কোণ ত্রিখণ্ডন

নিউসিস পদ্ধতিতে কোণ তিনভাগ করা সম্ভব, কিন্তু তা দাগবিহীন রুলার ও কম্পাস ব্যবহার করে জ্যামিতিক চিত্র অঙ্কণের গ্রিক পদ্ধতি তা অনুমোদন করে না।

রুলার। প্রদর্শিত রুলারটি দাগকাটা — একটি আদর্শ সোজাপ্রান্তে দাগকাটা থাকে না।

একটি কম্পাস

কোণ ত্রিখন্ডিত করা কম্পাস ও দাগহীন রুলার দিয়ে জ্যামিতিক চিত্র অঙ্কণ সংক্রান্ত গ্রিক গণিতের একটি ধ্রুপদী সমস্যা। এ ধরনের সমস্যা সমাধানে দুটি হাতিয়ার ব্যবহার করা যেতে পারে: ১) একটি দাগ না-কাটা রুলার ও ২) একটি কম্পাস. সমস্যা হচ্ছে- এমন একটি কোণ তৈরি করতে হবে যা প্রদত্ত যে কোন কোণের এক-তৃতীয়াংশ। কেবলমাত্র এ দুটি হাতিয়ার ব্যবহার করে এটি করা অসম্ভব। এ কাজটি করার জন্যে ঘন মূল নেয়ার প্রয়োজন পড়ে, যা এ ধরনের হাতিয়ারের সাহায্যে নির্ণয় করা সম্ভবপর নয়। তবে সাধারণভাবে কোন উপায়েই কোণকে কম্পাস ও রুলারের সাহায্যে তিনভাগ করা যায় না মানে এই নয় যে কম্পাস ও রুলারের সাহায্যে কোন কোণকেই তিনভাগ করা সম্ভব নয়। এছাড়াও, বিশ্লেষণী উপায়ে কোণকে ত্রিখন্ডিত করা যেতে পারে।

দৃষ্টিকোণ এবং অন্যান্য সমস্যার সাথে সম্পর্ক

যেকোন কোণকে দ্বিখণ্ডিত করার সমস্যা বহু আগেই সমাধান করা হয়েছে।

কেবলমাত্র দাগহীন সোজাপ্রান্ত ও কম্পাস কম্পাস ব্যবহার করে গ্রিক গণিতবিদগণ সরলরেখাকে যেকোন সংখ্যক সমানভাগে ভাগ করা, সমান্তরাল রেখা অঙ্কণ, কোণ কোণ দ্বিখণ্ডিত করা, বিভিন্ন বহুভুজ অঙ্কণ করা এবং কোন বহুভুজের সমান বা দ্বিগুণ ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গ অঙ্কণ করার কৌশল উদ্ভাবন করেন।

তিনটি সমস্যার সমাধান দুরূহ প্রমাণিত হয়:

• কোণ তিন ভাগ করা,
• বর্গকে দ্বিগুণ করা, এবং
• বৃত্তকে বর্গ করা

সাধারণভাবে কোণকে ত্রিখন্ডিত করা সম্ভব নয়

কোন ত্রিখণ্ডিত করার জ্যামিতক সমস্যাকে বীজগণিতের সাথে তুলনা করা যায়- বিশেষত ঘন বহুপদীর সাথে- কোনের তিনগুণের সূত্রের সাহায্যে: ${\displaystyle \cos(3\theta )=4\cos ^{3}(\theta )-3\cos(\theta ).}$

মূলদ সংখ্যাকে এভাবে চিহ্নিত করা যায়: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$।

এখানে লক্ষণীয় এক ধাপে একটি ক্ষেত্র ${\displaystyle K}$ থেকে অঙ্কনযোগ্য একটি সংখ্যা হল একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান। আরও লক্ষ করুন ${\displaystyle \pi /3}$ রেডিয়ান (60 ডিগ্রি, 60° লেখা হয়) অঙ্কনযোগ্য।

যদিও ${\displaystyle \pi /3}$ রেডিয়ান (60 ডিগ্রি) কোণকে ত্রিখণ্ডিত করা যায় না। লক্ষ করুন ${\displaystyle \cos(\pi /3)=\cos(60^{\circ })=1/2}$।

যদি 60° কে তিন ভাগ করা যেত, তাহলে ${\displaystyle \cos(20^{\circ })}$ ভাগ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ এর সর্বনিম্ন বহুপদী হত দ্বিতীয় ঘাতের। এই ত্রিকোণমিতিক অভেদ থেকে পাই ${\displaystyle \cos(3\alpha )=4\cos ^{3}(\alpha )-3\cos(\alpha )}$. এখন ধরি ${\displaystyle y=\cos(20^{\circ })}$।

উপরের অভেদ অনুসারে, ${\displaystyle \cos(60^{\circ })=1/2=4y^{3}-3y}$. তাই ${\displaystyle 4y^{3}-3y-1/2=0}$. এদের গুণ করে পাই ${\displaystyle 8y^{3}-6y-1=0}$, বা ${\displaystyle (2y)^{3}-3(2y)-1=0}$. এখন প্রতিস্থাপন করি ${\displaystyle x=2y}$, যেন ${\displaystyle x^{3}-3x-1=0}$. ধরি ${\displaystyle p(x)=x^{3}-3x-1}$.

এখানে x এর (ফলে ${\displaystyle \cos(20^{\circ })}$) সর্বনিম্ন বহুপদী ${\displaystyle p(x)}$ এর একটি উৎপাদক। যদি ${\displaystyle p(x)}$ এর একটি মূলদ মূল থাকে, তবে মূলদ মূলের তত্ত্বানুযায়ী তা হবে 1 অথবা −1, স্পষ্টতই যার কোনটিই মূল নয়। ফলে ${\displaystyle p(x)}$ একটি ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ এর জন্যে ইরিডিউসিবল, এবং ${\displaystyle \cos(20^{\circ })}$ এর সর্বনিম্ন পলিনমিয়াল এর ঘাত 3. ফলে ${\displaystyle 60^{\circ }=\pi /3}$ রেডিয়ান কোণকে তিনভাগ করা সম্ভবপর নয়।

কিছু কোণকে ত্রিখন্ডিত করা যেতে পারে

কিছু বিশেষ কোণ ত্রিখন্ডিত করা সম্ভব (গ্রিক পন্থায়)। কোন কোণ ${\displaystyle \theta }$ দেয়া থাকলে ঐ কোণের তিনগুণ কোণ ${\displaystyle 3\theta }$ ত্রিখন্ডিত হয়। আবার কিছু অনির্মাণযোগ্য কোণ যদি দেয়া থাকে, তবে তাদের ত্রিখন্ডিত করা যায়, যেমন ${\displaystyle 3\pi /7}$। (${\displaystyle 3\pi /7}$ কে পাঁচ গুণ করা হলে ${\displaystyle 15\pi /7}$ কোণ পাওয়া যায়, যা হল একটি পূর্ণ বৃত্ত ও ${\displaystyle \pi /7}$ কোণ।) সাধারণভাবে কোন প্রদত্ত পূর্ণ সংখ্যা ${\displaystyle N}$ এর জন্যে ${\displaystyle 2\pi /N}$ কোণটি ত্রিখণ্ডনীয়, যদি এবং কেবল যদি ${\displaystyle 3}$ দ্বারা ${\displaystyle N}$ বিভাজ্য না হয়। ^[১]

একটি সাধারণ তত্ত্ব

গ্রিক কর্মপন্থার বাইরে কোণ ত্রিখন্ডিত করার উপায়

অরিগামি

সহায়ক বক্ররেখা

দাগাঙ্কিত রুলারের সাহায্যে

কোণ ত্রিখণ্ডিত করবার একটি পন্থা হল গ্রিক পদ্ধতির "কিছুটা" পরিবর্তন করে দাগাংকিত রুলার ব্যবহার। আর্কিমিডিস প্রথম এ পদ্ধতির সাহায্যে কোণ তিনভাগ করেন।

এই প্রমাণটি জ্যামিতির নিম্নোক্ত উপপাদ্য মেনে তৈরিকৃত (ডানে):

1. কোন সরলরেখার ওপর অবস্থিত কোণগুলোর সমষ্টি হয় 180°,
2. কোন ত্রিভুজের অন্তর্গত তিন কোণের সমষ্টি 180°, এবং,
3. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বাহুদ্বয় তৃতীয় বাহুর সাথে সমান কোণ তৈরি করে।

কোণa কে সমত্রিখণ্ডিত করা হবে

ডানের চিত্রে দিকে লক্ষ করে দেখুন; a কোণটি B বিন্দুর বাঁয়ে অবস্থিত। আমরা a কে ত্রিখণ্ডিত করবো।

প্রথমত, একটি রুলারে AB দূরত্বে দাগ কাটা আছে। রেখাটিকে বর্দ্ধিত করে কোণটিকে ছেদ করানো হয় এবং AB ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্ত অঙ্কণ করা হল।

রুলারটিকে A বিন্দুতে ধরা হল, এবং তারপর সরিয়ে C বিন্দুতে একটি ও D বিন্দুতে একটি দাগ এমনভাবে কাটা হল যেন CD = AB হয়। BC ব্যাসার্ধ অঙ্কণ করা হল। BCD ত্রিভুজের দুই বাহু সমান, তাই এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

তাহলে, AB, BC, এবং CD রেখাংশ সমান দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট।

এখন: ত্রিভুজ ABC এবং BCD সমদ্বিবাহু, ফলে উপপাদ্য তিন অনুযায়ী তাদের দুটি কোণ সমান। ছবিটি পুনরায় আঁকা হল, এবং কোণগুলো চিহ্নিত করা হল।

পুনরায়, কোণ a কে দাগাংকিত রুলার ব্যবহার করে সমদ্বিখণ্ডিত করা হল।

অনুমিতি: AD একটি প্রদত্ত রেখা, এবং AB, BC, এবং CD প্রত্যেকেই সমান দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট,

উপসংহার: কোণ ${\displaystyle b=(1/3)a}$.

প্রমাণ:

ধাপসমূহ:

1. উপপাদ্য 1 অনুযায়ী, চিত্রে, ${\displaystyle e+c=180}$°.
2. ত্রিভুজ BCD এ, উপপাদ্য 2 অনুযায়ী, ${\displaystyle e+2b=180}$°.
3. উপরিউক্ত সমীকরণদ্বয় হতে পাই, ${\displaystyle c=2b}$.
4. 2 নং উপাপদ্যনুযায়ী, ${\displaystyle d+2c=180}$°, thus ${\displaystyle d=180}$°${\displaystyle -2c}$, ফলে, ${\displaystyle d=180}$°${\displaystyle -4b}$.
5. উপপাদ্য 1 অনুসারে, ${\displaystyle a+d+b=180}$°, তাই ${\displaystyle a+(180}$°${\displaystyle -4b)+b=180}$°.

এখন, ${\displaystyle a-3b=0}$, or ${\displaystyle a=3b}$, প্রমাণিত।

সুতার সাহায্যে

আরও দেখুন

• দ্বিখন্ডন
• নির্মাণযোগ্য সংখ্যা
• নির্মাণযোগ্য বহুভুজ
• ঘনকে দ্বিগুণ করা
• ইউক্লিডীয় জ্যামিতি
• গ্যালোয়া তত্ত্ব
• জ্যামিতির ইতিহাস
• ছেদন তত্ত্ব
• জ্যামিতির বিষয়বস্তুর তালিকা
• মোরলের ত্রিকন্ডক তত্ত্ব
• নিউসিস নির্মাণ
• কোয়াড্রাট্রিক্স
• বৃত্তকে বর্গ করা
• টমাহক (জ্যামিতিক আকৃতি)

পাদটীকা

1. McLean, K. Robin, "Trisecting angles with ruler and compasses," Mathematical Gazette 92, July 2008, 320-323. See also Feedback on this article in vol. 93, March 2009, p. 156.

বহিঃসংযোগ

• MathWorld site
• Geometric problems of antiquity, including angle trisection
• Some history
• One link of marked ruler construction
• Another, mentioning Archimedes
• A long article with many approximations & means going outside the Greek framework
• Geometry site ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ১২ জানুয়ারি ২০১০ তারিখে

ত্রিখণ্ডনের অন্যান্য উপায়

• Trisecting via (Archived 2009-10-25) the limacon of Pascal; see also Trisectrix
• Trisecting via an Archimedean Spiral
• Trisecting via the Conchoid of Nicomedes
• sciencenews.org site on using origami
• Hyperbolic trisection and the spectrum of regular polygons