌলিক সংখ্যা pএর অস্তিত্ব আছে কিনা, যার জন্য ${\displaystyle C_{p}}$ ও মৌলিক।
• কখনো কখনো n · bⁿ + 1 আকৃতির সংখ্যাকে সাধারনীকৃত কালেন সংখ্যা বলা হয় যেখানে, n + 2 > b