ক্যালকুলাস

আইজাক নিউটন
	সমগ্র জীবন
	ধর্মীয় চিন্তাধারা
	প্রিন্সিপিয়া ম্যাথামেটিকা রচনা
	জ্যোতিষ শাস্ত্র চর্চা
	গতি সূত্র
	ক্যালকুলাস বিবাদ

কলনবিদ্যা বা ক্যালকুলাস হলো অবিচ্ছিন্ন পরিবর্তনের গাণিতিক অধ্যয়ন, ঠিক যেমন জ্যামিতি হলো আকৃতির এবং বীজগণিত হলো পাটিগণিতের ক্রিয়াকলাপ সমূহের সাধারণীকরণের অধ্যয়ন। ক্যালকুলাসের দুটি প্রধান শাখা রয়েছে যার একটি হলো অন্তরকলন এবং অপরটি হলো সমাকলন। অন্তরকলনের সাহায্যে তাৎক্ষণিক পরিবর্তনের হার ও বক্ররেখার ঢাল নির্ণয় করা হয়, এবং সমাকলনের সাহায্যে কোনোকিছুর মোট পরিমাণ ও বক্ররেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা হয়। এই শাখা দুটি ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যের সাহায্যে সম্পর্কিত এবং তারা অসীম ক্রম এবং অসীম ধারাকে একটি সু-সংজ্ঞায়িত সীমায় রূপান্তর করার মৌলিক ধারণাকে ব্যবহার করে।^[১]

আইনস্টাইন এবং গটফ্রিড ভিলহেল্ম লাইবনিৎস ১৭শ শতাব্দীর শেষের দিকে ইনফিনিটেসিমাল ক্যালকুলাসকে স্বাধীনভাবে বিকশিত করেছিলেন।^[২]^[৩] বর্তমানে বিজ্ঞান, প্রকৌশল এবং অর্থনীতিতে ক্যালকুলাসের ব্যাপক ব্যবহার রয়েছে।^[৪] গণিত শিক্ষায় ক্যালকুলাস দ্বারা প্রাথমিক গাণিতিক বিশ্লেষণের পাঠ্যক্রমকে বোঝায়, যা মূলত ফাংশন এবং লিমিট অধ্যয়নের জন্য নিবেদিত। ক্যালকুলাস (বহুবচনে ক্যালকুলাই) শব্দটি লাতিন ভাষা থেকে এসেছে এবং এর অর্থ "নুড়িপাথর"। বর্তমানে বিশ্ববিদ্যালয় পর্যায়ে অনেক ক্ষেত্রেই ক্যালকুলাস একটি বাধ্যতামূলক বিষয়।

ইতিহাস

আধুনিক ক্যালকুলাস ১৭শ শতাব্দীতে ইউরোপে আইজাক নিউটন এবং গট‌ফ্রিড ভিলহেল্ম লাইব‌নিৎস (একে অপরের সাথে আলাদাভাবে, তবে একই সময়ে প্রকাশিত) কর্তৃক বিকশিত হয়েছে তবে এর উপাদানগুলি প্রাচীন গ্রিসে, এরপর চীনে, এরপর মধ্যপ্রাচ্য এবং পুনরায় মধ্যযুগীয় ইউরোপ ও ভারতে আবির্ভাব হয়েছিল।

প্রাচীন

প্রাচীন আমলে কিছু ধারণা প্রবর্তিত হয়েছিল যা সমাকলন ক্যালকুলাসের দিকে পরিচালিত হলেও এই ধারণাগুলি যথাযথ এবং রীতিবদ্ধ পদ্ধতিতে বিকশিত হয়নি। আয়তন এবং ক্ষেত্রফল নির্ণয় হলো সমাকলন ক্যালকুলাসের একটি লক্ষ্য, যা মিশরীয় মস্কোর পাপিরাসগুলিতে (১৩তম রাজবংশ, আনু. ১৮২০ খ্রিষ্টপূর্ব) পাওয়া গিয়েছে; তবে সূত্রগুলি কেবল সাধারণ নির্দেশাবলী, পদ্ধতি সম্পর্কে কোনো ইঙ্গিত নেই এবং এগুলির কয়েকটিতে প্রধান উপাদানের ঘাটতি রয়েছে।^[৫]

গ্রিক গণিতের যুগে ইউডক্সাস (আনু. ৪০৮–৩৫৫ খ্রিষ্টপূর্ব) নিঃশেষ পদ্ধতি ব্যবহার করেছিলেন যা ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয়ের ক্ষেত্রে লিমিটের ধারণাকে পূর্বসূরিত করে। আর্কিমিডিস (আনু. ২৮৭–২১২ খ্রিষ্টপূর্ব) এই ধারণাকে সম্প্রসারিত করে হিউরিস্টিক আবিষ্কার করেছিলেন যা সমাকলন ক্যালকুলাসের পদ্ধতিগুলির সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ।^[৬]

পরে খ্রিস্টীয় তৃতীয় শতাব্দীতে চীনের লিউ হুই বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য নিঃশেষ হওয়ার পদ্ধতিটি আবিষ্কার করেছিলেন।^[৭] খ্রিস্টীয় ৫ম শতাব্দীতে জু চঙঝির পুত্র জু গেঞ্জি একটি পদ্ধতি প্রতিষ্ঠা করেছিলেন ^[৮]^[৯] যা পরবর্তীকালে গোলকের আয়তন নির্ণয়ের কাভালিরির নীতি হিসেবে পরিচিত হয়েছিল।

মধ্যযুগীয়

আল-হাইসাম, একাদশ শতকের আরব গণিতবিদ এবং পদার্থবিজ্ঞানী

মধ্যপ্রাচ্যে হাসান ইবনে আল-হাইসাম, লাতিন ভাষায় আল-হাইজেন (আনু. ৯৬৫ – আনু. ১০৪০ খ্রিষ্টাব্দ) চতুর্থ ঘাতের ফাংশনের যোগফলের সূত্র তৈরি করেছিলেন। এই যোগফলকে তিনি প্যারাবলোইডের ক্ষেত্রফল গণনার জন্য ব্যবহার করেছিলেন, যা বর্তমানে ওই ফাংশনের সমাকলন হিসেবে পরিচিত হয়েছে।^[১০]

চতুর্দশ শতাব্দীতে ভারতীয় গণিতবিদগণ কিছু ত্রিকোণমিতিক ফাংশনে প্রযোজ্য, আন্তরকলনের অনুরূপ একটি যথাযথ পদ্ধতি দিয়েছেন। সঙ্গমগ্রমার মাধব এবং কেরালা স্কুল অব অ্যাস্ট্রোনমি অ্যান্ড ম্যাথমেটিক্স ক্যালকুলাসের বিষয়বস্তু বর্ণনা করেছিলেন। এই বিষয়বস্তু সংবলিত একটি সম্পূর্ণ তত্ত্ব বর্তমানে পশ্চিমা বিশ্বে টেলর ধারা হিসাবে পরিচিত।^[১১] তবে তারা "পৃথক পৃথক ধারণাগুলিকে অন্তরজ এবং সমাকলনের অধীনে এনে উভয়ের মধ্যে সংযোগ প্রদর্শন করতে এবং বর্তমানে সমস্যা সমাধানের দুর্দান্ত সরঞ্জাম ক্যালকুলাসে পরিণত করতে সক্ষম ছিল না"।^[১০]

আধুনিক

The calculus was the first achievement of modern mathematics and it is difficult to overestimate its importance. I think it defines more unequivocally than anything else the inception of modern mathematics, and the system of mathematical analysis, which is its logical development, still constitutes the greatest technical advance in exact thinking.

—John von Neumann^[১২]

ইউরোপে, বোনাভেনতুরা কাভালিয়েরির লেখা একটি গ্রন্থ ছিল মূল ভিত্তি, যেখানে তিনি যুক্তি দিয়েছিল যে আয়তন এবং ক্ষেত্রফলকে প্রস্থচ্ছদের ক্ষুদ্রতম খন্ডের আয়তন এবং ক্ষেত্রফল গণনা করে যোগ করার মাধ্যমে নির্ণয় করা উচিত। পদ্ধতিগুলি আর্কিমিডিসের মত ছিল, তবে এই গ্রন্থটি ১৩তম শতাব্দীতে হারিয়ে গেছে বলে মনে করা হয় এবং এটি কেবল বিংশ শতাব্দীর প্রথম দিকে আবিষ্কার করা হয়েছিল, এবং তাই কাভালিয়েরির কাছে এই বিষয়টি অজানা ছিল। কাভালিয়েরির কাজটি ভালভাবে গুরুত্ব দেওয়া হয়নি কারণ তার পদ্ধতিগুলি দ্বারা ভুল ফলাফল পাওয়ার সম্ভাবনা থাকে, এবং তিনি যে অনীয়ান পরিমাণগুলি প্রবর্তন করেছিলেন তা প্রথমে বিতর্কযোগ্য ছিল।

প্রায় একই সময়ে ইউরোপে ক্যালকুলাসের আনুষ্ঠানিক অধ্যয়ন সসীম পার্থক্যের ক্যালকুলাসের সাথে কাভালিয়েরির অনীয়ানকে একত্রিত করেছিল। পিয়ের দ্য ফের্মা দাবি করেছিলেন যে তিনি দাওফান্তাসের কাছ থেকে নিয়ে পর্যাপ্ততার ধারণাটি চালু করেছিলেন, যা সাম্যকে একটি অনীয়ান ত্রুটি শর্ত পর্যন্ত উপস্থাপন করেছিল।^[১৩] সংমিশ্রণটি জন ওয়ালিস, আইজাক ব্যারো এবং জেমস গ্রেগরি অর্জন করেছিলেন, পরবর্তী দুইজন ১৬৭০ সালের দিকে ক্যালকুলাসের দ্বিতীয় মৌলিক উপপাদ্য প্রমাণ করেছিলেন।

আইজাক নিউটন তার গতি এবং মহাকর্ষ সূত্রে ক্যালকুলাস ব্যবহার করেছিলেন।

আইজাক নিউটন গুণন বিধি এবং চেইন বিধি,^[১৪] উচ্চতর অন্তরজ এবং টেলর ধারার ধারণাগুলি,^[১৫] এবং বিশ্লেষণমূলক অপেক্ষক গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানের সমস্যা সমাধানের জন্য প্রয়োগ করেছিলেন। নিউটন তার রচনাগুলিতে তাত্পর্যকে সেই সময়ের গাণিতিক ইডিয়মের সাথে সামঞ্জস্য রেখে পুনর্বিবেচনা করেছিলেন, গণনার পরিবর্তে অসীম যুক্তির দ্বারা সমতুল্য জ্যামিতিক যুক্তি দিয়ে গণনা প্রতিস্থাপন করেছেন যা নিন্দনের বাইরেও বিবেচিত হয়েছিল। তিনি গ্রহের গতি, ঘূর্ণনশীল তরলের পৃষ্ঠের আকৃতি, পৃথিবীর তির্যকতা, একটি সাইক্লয়েডের উপরে ওজনের সরে যাওয়া এবং তার প্রিন্সিপিয়া ম্যাথেমেটিকায় (১৬৮৭) আলোচিত আরও অনেক সমস্যা সমাধানের জন্য ক্যালকুলাসের পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করেছিলেন। অন্য কাজের মধ্যে, তিনি ভগ্নাংশ এবংঅযৌক্তিক ঘাতের ফাংশনের জন্য সিরিজ বিস্তৃতি গড়ে তুলেছিলেন এবং এটি স্পষ্ট যে তিনি টেলর ধারার নীতিগুলি বুঝতে পেরেছিলেন। তিনি এই সমস্ত আবিষ্কার প্রকাশ করেন নি, এবং ঐ সময়ে অনীয়ান পদ্ধতিগুলি তখনও অপ্রয়োজনীয় বলে বিবেচিত হয়েছিল।

নিউটন কর্তৃক প্লেজারিজমের অভিযোগে অভিযুক্ত গট‌ফ্রিড ভিলহেল্ম লাইব‌নিৎস এই ধারণাগুলিকে অনীয়ানের সত্যিকার ক্যালকুলাসে সাজিয়েছিলেন।^[১৬] তিনি এখন ক্যালকুলাসের একজন স্বাধীন উদ্ভাবক এবং অবদানকারী হিসাবে বিবেচিত। তাঁর অবদান হলো অসীম পরিমাণের সাথে কাজ করার জন্য দ্বিতীয় এবং উচ্চতর ডেরাইভেটিভগুলির গণনা করার অনুমতি দেওয়া এবং তাদের বিভেদযুক্ত এবং অবিচ্ছেদ্য রূপগুলিতে পণ্য বিধি এবং শৃঙ্খলা বিধি সরবরাহ করার জন্য একটি স্পষ্ট নিয়ম সরবরাহ করা। নিউটনের বিপরীতে, লাইবানিজ আনুষ্ঠানিকতার প্রতি প্রচুর মনোযোগ দিয়েছিলেন, প্রায়শই ধারণার জন্য উপযুক্ত প্রতীক নির্ধারণে দিন কাটাতেন।

বর্তমানে লাইব‌নিৎস এবং নিউটন উভয়কেই স্বতন্ত্রভাবে ক্যালকুলাসের আবিষ্কার এবং বিকাশের জন্য কৃতিত্ব প্রদান করা হয়। নিউটন সর্বপ্রথম সাধারণ পদার্থবিজ্ঞানে ক্যালকুলাস প্রয়োগ করেছিলেন এবং লাইবনিৎস বর্তমানে ক্যালকুলাসে ব্যবহৃত অনেক নোটেশন বিকশিত করেছিলেন। নিউটন এবং লাইবনিৎস উভয়ই যে প্রাথমিক ধারণা দিয়েছিলেন তা হলো অন্তরকলন ও সমাকলনের সূত্র, দ্বিতীয় এবং উচ্চতর অন্তরজ এবং একটি প্রায় বহুপদী ধারার ধারণা। নিউটনের সময়ে ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যটি জানা ছিল।

নিউটন এবং লাইবনিৎস যখন প্রথম তাদের ফলাফল প্রকাশ করেছিলেন, তখন কোন গণিতবিদ (এবং কোন দেশ) কৃতিত্ব পাওয়ার যোগ্য তা নিয়ে প্রচণ্ড বিবাদ সৃষ্টি হয়েছিল। প্রথমে নিউটন সমাধান বের করেছিলেন (যা পরে তার মেথড অব ফ্লাক্সে প্রকাশিত হয়েছিল), তবে লাইবনিজ তার "নোভা মেথডাস প্রো ম্যাক্সিমিস এট মিনিমিস" আগে প্রকাশ করেছিলেন। নিউটন দাবি করেছিলেন যে লাইবনিৎস তার অপ্রকাশিত নোট থেকে ধারণা চুরি করেছেন, যা নিউটন রয়্যাল সোসাইটির কয়েকজন সদস্যের সাথে শেয়ার করেছেন। এই বিবাদটি বহু বছর ধরে মহাদেশীয় ইউরোপীয় গণিতবিদদের থেকে ইংরেজীভাষী গণিতবিদদের বিভক্ত করে দিয়েছিলো, যা ইংরেজি গণিতের ক্ষতিসাধন করেছিল। লাইবনিৎস এবং নিউটনের কাগজগুলি যত্ন সহকারে পরীক্ষা করে দেখা যায় যে তারা স্বাধীনভাবে তাদের ফলাফলে এসেছিলেন। লাইবনিৎস সমাকলন এবং নিউটন অন্তরকলন দিয়ে প্রথমে শুরু করেছিলেন। যদিও লাইবনিৎস এই নতুন শৃঙ্খলাটির নামকরণ করেছিলেন। নিউটন তাঁর ক্যালকুলাসকে "প্রবাহের বিজ্ঞান" বলেছিলেন।

লাইবানিৎস এবং নিউটনের সময় থেকে অনেক গণিতবিদ ক্যালকুলাসের অব্যাহত বিকাশে অবদান রেখেছেন। মারিয়া গায়তানা অগ্নেসি ১৭৪৮ সালে অনীয়ান এবং সমাকলন ক্যালকুলাস উভয়ের উপর প্রথম সবচেয়ে সম্পূর্ণ রচনা লিখেছিলেন।^[১৭]^[১৮]

ভিত্তি

ক্যালকুলাসে ভিত্তি বলতে স্বতঃসিদ্ধ এবং সংজ্ঞা থেকে বিষয়টির কঠোর বিকাশকে বোঝায়। প্রথমদিকে ক্যালকুলাসে অনীয়ান পরিমাণ ব্যবহার অযৌক্তিক বলে মনে করা হত এবং বেশ কয়েকজন লেখক বিশেষত মিশেল রোল এবং বিশপ বার্কলি এর তীব্র সমালোচনা করেছিলেন। বার্কলি ১৭৩৪ সালে তাঁর দ্য এনালিস্ট গ্রন্থে মৃত পরিমাণের প্রেতাত্মা হিসাবে বিখ্যাত বর্ণনা করেছিলেন। নিউটন এবং লাইব‌নিৎসের পরে শতাব্দীর বেশিরভাগ সময় ধরে অধিষ্ঠিত গণিতবিদরা ক্যালকুলাসের জন্য একটি কঠোর ভিত্তি তৈরির কাজ করেছেন এবং আজও এটি গবেষণার একটি সক্রিয় ক্ষেত্র হিসেবে রয়েছে।

ম্যাক্লাউরিন সহ বেশ কয়েকজন গণিতবিদ অনীয়ান সংখ্যা ব্যবহারের স্বাচ্ছন্দ্যের প্রমাণ দেওয়ার চেষ্টা করেছিলেন, তবে এটি দেড়শ বছর পর সম্ভব হয়েছিল, যখন কোশি এবং ওয়েয়ার্সট্রাসের গবেষণার কারণে অবশেষে অনীয়ান পরিমাণের নিছক "ধারণা" এড়ানোর উপায় খুঁজে পাওয়া গেল।^[১৯] ইতোমধ্যে অন্তরকলন এবং সমাকলন ক্যালকুলাসের ভিত্তি স্থাপন করা হয়েছিল। কোশির কোর্স ডি অ্যানালিজে অনীয়ানের দিক দিয়ে অবিচ্ছিন্নতার সংজ্ঞা এবং অন্তরকলনের সংজ্ঞারূপে (ε, δ)-লিমিটের সংজ্ঞার একটি (কিছুটা অসম্পূর্ণ) আদিরূপ পাওয়া যায়।^[২০] ওয়েয়ার্সট্রাস তাঁর কাজগুলিতে লিমিটের ধারণাটিকে আনুষ্ঠানিকভাবে রূপান্তরিত করেন এবং অনীয়ানকে নির্মূল করেন (যদিও তার সংজ্ঞাটি দ্বারা আসলে শূন্যঘাতি অনীয়ানের বৈধতা নিশ্চিত করা যায়)। ওয়েয়ার্সট্রাসের কাজের ফলে অবশেষে এটি অনীয়ান সংখ্যার পরিবর্তে লিমিটের ভিত্তিতে ক্যালকুলাস হয়ে উঠল, যদিও বিষয়টিকে মাঝে মাঝে "অনীয়ান ক্যালকুলাস" বলা হয়। বের্নহার্ট রিমান এই ধারণাগুলিকে সমাকলনের সংক্ষিপ্ত সংজ্ঞা দেওয়ার জন্য ব্যবহার করেছিলেন। এই সময়কালেই ক্যালকুলাসের ধারণাগুলি ইউক্লিডীয় স্থান এবং জটিল সমতলে সাধারণীকরণ করা হয়েছিল।

আধুনিক গণিতে ক্যালকুলাসের ভিত্তিগুলি বাস্তব বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, যার মধ্যে ক্যালকুলাসের তত্ত্বগুলির সম্পূর্ণ সংজ্ঞা এবং প্রমাণ রয়েছে। ক্যালকুলাসের নাগালও প্রসারিত হয়েছে। হেনরি লেবেসগু পরিমাপ তত্ত্ব আবিষ্কার করেছিলেন এবং এটি সর্বাধিক প্যাথলজিকাল ফাংশন ব্যতীত সবকিছুর সমাকলন সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করেছিলেন। লরেন্ট শোয়ার্জ বিতরণ প্রবর্তন করেছিলেন, যা কোনও ফাংশনের অন্তরকলন নির্ণয়ে ব্যবহার করা যেতে পারে।

ক্যালকুলাসের ভিত্তিতে লিমিট ছাড়াও অন্যান্য কঠোর পদ্ধতি রয়েছে। আরেকটি উপায় হলো আব্রাহাম রবিনসনের নন-স্ট্যান্ডার্ড বিশ্লেষণ ব্যবহার করা। ১৯৬০ এর দশকে বিকশিত রবিনসনের কৌশল মূল নিউটন-লাইব‌নিৎস ধারণার মতো অনীয়ান এবং অসীম সংখ্যার সাথে বাস্তব সংখ্যা ব্যবস্থা বৃদ্ধি করতে গাণিতিক যুক্তি থেকে প্রযুক্তিগত যন্ত্রপাতি ব্যবহার করে। ফলস্বরূপ সংখ্যাগুলিকে অধিবাস্তবিক সংখ্যা বলা হয় এবং এগুলি ক্যালকুলাসের নিয়মাবলির নিয়মিত লাইব‌নিৎসের মতো বিকাশ করতে ব্যবহৃত হতে পারে। এছাড়াও মসৃণ অনীয়ান বিশ্লেষণও রয়েছে, যা নন-স্ট্যান্ডার্ড বিশ্লেষণ থেকে পৃথক, কারণ এটি অন্তরজের সময় উচ্চতর ঘাতের অনীয়ানগুলিকে অবহেলা করে।

তাৎপর্য

গ্রিক, চীন, ভারত, ইরাক, পারস্য এবং জাপানে ক্যালকুলাসের অনেক ধারণাগুলি আগেই বিকশিত হয়েছিল, কিন্তু ১৭তম শতাব্দীতে আইজাক নিউটন এবং গটফ্রিড ভিলহেল্ম লাইবনিৎস পূর্বের গণিতবিদদের ধারণাকে প্রসারিত করে মৌলিক নীতিসমূহ প্রকাশ করার পর থেকে ইউরোপে ক্যালকুলাসের ব্যবহার শুরু হয়েছিল। ক্যালকুলাসের বিকাশ তাত্ক্ষণিক গতি এবং বক্ররেখা দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের পূর্ববর্তী ধারণাগুলোর উপর নির্মিত হয়েছিল।

অন্তরকলন ক্যালকুলাসের প্রয়োগের মধ্যে বেগ এবং ত্বরণ জড়িত গণনা, বক্ররেখার ঢাল এবং অনুকূলকরণ অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। সমাকলন ক্যালকুলাসের প্রয়োগের মধ্যে ক্ষেত্রফল, আয়তন, আর্ক দৈর্ঘ্য, ভরকেন্দ্র, কাজ এবং চাপ সম্পর্কিত গণনা অন্তর্ভুক্ত। আরও উন্নত প্রয়োগের মধ্যে ঘাত ধারা এবং ফুরিয়ার ধারা অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।

স্থান, সময় এবং গতির প্রকৃতি সম্পর্কে আরও সুনির্দিষ্ট ধারণা অর্জনের জন্যও ক্যালকুলাস ব্যবহৃত হয়। কয়েক শতাব্দী ধরে গণিতবিদ এবং দার্শনিকরা শূন্য দ্বারা বিভাজন বা অসীম সংখ্যার যোগফল সম্পর্কিত প্যারাডক্সের সাথে লড়াই করেছিলেন। এই প্রশ্নগুলি গতি এবং ক্ষেত্রের অধ্যয়নে উত্থিত হয়। এলিয়ার প্রাচীন গ্রিক দার্শনিক জেনো এই জাতীয় প্যারাডক্সের বেশ কয়েকটি বিখ্যাত উদাহরণ দিয়েছিলেন। ক্যালকুলাস এসকল প্যারাডক্সগুলি সমাধান করা জন্য সরঞ্জামগুলি সরবরাহ করে, বিশেষত লিমিট এবং অসীম ধারা।

নীতিমালা

লিমিট এবং অনীয়ান

সাধারণত ক্ষুদ্র পরিমাণ ব্যবহারের মাধ্যমেই ক্যালকুলাস বিকশিত হয়েছে। ঐতিহাসিকভাবে এর প্রথম পদ্ধতিটি ছিল অনীয়ানের মাধ্যমে। এগুলি এমন বস্তু যা প্রকৃত সংখ্যার মতো ব্যবহার করা যায় তবে যা কিছু অর্থে "অসীমভাবে ক্ষুদ্র"। উদাহরণস্বরূপ, একটি অনীয়ান সংখ্যা ০ এর চেয়ে বড় তবে ১, ১/২, ১/৩, অনুক্রমের যে কোনও সংখ্যার চেয়ে ছোট হতে পারে এবং এইভাবে সকল ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার চেয়ে কম হতে পারে। এই দৃষ্টিকোণ থেকে ক্যালকুলাস হলো অনীয়ান সংখ্যাসমূহকে পরিচালনা করার কৌশলের সংকলন। $dx$ এবং $dy$ প্রতীকগুলো অনীয়ান হিসেবে নেওয়া হয়েছিল এবং অন্তরজ $dy/dx$ হলো এর অনুপাত।

১৯তম শতাব্দীতে অনীয়ান পদ্ধতিটি ব্যবহারের বাইরে চলে গিয়েছিল কারণ অনীয়ানের ধারণাকে সুনির্দিষ্ট করা তখন কঠিন বিষয় ছিল। যদিও বিশ শতকে অনাদর্শ বিশ্লেষণ এবং মসৃণ অনীয়ান বিশ্লেষণের প্রবর্তনের সাথে ধারণাটি পুনরুত্থিত হয়েছিল, যা অনীয়ান ব্যবহারের মজবুত ভিত্তি প্রদান করেছে।

ঊনবিংশ শতাব্দীর শেষের দিকে একাডেমিয়ার মধ্যে লিমিটের এপিসিলন, ডেলটার পদ্ধতি দ্বারা অনীয়ানকে প্রতিস্থাপন করা হয়েছিল। লিমিট কোনো একটি ফাংশনের একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর কাছাকাছি বিন্দুসমুহের শর্ত সাপেক্ষে ঐ বিন্দুকে বর্ণনা করে। এগুলো বাস্তব সংখ্যা ব্যবস্থায় ক্ষুদ্র পরিসরে আচরণকে নিয়ন্ত্রণ করে। এই পদ্ধতিতে ক্যালকুলাস হলো নির্দিষ্ট লিমিটকে পরিবর্তনের কৌশলসমূহের সংগ্রহ। অনীয়ানগুলি ক্ষুদ্র সংখ্যা দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় এবং ক্ষুদ্র থেকে ক্ষুদ্রতর সংখ্যার জন্য লিমিটের আচরণ নিয়ে ফাংশনের অসীম ক্ষুদ্র আচরণ পাওয়া যায়। চিন্তা করা হয়েছিল লিমিট ক্যালকুলাসের জন্য আরও মজবুত ভিত্তি সরবরাহ করবে এবং এই কারণেই বিংশ শতাব্দীতে এগুলো মানদণ্ড হয়ে ওঠে।

অন্তরকলন ক্যালকুলাস

অন্তরকলন ক্যালকুলাস হলো কোনও ফাংশনের অন্তরজের সংজ্ঞা, বৈশিষ্ট্য এবং প্রয়োগগুলির অধ্যয়ন। অন্তরজ সন্ধানের প্রক্রিয়াটিকে অন্তরীকরণ বলে। একটি ফাংশন এবং ডোমেনে একটি বিন্দু দেওয়া হলে, সেই বিন্দুটির অন্তরজ হলো বিন্দুটির নিকটে ফাংশনের ক্ষুদ্রতর আচরণ নির্ণয় করার একটি উপায়। কোনও ফাংশনের ডোমেনের প্রতিটি বিন্দুতে অন্তরজ সন্ধান করে অন্তরজ ফাংশন বা মূল ফাংশনের অন্তরজ নামের একটি নতুন ফাংশন তৈরি করা সম্ভব। সাধারণত অন্তরজ হলো একটি রৈখিক অপারেটর যা ইনপুট হিসেবে একটি ফাংশনকে গ্রহণ করে এবং আউটপুট হিসাবে দ্বিতীয় আরেকটি ফাংশন তৈরি করে। প্রাথমিক বীজগণিতে অধ্যয়ন, যেখানে ফাংশনগুলি সাধারণত একটি সংখ্যা ইনপুট নেয় এবং অন্য একটি সংখ্যা আউটপুট দেয়, সেই প্রক্রিয়ার তুলনায় এটি আরও বিমূর্ত। উদাহরণস্বরূপ, দ্বিগুণ করার ফাংশনে যদি তিন ইনপুট দেওয়া হয়, তবে এটি আউটপুট দেয় ছয় এবং বর্গের ফাংশনে যদি তিন ইনপুট দেওয়া হয়, তবে এটি নয় আউটপুট দেয়। তবে অন্তরজের ক্ষেত্রে ইনপুট হিসাবে বর্গের ফাংশনটিকে গ্রহণ করতে পারে। এর অর্থ হলো অন্তরজ বর্গ নির্ণয়ের ফাংশন সম্পর্কিত সমস্ত তথ্য, যেমন দুই হলে চার প্রেরণ করা হয়, তিন হলে নয় প্রেরণ করা হয়, চার হলে ষোল প্রেরণ করা হয় ইত্যাদি তথ্য গ্রহণ করে এবং অন্য ফাংশন তৈরি করতে এই তথ্য ব্যবহার করে। বর্গ নির্ণয়ের ফাংশনের অন্তরকলন দ্বারা উৎপাদিত ফাংশনটি হলো দ্বিগুণ করার ফাংশন।

দ্বিগুন করার ফাংশনকে লেখা যায়, $g (x) = 2 x$ এবং বর্গ করার ফাংশনকে লেখা যায়, $f (x) = x 2$ । এখন $f (x)$ ফাংশনের অন্তরজ " $x 2$ " রাশিটি ইনপুট হিসেবে গ্রহণ করে, এবং এটিতেই প্রয়োজনীয় সকল তথ্য যেমন, দুই হলে চার, তিন হলে নয় প্রেরণ করার নির্দেশ রয়েছে। এই তথ্যকে ব্যবহার করে অন্য একটি ফাংশন, $g (x) = 2 x$ গঠন করে।

অন্তরজের জন্য সর্বাধিক প্রচলিত প্রতীক হলো প্রাইম নামক একটি ঊর্ধকমার মতো চিহ্ন। সুতরাং $f$ ফাংশনের অন্তরজ হবে $f'$ , এবং এটিকে উচ্চারন করা হয় "এফ প্রাইম" হিসেবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি $f (x) = x 2$ হয়, তবে $f' (x) = 2 x$ হলো এর অন্তরজ (উপরের দ্বিগুণ করার ফাংশন $g$ )।

যদি ফাংশনটির ইনপুট সময়কে উপস্থাপন করে তবে অন্তরজ সময়ের সাপেক্ষে পরিবর্তনকে উপস্থাপন করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি $f$ এমন কোনও ফাংশন হয় যা ইনপুট হিসাবে সময়ের মান গ্রহণ করে এবং আউটপুট হিসাবে সেই সময়ে একটি বলের অবস্থান প্রকাশ করে, তবে $f$ এর অন্তরজ হলো সময়ের সাথে এর অবস্থান কীভাবে পরিবর্তিত হয়, যা হলো বলটির গতিবেগ।

যদি কোনও ফাংশন রৈখিক হয় (অর্থাৎ, যদি ফাংশনের লেখচিত্রটি একটি সরলরেখা হয়), তবে ফাংশনটি $y = mx + b$ হিসাবে লেখা যেতে পারে, যেখানে $x$ স্বতন্ত্র চলক, $y$ নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল, $b$ হলো y-intercept, এবং:

m={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}

এটি দ্বারা একটি সরলরেখার ঢালের সঠিক মান নির্ণয় করা যায়। তবে যদি ফাংশনের লেখচিত্রটি কোনও সরলরেখা না হয় তবে $x$ এর পরিবর্তন দ্বারা $y$ এর পরিবর্তনের ভাগফল পরিবর্তিত হয়। অন্তরজ ইনপুট পরিবর্তনের ক্ষেত্রে আউটপুট পরিবর্তনের ধারণার একটি সঠিক অর্থ প্রকাশ করে। $f$ একটি ফাংশন হলে, এর ডোমেনে একটি বিন্দু $a$ ধরে নিই। তাহলে $(a, f (a))$ হলো ফাংশনটির লেখচিত্রের উপর একটি বিন্দু। যদি $h$ এর মান শূন্যের কাছাকাছি একটি সংখ্যা হয় তবে $a + h$ এমন একটি সংখ্যা যার মান $a$ এর কাছাকাছি। সুতরাং, $(a + h, f (a + h))$ বিন্দুটি $(a, f (a))$ এর কাছাকাছি। তাহলে এই দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী ঢাল,

m={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}

এই রাশিটিকে পার্থক্যফল বলে। একটি বক্ররেখার উপর দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে গমন করা রেখাকে তাত্ক্ষণিক রেখা বলা হয়, সুতরাং $m$ হলো $(a, f (a))$ এবং $(a + h, f (a + h))$ এর মধ্যে দিয়ে গমন করা তাত্ক্ষণিক রেখার ঢাল। তাত্ক্ষণিক রেখাটি বিন্দু $a$ তে ফাংশনটির আচরণের কেবলমাত্র একটি অনুমান, কারণ এটি $a$ এবং $a + h$ এর মধ্যে কী ঘটে তা সম্পর্কে অবগত নয়। $a$ বিন্দুতে ফাংশনটির আচরণ সম্পর্কে জানা সম্ভব নয় কারণ এজন্য $h$ এর মান শূন্য হবে এবং শূন্য দ্বারা বিভাজন করা প্রয়োজন হবে, যা অসংজ্ঞায়িত। $h$ এর শূন্যের কাছাকাছি মানকে লিমিট হিসেবে গ্রহণ করে অন্তরজকে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এর অর্থ এই যে, $h$ এর সমস্ত ক্ষুদ্র মানগুলির জন্য $f$ এর আচরণকে বিবেচনা করে $h$ শূন্যের সমান হলে যেই মান হতো তার একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ মান বের করা হয়:

\lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}

জ্যামিতিকভাবে অন্তরজ হলো $f$ এর লেখচিত্রে $a$ বিন্দুর স্পর্শক রেখার ঢাল। স্পর্শক রেখাটি তাত্ক্ষণিক রেখার একটি সীমা, ঠিক যেমন অন্তরজ হলো পার্থক্যফলের একটি সীমা। এই কারণে অন্তরজকে কখনও কখনও ফাংশন $f$ এর ঢাল বলা হয়।

যদি বর্গ করার ফাংশন $f (x) = x 2$ হয়, তাহলে ইনপুট হিসেবে ৩ নেওয়া হলে এই ফাংশনটির অন্তরজ হবে,

একটি বিন্দুতে একটি বক্ররেখার অন্তরজ $f' (x)$ হল সেই বিন্দুতে রেখাটির স্পর্শকের ঢাল। এই ঢালটি তাৎক্ষণিক রেখার (সিক্যান্ট লাইন) ঢালের লিমিট বিবেচনা করে নির্ধারিত হয়। এখানের ফাংশনটি (লাল রঙে) হলো $f (x) = x 3 - x$ । (−৩/২, −১৫/৮) বিন্দুতে স্পর্শক রেখার (সবুজ রঙে) ঢাল ২৩/৪। মনে রাখবেন যে এই চিত্রের উল্লম্ব এবং অনুভূমিক ক্ষেত্রে পৃথক স্কেল ব্যবহৃত হয়েছে।

{\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{(3+h)^{2}-3^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{9+6h+h^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{6h+h^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}(6+h)\\&=6\end{aligned}}

(৩,৬) বিন্দুতে বর্গ ফাংশনটির স্পর্শক রেখার ঢাল ৬, যা থেকে বলা যায় যে এটি ডান দিকে যত দ্রুত যাচ্ছে তার চেয়ে ছয়গুণ দ্রুত উপরে উঠছে। সবেমাত্র বর্ণিত সীমা প্রক্রিয়া বর্গ ফাংশনের ডোমেনের যে কোনও বিন্দুর জন্য সম্পাদন করা যেতে পারে। এটি বর্গ ফাংশনের অন্তরজ ফাংশন বা সংক্ষিপ্তভাবে অন্তরজকে সংজ্ঞায়িত করে। উপর্যুক্ত হিসেবের অনুরূপ একটি গণনা থেকে দেখা যায় যে বর্গ ফাংশনের অন্তরজ হলো দ্বিগুণকারী ফাংশন।

লিবনিজ নোটেশন

উপরের উদাহরণের অন্তরজের জন্য লিবনিজ প্রবর্তিত একটি সাধারণ নোটেশন হলো,

{\begin{aligned}y&=x^{2}\\{\frac {dy}{dx}}&=2x\end{aligned}}

লিমিট নির্ভর এই পদ্ধতিতে $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:100%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:2px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0em 0em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}+dy/dx$ প্রতীকটি $dy$ এবং $dx$ এর ভাগফল নির্দেশ করে না, বরং এটি হলো উপরে গণনাকৃত লিমিটকে সহজভাবে প্রকাশের পদ্ধতি। লাইবনিৎস যদিও এটি দ্বারা দুটি অনীয়ান সংখ্যার ভাগফল প্রকাশ করতে চেয়েছিলেন, যেখানে $dy$ হলো $x$ এর অনীয়ান পরিবর্তন $dx$ এর ফলে $y$ এর অনীয়ান পরিবর্তন। আমরা $+ d / dx$ কে অন্তরকলন অপারেটর বিবেচনা করতে পারি, যা ইনপুট হিসেবে একটি ফাংশন গ্রহণ করে এবং আউটপুট হিসেবে অন্তরজ ফাংশনকে প্রদান করে। উদাহরণস্বরূপ,

{\frac {d}{dx}}(x^{2})=2x.

এখানে হরের $dx$ কে পড়া হয় " $x$ এর সাপেক্ষে"। সঠিক নোটেশনের আরেকটি উদাহরণ হতে পারে,

${\begin{aligned}g(t)=t^{2}+2t+4\\\\{d \over dt}g(t)=2t+2\end{aligned}}$

এমনকি যখন অনীয়ান ছাড়া শুধু সীমা ব্যবহার করে ক্যালকুলাস বিকশিত করা হয়, তখনও $dx$ এবং $dy$ প্রতীকগুলিকে সাধারণভাবে বাস্তব সংখ্যা মনে করে ব্যবহার করা হয়; যদিও এ জাতীয় কৌশলগুলি এড়ানো সম্ভব, তবুও তারা কখনও কখনও মোট অন্তরজের মতো ক্রিয়াকলাপ প্রকাশের ক্ষেত্রে স্বতন্ত্রভাবে সুবিধাজনক।

সমাকলন ক্যালকুলাস

সমাকলন ক্যালকুলাস হলো দুটি জড়িত ধারণা, অনির্দিষ্ট সমাকলন এবং সুনির্দিষ্ট সমাকলনের সংজ্ঞা, বৈশিষ্ট্য এবং প্রয়োগ সম্পর্কিত অধ্যয়ন। একটি সমাকলনের মান সন্ধানের প্রক্রিয়াটিকে সমাকলন ক্যালকুলাস বলে। প্রায়োগিক ভাষায়, সমাকলন ক্যালকুলাসে দুটি সম্পর্কিত রৈখিক অপারেটর নিয়ে অধ্যয়ন করা হয়।

অনির্দিষ্ট সমাকলন, যা অ্যান্টিডেরিভেটিভ নামেও পরিচিত, এটি অন্তরজের বিপরীত প্রক্রিয়া। $F$ হলো $f$ এর অনির্দিষ্ট সমাকলন যখন $f$ হলো $F$ এর অন্তরজ। (একটি ফাংশনের জন্য ছোট এবং এর অনির্দিষ্ট সমাকলনের জন্য বড় হাতের অক্ষরের ব্যবহার ক্যালকুলাসে প্রচলিত)

সুনির্দিষ্ট সমাকলনের ক্ষেত্রে কোনও ফাংশনকে ইনপুট হিসেবে দেওয়া হয় এবং একটি সংখ্যা আউটপুট পাওয়া যায়, যা হলো ইনপুট ফাংশনের লেখচিত্র এবং x-অক্ষের মধ্যবর্তী ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল। সুনির্দিষ্ট সমাকলনের প্রায়োগিক সংজ্ঞাতে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের যোগফলের সীমার সাথে সম্পর্কিত, যাকে রিমান সমষ্টি বলে।

একটি উৎকৃষ্ট উদাহরণ হলো নির্দিষ্ট সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব

\mathrm {Distance} =\mathrm {Speed} \cdot \mathrm {Time}

গতি যদি ধ্রুব থাকে তবে কেবলমাত্র সময় দ্বারা গুণ করলেই দুরত্ব পাওয়া যায়, তবে বেগ পরিবর্তিত হলে দূরত্ব নির্ণয়ের আরও শক্তিশালী পদ্ধতি প্রয়োজন। এর মধ্যে একটি পদ্ধতি হলো সময়কে অনেকগুলো সংক্ষিপ্ত বিরতিতে বিভক্ত করে প্রতিটি ব্যবধানে অতিবাহিত সময়কে সেই ব্যবধানের গতি দ্বারা গুন করে সেই ব্যবধানে অতিক্রান্ত দুরত্ব নির্ণয় করে সকল ব্যবধানের অতিক্রান্ত দুরত্বের যোগফল (রিমান সমষ্টি) নির্ণয়। মূল ধারণাটি হলো অল্প সময় ব্যবধানে বেগ প্রায় একই থাকবে। যদিও একটি রিমান রাশি কেবলমাত্র অতিক্রান্ত দূরত্বের একটি আনুমানিক পরিমাণ দেয়। অতিক্রান্ত সঠিক দূরত্বের জন্য আমাদের অবশ্যই এই জাতীয় সমস্ত রিমান সমষ্টির সীমা নিতে হবে।

যখন বেগ স্থির থাকে, প্রদত্ত সময়ের ব্যবধানে বেগ এবং সময়কে গুণ করে অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব গণনা করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, ৩ ঘন্টার জন্য ৫০ মাইল প্রতি ঘণ্টা বেগে চলার ফলে ১৫০ মাইল দূরত্ব অতিক্রান্ত হয়। বাম দিকের ডায়াগ্রামে ধ্রুব বেগ এবং সময়কে প্রকাশ করলে এই দুটি মান একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করে যার উচ্চতা গতিবেগের সমান এবং প্রস্থ ব্যয়িত সময়ের সমান। সুতরাং, বেগ এবং সময়ের গুণফল (ধ্রুবক) বেগের বক্ররেখার অধীনে আয়তক্ষেত্রাকার অঞ্চলের ক্ষেত্রফলের সমান। একটি বক্ররেখা মধ্যবর্তী অঞ্চলের ক্ষেত্রফল এবং দূরত্বের মধ্যে এই সংযোগটি কোনও নির্দিষ্ট সময়কালে বেগের হ্রাসবৃদ্ধির ফলে যেকোনো অনিয়মিত আকারের অঞ্চলে প্রয়োগ করা যেতে পারে। ডানদিকের ডায়াগ্রামে $f (x)$ যদি সময়ের সাথে পরিবর্তনশীল বেগকে নির্দেশ করে, তাহলে অতিক্রান্ত দূরত্ব ( $a$ এবং $b$ দ্বারা উপস্থাপিত সময়ের মধ্যে) হবে ছায়াযুক্ত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল $s$ এর সমান।

এই অঞ্চলটি অনুমান করার জন্য একটি উৎকৃষ্ট পদ্ধতি হলো $a$ এবং $b$ এর মধ্যকার দূরত্বকে বহু সমান অংশে বিভক্ত করা, যেখানে প্রতিটি অংশের দৈর্ঘ্যকে $Δ x$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। প্রতিটি ছোট অংশের জন্য আমরা $f (x)$ ফাংশনের একটি মান বেছে নিতে পারি। এই মানটিকে $h$ ধরা হলো। তাহলে ভূমি $Δ x$ এবং উচ্চতা $h$ বিশিষ্ট আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলই হলো সেই অংশে অতিক্রান্ত দূরত্ব (সময় $Δ x$ কে বেগ $h$ দ্বারা গুণ করে)। এটির উপরে ফাংশনের গড় মান, $f (x) = h$ প্রতিটি অংশের সাথে সম্পর্কিত। এই জাতীয় সমস্ত আয়তক্ষেত্রগুলির যোগফল অক্ষ এবং বক্ররেখার মধ্যবর্তী অঞ্চলের ক্ষেত্রফলের ধারণা দেয় যা অতিক্রান্ত মোট দূরত্বের একটি অনুমান। $Δ x$ এর আরও ছোট মানের ফলে আরও আয়তক্ষেত্র পাওয়া যাবে এবং বেশিরভাগ ক্ষেত্রে আরও ভালো অনুমান করা সম্ভব, তবে সঠিক মানের জন্য $Δ x$ এর মান শূন্যের কাছাকাছি হলে আমাদের একটি সীমা নেওয়া দরকার।

সমাকলনের প্রতীক হলো $\int$ , একটি দীর্ঘ s (যা যোগফল বা sum কে নির্দেশ করে)। নির্দিষ্ট সমাকলনকে লেখা যায়,

\int _{a}^{b}f(x)\,dx.

একে "a থেকে b পর্যন্ত x এর সাপেক্ষে সাথে f-of-x এর সমাকলন" পড়া হয়। লাইবনিৎস নোটেশন $dx$ -এর লক্ষ্য হলো বক্ররেখার নিচের অঞ্চলটিকে অসীম সংখ্যক আয়তক্ষেত্রে বিভক্ত করা, যাতে এগুলোর প্রস্থ $Δ x$ অনীয়ান আকারে ছোট $dx$ এ পরিণত হয়। সীমার উপর ভিত্তি করে ক্যালকুলাসের একটি সূচনায়,

\int _{a}^{b}\cdots \,dx

এটি এমন একটি অপারেটর যা ইনপুট হিসাবে একটি ফাংশন নেয় এবং আউটপুট হিসাবে একটি নম্বর বা ক্ষেত্রফল দেয়। টার্মিনেটিং অন্তরজ $dx$ কোনও সংখ্যা নয় এবং একে $f (x)$ দ্বারা গুণ করাও হচ্ছে না, বরং এটি $Δ x$ এর সীমার সংজ্ঞার অনুস্মারক হিসাবে কাজ করে। এটি সমাকলনের প্রতীকী পরিবর্তন হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। সাধারণত, অন্তরজ সেই চলকটি নির্দেশ করে যার উপর ফাংশনটি সমাকলিত হয় এবং সমাকলন অপারেটরের বন্ধনী হিসাবে কাজ করে।

অনির্দিষ্ট সমাকলন বা অ্যান্টিডেরিভেটিভকে লেখা যায়,

\int f(x)\,dx.

শুধুমাত্র একটি ধ্রুবক দ্বারা পৃথকীকৃত ফাংশনগুলির অন্তরজ একই থাকে এবং এটি দেখানো যেতে পারে যে প্রদত্ত ফাংশনের অ্যান্টিডেরিভেটিভ আসলে কেবল ধ্রুবক দ্বারা পৃথকীকৃত ফাংশনসমূহের একটি পরিবার। যেহেতু $y = x 2 + C$ ফাংশনটির অন্তরজ হলো $y' = 2 x$ , যেখানে $C$ যেকোনো ধ্রুবক, তাই এটির অ্যান্টিডেরিভেটিভে এই ধ্রুবক সংযুক্ত করতে হয়:

\int 2x\,dx=x^{2}+C.

অনির্দিষ্ট সমাকলন বা অ্যান্টিডেরিভেটিভে উপস্থিত অনির্ধারিত ধ্রুবক $C$ সমাকলন ধ্রুবক হিসাবে পরিচিত।

মৌলিক উপপাদ্য

ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যটি অনুযায়ী যে অন্তরকলন এবং সমাকলন একে অপরের বিপরীত ক্রিয়াকলাপ। এটি অ্যান্টিডেরিভেটিভের মান এবং নির্দিষ্ট সমাকলনের মাঝে সম্পর্ক সৃষ্টি করে। যেহেতু নির্দিষ্ট সমাকলনের সংজ্ঞা প্রয়োগ করার চেয়ে সাধারণত অ্যান্টিডারিভেটিভ গণনা করা সহজ, সুতরাং ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য নির্দিষ্ট সমাকলন গণনা করার একটি ব্যবহারিক উপায় সরবরাহ করে।

ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য অনুযায়ী: যদি একটি ফাংশন $f$ , $[a, b]$ বিরতিতে অবিরত থাকে এবং যদি $F$ এমন একটি ফাংশন হয় যার অন্তরকলন $(a, b)$ বিন্দুতে $f$ হয়, তবে

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).

তদতিরিক্ত, বিরতিতে প্রতিটি $x$ এর জন্য $(a, b)$ ,

{\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).

আইজাক ব্যারো এর পূর্ববর্তী কাজের উপর ভিত্তি করে এটি নিউটন এবং লাইবনিৎস উভয়েই উপলব্ধি করেছিল। মৌলিক উপপাদ্যটি অ্যান্টিডেরিভেটিভসের সূত্রগুলি সন্ধান করে সীমার প্রক্রিয়া সম্পাদন না করেই অনেকগুলি নির্দিষ্ট সমাকলন গণনা করার একটি বীজগাণিতিক পদ্ধতি সরবরাহ করে। এটি অন্তরক সমীকরণের একটি প্রোটোটাইপ সমাধান। অন্তরক সমীকরণগুলি এটির অন্তরজের অস্তিত্বের সাথে একটি অজানা ফাংশনকে সম্পর্কিত করে এবং এটি বিজ্ঞানের সর্বত্র প্রচলিত।

প্রয়োগ

নটিলাস শেলের লোগারিদমিক সর্পিলাকৃতি ক্যালকুলাসের সাথে সম্পর্কিত বৃদ্ধি এবং পরিবর্তন চিত্রিত করতে ব্যবহৃত একটি চিরায়ত চিত্র।

ভৌত বিজ্ঞান, একচুয়ারিয়াল সাইন্স, কম্পিউটার বিজ্ঞান, পরিসংখ্যান, প্রকৌশল, অর্থনীতি, ব্যবসা, চিকিৎসা বিজ্ঞান, জনসংখ্যাতত্ত্ব, এবং অন্যান্য ক্ষেত্র, যেখানে কোনও সমস্যা গাণিতিকভাবে মডেলিং করা যায় এবং একটি অনুকূল সমাধানের প্রয়োজন হয় সেখানেই ক্যালকুলাস ব্যবহার করা হয়। ক্যালকুলাসের সাহায্যে পরিবর্তনের হার থেকে সামগ্রিক পরিবর্তন এবং বিপরীতভাবে সামগ্রিক পরিবর্তন থেকে পরিবর্তনের হার নির্ণয় করা যায় এবং প্রায়শই বিভিন্ন সমস্যার সমাধানের ক্ষেত্রে একটি দেওয়া থাকে এবং অপরটি নির্ণয় করতে হয়।

পদার্থবিজ্ঞানে ক্যালকুলাসের বিশেষ ব্যবহার রয়েছে; চিরায়ত বলবিদ্যা এবং তড়িচ্চুম্বকত্বের সমস্ত ধারণাগুলি ক্যালকুলাসের মাধ্যমে সম্পর্কিত। জ্ঞাত ঘনত্বের কোনও বস্তুর ভর, বস্তুর জড়তার ভ্রামকসহ রক্ষণশীল ক্ষেত্রের মধ্যে কোনও বস্তুর মোট শক্তি ক্যালকুলাস ব্যবহার করে নির্ণয় করা যায়। বলবিদ্যায় ক্যালকুলাস ব্যবহারের একটি উদাহরণ হলো নিউটনের গতির দ্বিতীয় সূত্র: যাতে স্পষ্টভাবে "গতির পরিবর্তন" এর অন্তরজ সম্পর্কে কথা বলা হয়েছে যে এটি বস্তুর ভরবেগের পরিবর্তন এর উপর প্রযুক্ত বলের সমানুপাতিক এবং বল যেদিকে ক্রিয়া করে ভরবেগের পরিবর্তন সেদিকে হয়। বর্তমানে বল = ভর × ত্বরণ হিসাবে সাধারণভাবে প্রকাশিত রাশিতে অন্তরকলন ক্যালকুলাস প্রয়োগ করা হয়েছে, কারণ ত্বরণ হলো সময়ের সাপেক্ষে বেগের অন্তরজ অথবা গতিপথ বা স্থানিক অবস্থানের দ্বিতীয় অন্তরজ। কীভাবে কোনও বস্তু ত্বরান্বিত হচ্ছে তা জেনে আমরা ক্যালকুলাস ব্যবহার করে তার গতিপথটি বের করতে পারি।

ম্যাক্সওয়েলের তড়িচ্চুম্বকত্ব এবং আইনস্টাইনের সাধারণ আপেক্ষিকতার তত্ত্বও অন্তরকলন ক্যালকুলাসের ভাষায় প্রকাশিত। বিক্রিয়া হার এবং তেজস্ক্রিয় ক্ষয় নির্ধারণে রসায়নেও ক্যালকুলাস ব্যবহৃত হয়। জীববিজ্ঞানের জনসংখ্যাতত্ত্বে জনসংখ্যার পরিবর্তনের মডেল তৈরির জন্য জন্ম এবং মৃত্যুর হার দিয়ে শুরু করা হয়।

ক্যালকুলাস অন্যান্য গাণিতিক শাখার সাথে একত্রে ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, কোনও ডোমেনের বিন্দু সেটের সর্বোৎকৃষ্ট রৈখিক অনুমানের সন্ধান করতে রৈখিক বীজগণিতের সাথে ক্যালকুলাস ব্যবহার করা যেতে পারে। অথবা এটি ধরে নেওয়া একটি ঘনত্ব ফাংশন থেকে অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলকের সম্ভাবনা নির্ধারণের জন্য সম্ভাব্যতা তত্ত্বে ক্যালকুলাস ব্যবহার করা যেতে পারে। স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে ফাংশনের লেখচিত্র অধ্যয়নের ক্ষেত্রে সর্বোচ্চ বিন্দু এবং সর্বনিম্ন বিন্দু (গুরুমান এবং লঘুমান), ঢাল, অবতলতা এবং আনতি বিন্দু নির্ণয় করতে ক্যালকুলাস ব্যবহৃত হয়।

চিকিৎসা বিজ্ঞানে একটি রক্তনালীর সর্বোত্তম শাখা কোণ খুঁজে পেতে ক্যালকুলাস ব্যবহার করা যেতে পারে যাতে রক্তপ্রবাহ সর্বাধিকতর হয়। শরীর থেকে কোনও নির্দিষ্ট ড্রাগের নির্মূলের ক্ষয় সূত্র ব্যবহার করে ডোজিং আইনগুলি আহরণের জন্য ক্যালকুলাস ব্যবহৃত হয়। পারমাণবিক চিকিৎসা বিজ্ঞানে এটি টার্গেটযুক্ত টিউমার থেরাপিতে রেডিয়েশন ট্রান্সপোর্ট মডেল তৈরি করতে ব্যবহৃত হয়।

অর্থনীতিতে ক্যালকুলাস ব্যবহার করে সহজেই প্রান্তিক ব্যয় এবং প্রান্তিক উপার্জন গণনা ককরে সর্বাধিক মুনাফা নির্ধারণ করা যায়।

সমীকরণের আনুমানিক সমাধান খুঁজতেও ক্যালকুলাস ব্যবহৃত হয়; বাস্তবে এটি বেশিরভাগ প্রয়োগসমূহে অন্তরজ সমীকরণ সমাধান করা এবং বর্গমূল নির্ণয় করার স্ট্যান্ডার্ড উপায়। উদাহরণ হলো নিউটনের পদ্ধতি, নির্দিষ্ট বিন্দু পুনরাবৃত্তি এবং রৈখিক আনুমানিকতার মতো পদ্ধতি। উদাহরণস্বরূপ, মহাকাশযান শূন্য মাধ্যাকর্ষণ পরিবেশের মধ্যে বাঁকা গতিপথগুলি অনুমান করতে অয়লার পদ্ধতির একটি প্রকরণ ব্যবহার করে।

বিভিন্নতা

বছরের পর বছর ধরে বিভিন্ন উদ্দেশ্যে ক্যালকুলাসের অনেকগুলি সংস্কার আবিষ্কার করা হয়েছে।

নন-স্ট্যান্ডার্ড ক্যালকুলাস

মসৃণ অনীয়ান বিশ্লেষণ

এটি হলো অনীয়ানসমূহের ক্ষেত্রে ক্যালকুলাসের আরেকটি সংস্কার। উইলিয়াম লওভেরের ধারণা এবং ক্যাটাগরি তত্ত্বের পদ্ধতিগুলি প্রয়োগের উপর ভিত্তি করে এটি সমস্ত ফাংশনকে অবিচ্ছিন্ন হিসেবে বিবেচনা করে এবং বিচ্ছিন্ন সত্ত্বার ক্ষেত্রে প্রকাশ করতে অক্ষম। এই সূত্রের একটি দিক হলো,এই সূত্রটি বাম মধ্যম সূত্রটিকে ধারণ করে না।

গঠনমূলক বিশ্লেষণ

গঠনমূলক গণিত গণিতের একটি শাখা যা জোর দেয় যে একটি সংখ্যা, ফাংশন বা অন্যান্য গাণিতিক বস্তুর অস্তিত্বের প্রমাণগুলি বস্তুটির একটি নির্মাণ প্রদান করা উচিৎ। যেমন গঠনমূলক গণিতও বাম মধ্যম সুত্রটিকে প্রত্যাখ্যান করে। একটি গঠনমূলক কাঠামোয় ক্যালকুলাসের সংস্কার সাধারনত গঠনমূলক বিশ্লেষণের অংশ।

আরও দেখুন

তালিকা

অন্যান্য সম্পর্কিত বিষয়

তথ্যসূত্র

↑ DeBaggis, Henry F.; Miller, Kenneth S. (১৯৬৬)। Foundations of the Calculus। Philadelphia: Saunders। ওসিএলসি 527896।
↑ Boyer, Carl B. (১৯৫৯)। The History of the Calculus and its Conceptual Development। New York: Dover। ওসিএলসি 643872।
↑ Bardi, Jason Socrates (২০০৬)। The Calculus Wars : Newton, Leibniz, and the Greatest Mathematical Clash of All Time। New York: Thunder's Mouth Press। আইএসবিএন 1-56025-706-7।
↑ Hoffmann, Laurence D.; Bradley, Gerald L. (২০০৪)। Calculus for Business, Economics, and the Social and Life Sciences (8th সংস্করণ)। Boston: McGraw Hill। আইএসবিএন 0-07-242432-X।
↑ Morris Kline, Mathematical thought from ancient to modern times, Vol. I
↑ Archimedes, Method, in The Works of Archimedes আইএসবিএন ৯৭৮-০-৫২১-৬৬১৬০-৭
↑ Dun, Liu; Fan, Dainian; Cohen, Robert Sonné (১৯৬৬)। A comparison of Archimdes' and Liu Hui's studies of circles। Chinese studies in the history and philosophy of science and technology। 130। Springer। পৃষ্ঠা 279। আইএসবিএন 978-0-7923-3463-7। ,pp. 279ff
↑ Katz, Victor J. (২০০৮)। A history of mathematics (3rd সংস্করণ)। Boston, MA: Addison-Wesley। পৃষ্ঠা 203। আইএসবিএন 978-0-321-38700-4।
↑ Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. (২০০৯)। Calculus: Early Transcendentals (3 সংস্করণ)। Jones & Bartlett Learning। পৃষ্ঠা xxvii। আইএসবিএন 978-0-7637-5995-7। Extract of page 27
↑ ^ক ^খ Katz, V.J. 1995. "Ideas of Calculus in Islam and India." Mathematics Magazine (Mathematical Association of America), 68(3):163–174.
↑ "Indian mathematics"।
↑ von Neumann, J., "The Mathematician", in Heywood, R.B., ed., The Works of the Mind, University of Chicago Press, 1947, pp. 180–196. Reprinted in Bródy, F., Vámos, T., eds., The Neumann Compendium, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1995, আইএসবিএন ৯৮১-০২-২২০১-৭, pp. 618–626.
↑ André Weil: Number theory: An approach through History from Hammurapi to Legendre. Boston: Birkhauser Boston, 1984, আইএসবিএন ০-৮১৭৬-৪৫৬৫-৯, p. 28.
↑ Blank, Brian E.; Krantz, Steven George (২০০৬)। Calculus: Single Variable, Volume 1 (Illustrated সংস্করণ)। Springer Science & Business Media। পৃষ্ঠা 248। আইএসবিএন 978-1-931914-59-8।
↑ Ferraro, Giovanni (২০০৭)। The Rise and Development of the Theory of Series up to the Early 1820s (Illustrated সংস্করণ)। Springer Science & Business Media। পৃষ্ঠা 87। আইএসবিএন 978-0-387-73468-2।
↑ Leibniz, Gottfried Wilhelm. The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz. Cosimo, Inc., 2008. p. 228. Copy
↑ Allaire, Patricia R. (২০০৭)। Foreword। A Biography of Maria Gaetana Agnesi, an Eighteenth-century Woman Mathematician। by Cupillari, Antonella (illustrated সংস্করণ)। Edwin Mellen Press। পৃষ্ঠা iii। আইএসবিএন 978-0-7734-5226-8।
↑ Unlu, Elif (এপ্রিল ১৯৯৫)। "Maria Gaetana Agnesi"। Agnes Scott College।
↑ Russell, Bertrand (১৯৪৬)। History of Western Philosophy। London: George Allen & Unwin Ltd। পৃষ্ঠা 857। The great mathematicians of the seventeenth century were optimistic and anxious for quick results; consequently they left the foundations of analytical geometry and the infinitesimal calculus insecure. Leibniz believed in actual infinitesimals, but although this belief suited his metaphysics it had no sound basis in mathematics. Weierstrass, soon after the middle of the nineteenth century, showed how to establish the calculus without infinitesimals, and thus at last made it logically secure. Next came Georg Cantor, who developed the theory of continuity and infinite number. "Continuity" had been, until he defined it, a vague word, convenient for philosophers like Hegel, who wished to introduce metaphysical muddles into mathematics. Cantor gave a precise significance to the word, and showed that continuity, as he defined it, was the concept needed by mathematicians and physicists. By this means a great deal of mysticism, such as that of Bergson, was rendered antiquated.
↑ Grabiner, Judith V. (১৯৮১)। The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus। Cambridge: MIT Press। আইএসবিএন 978-0-387-90527-3।

বহিঃসংযোগ

Hazewinkel, Michiel, সম্পাদক (২০০১), "Calculus", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media, আইএসবিএন 978-1-55608-010-4
এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Calculus"।
Topics on Calculus at PlanetMath
Calculus Made Easy (1914) by Silvanus P. Thompson Full text in PDF
বিবিসির ইন আওয়ার টাইম-এ Calculus
Calculus.org: The Calculus page at University of California, Davis – contains resources and links to other sites
COW: Calculus on the Web ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ৮ এপ্রিল ২০১১ তারিখে at Temple University – contains resources ranging from pre-calculus and associated algebra
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis
Online Integrator (WebMathematica) from Wolfram Research
The Role of Calculus in College Mathematics ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ২৬ জুলাই ২০২১ তারিখে from ERICDigests.org
OpenCourseWare Calculus ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ৫ মে ২০১০ তারিখে from the Massachusetts Institute of Technology
Infinitesimal Calculus – an article on its historical development, in Encyclopedia of Mathematics, ed. Michiel Hazewinkel.
Daniel Kleitman, MIT। "Calculus for Beginners and Artists"।
Calculus Problems and Solutions by D.A. Kouba
Donald Allen's notes on calculus ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ২৩ মার্চ ২০২১ তারিখে
Calculus training materials at imomath.com ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ৯ জুলাই ২০২৩ তারিখে
(ইংরেজি এবং আরবি ভাষায়) The Excursion of Calculus, 1772

টেমপ্লেট:সমাকলন টেমপ্লেট:ক্যালকুলাসের বিষয়

টেমপ্লেট:গণিতের ক্ষেত্র

[1] DeBaggis, Henry F.; Miller, Kenneth S. (১৯৬৬)। Foundations of the Calculus। Philadelphia: Saunders। ওসিএলসি 527896।

[2] Boyer, Carl B. (১৯৫৯)। The History of the Calculus and its Conceptual Development। New York: Dover। ওসিএলসি 643872।

[3] Bardi, Jason Socrates (২০০৬)। The Calculus Wars : Newton, Leibniz, and the Greatest Mathematical Clash of All Time। New York: Thunder's Mouth Press। আইএসবিএন 1-56025-706-7।

[4] Hoffmann, Laurence D.; Bradley, Gerald L. (২০০৪)। Calculus for Business, Economics, and the Social and Life Sciences (8th সংস্করণ)। Boston: McGraw Hill। আইএসবিএন 0-07-242432-X।

[5] Morris Kline, Mathematical thought from ancient to modern times, Vol. I

[6] Archimedes, Method, in The Works of Archimedes আইএসবিএন ৯৭৮-০-৫২১-৬৬১৬০-৭

[7] Dun, Liu; Fan, Dainian; Cohen, Robert Sonné (১৯৬৬)। A comparison of Archimdes' and Liu Hui's studies of circles। Chinese studies in the history and philosophy of science and technology। 130। Springer। পৃষ্ঠা 279। আইএসবিএন 978-0-7923-3463-7। ,pp. 279ff

[8] Katz, Victor J. (২০০৮)। A history of mathematics (3rd সংস্করণ)। Boston, MA: Addison-Wesley। পৃষ্ঠা 203। আইএসবিএন 978-0-321-38700-4।

[9] Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. (২০০৯)। Calculus: Early Transcendentals (3 সংস্করণ)। Jones & Bartlett Learning। পৃষ্ঠা xxvii। আইএসবিএন 978-0-7637-5995-7। Extract of page 27

[katz2-10] ক ^খ Katz, V.J. 1995. "Ideas of Calculus in Islam and India." Mathematics Magazine (Mathematical Association of America), 68(3):163–174.

[11] "Indian mathematics"।

[12] von Neumann, J., "The Mathematician", in Heywood, R.B., ed., The Works of the Mind, University of Chicago Press, 1947, pp. 180–196. Reprinted in Bródy, F., Vámos, T., eds., The Neumann Compendium, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1995, আইএসবিএন ৯৮১-০২-২২০১-৭, pp. 618–626.

[13] André Weil: Number theory: An approach through History from Hammurapi to Legendre. Boston: Birkhauser Boston, 1984, আইএসবিএন ০-৮১৭৬-৪৫৬৫-৯, p. 28.

[14] Blank, Brian E.; Krantz, Steven George (২০০৬)। Calculus: Single Variable, Volume 1 (Illustrated সংস্করণ)। Springer Science & Business Media। পৃষ্ঠা 248। আইএসবিএন 978-1-931914-59-8।

[15] Ferraro, Giovanni (২০০৭)। The Rise and Development of the Theory of Series up to the Early 1820s (Illustrated সংস্করণ)। Springer Science & Business Media। পৃষ্ঠা 87। আইএসবিএন 978-0-387-73468-2।

[leib-16] Leibniz, Gottfried Wilhelm. The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz. Cosimo, Inc., 2008. p. 228. Copy

[17] Allaire, Patricia R. (২০০৭)। Foreword। A Biography of Maria Gaetana Agnesi, an Eighteenth-century Woman Mathematician। by Cupillari, Antonella (illustrated সংস্করণ)। Edwin Mellen Press। পৃষ্ঠা iii। আইএসবিএন 978-0-7734-5226-8।

[18] Unlu, Elif (এপ্রিল ১৯৯৫)। "Maria Gaetana Agnesi"। Agnes Scott College।

[19] Russell, Bertrand (১৯৪৬)। History of Western Philosophy। London: George Allen & Unwin Ltd। পৃষ্ঠা 857। The great mathematicians of the seventeenth century were optimistic and anxious for quick results; consequently they left the foundations of analytical geometry and the infinitesimal calculus insecure. Leibniz believed in actual infinitesimals, but although this belief suited his metaphysics it had no sound basis in mathematics. Weierstrass, soon after the middle of the nineteenth century, showed how to establish the calculus without infinitesimals, and thus at last made it logically secure. Next came Georg Cantor, who developed the theory of continuity and infinite number. "Continuity" had been, until he defined it, a vague word, convenient for philosophers like Hegel, who wished to introduce metaphysical muddles into mathematics. Cantor gave a precise significance to the word, and showed that continuity, as he defined it, was the concept needed by mathematicians and physicists. By this means a great deal of mysticism, such as that of Bergson, was rendered antiquated.

[20] Grabiner, Judith V. (১৯৮১)। The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus। Cambridge: MIT Press। আইএসবিএন 978-0-387-90527-3।

[১]

[২]

[৩]

[৪]

[৫]

[৬]

[৭]

[৮]

[৯]

[১০]

[১১]

[১২]

[১৩]

[১৪]

[১৫]

[১৬]

[১৭]

[১৮]

[১৯]

[২০]

ক্যালকুলাস

ইতিহাস

প্রাচীন

মধ্যযুগীয়

আধুনিক

ভিত্তি

তাৎপর্য

নীতিমালা

লিমিট এবং অনীয়ান

অন্তরকলন ক্যালকুলাস

লিবনিজ নোটেশন

সমাকলন ক্যালকুলাস

মৌলিক উপপাদ্য

প্রয়োগ

বিভিন্নতা

নন-স্ট্যান্ডার্ড ক্যালকুলাস

মসৃণ অনীয়ান বিশ্লেষণ

গঠনমূলক বিশ্লেষণ

আরও দেখুন

তালিকা

অন্যান্য সম্পর্কিত বিষয়

অন্যান্য সম্পর্কিত বিষয়

তথ্যসূত্র

আরও পড়ুন

গ্রন্থ

অনলাইন গ্রন্থ

বহিঃসংযোগ