চলক (গণিত)

চলক ব্যবহার করে অজানা রাশির মান নির্ণয়

লেখচিত্রে চলকের ব্যবহার (পরাবৃত্তাকার)

গণিতে চলক বা চলরাশি বলতে এমন একটি রাশিকে বোঝায়, যার মান কোনো গাণিতিক সমস্যা বা পরীক্ষণের প্রেক্ষাপটে অজ্ঞাত ও পরিবর্তনশীল এবং এটি কোনো প্রদত্ত সেটের বিভিন্ন মান গ্রহণ করতে পারে। সাধারণত একটিমাত্র বর্ণ দিয়ে একটি চলককে নির্দেশ করা হয়। এর বিপরীতে জ্ঞাত অপরিবর্তনশীল রাশিকে ধ্রুবক বলা হয়। বীজগাণিতিক গণন প্রক্রিয়াতে সংখ্যার পরিবর্তে চলক ব্যবহার করে একটিমাত্র গণনার মাধ্যমে অনেকগুলি সদৃশ গাণিতিক সমস্যার সমাধান করা হয়।

সাধারণত যে পরিমাপযোগ্য রাশিটির মান অজানা ও পরিবর্তনশীল সেটির নামের আদ্যবর্ণটি দিয়ে এর চলকটিকে নির্দেশ করা হয়। যেমন- ${\displaystyle E}$ দিয়ে energy (শক্তি), ${\displaystyle V}$ দিয়ে volt (বিভব) ইত্যাদি। তবে সাধারণভাবে ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ প্রভৃতি বর্ণগুলি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

চলক সাধারণত দুই প্রকার যেমন

• গুণবাচক চালক ( qualitative variable )
• পরিমাণ বাচক চলক (quantitative variable)

যে চলকের মান সংখ্যায় পরিমাপ করা যায় না তবে গুণের ভিত্তিতে দুই বা ততোধিক পরস্পর বর্জনশীল শ্রেণীতে ভাগ করা যায় তাকেই গুণবাচক চলক বলা হয়। যেমন মানুষের গায়ের রং, কর্ম, লিঙ্গ ,মেধা, ধর্ম, রক্তের গ্রুপ ইত্যাদি হল গুণবাচক চলক। গুণবাচক চলকের সাধারন একটি সংজ্ঞা হলো যে চলকের মান সংখ্যায় পরিমাপ করা যায় না, কিন্তু গুণের ভিত্তিতে পরিমাপ করা যায় তাকে গুণবাচক চলক বলা হয়। অপরদিকে পরিমাণ বাচক চলক হলো যা সংখ্যার মাধ্যমে পরিমাপ করা যায়। যেমন ব্যক্তির বয়স, ওজন, উচ্চতার সংখ্যার মধ্যে প্রকাশ করা যায়।

নির্দিষ্ট ধরনের চলকসমূহ

চলকের জন্য একই গাণিতিক সূত্রে বিভিন্ন ভূমিকা পালন করা সাধারণ এবং তাদের পার্থক্য করার জন্য বিভিন্ন নাম দেওয়া হয়ে থাকে; যা বিভিন্ন অজ্ঞাত রাশির মানকে নির্দেশ করে। উদাহরণস্বরূপ, সাধারণ ঘন সমীকরণ (general cubic equation) - ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$^[১]

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

এখানে ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ বাস্তব সংখ্যা এবং ${\displaystyle {\displaystyle a\neq 0}}$ ।^[২]

প্রমাণ

	যথার্থতা
${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$
⇒ ${\displaystyle (ax^{2}+bx+c)\times a=0\times a}$	উভয় পক্ষকে ${\displaystyle a}$ দ্বারা গুণ করে
⇒ ${\displaystyle a^{2}x^{2}+abx+ac=0}$
⇒ ${\displaystyle (ax)^{2}+2}$ • ${\displaystyle (ax)}$ • ${\displaystyle {\frac {b}{2}}+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+ac=0}$
⇒ ${\displaystyle (ax)^{2}+2}$ • ${\displaystyle (ax)}$ • ${\displaystyle {\frac {b}{2}}+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-ac}$
⇒ ${\displaystyle (ax)^{2}+2}$ • ${\displaystyle (ax)}$ • ${\displaystyle {\frac {b}{2}}+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {b^{2}}{2^{2}}}\right)-ac}$
⇒ ${\displaystyle (ax)^{2}+2}$ • ${\displaystyle (ax)}$ • ${\displaystyle {\frac {b}{2}}+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4}}-ac}$
⇒ ${\displaystyle \left(ax+{\frac {b}{2}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4}}-ac}$	${\displaystyle \because a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}}$
⇒ ${\displaystyle \left(ax+{\frac {b}{2}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4}}}$
⇒ ${\displaystyle {\sqrt {\left(ax+{\frac {b}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4}}}}$	উভয় পক্ষের বর্গমূল করে
⇒ ${\displaystyle ax+{\frac {b}{2}}={\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4}}}}$
⇒ ${\displaystyle ax+{\frac {b}{2}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2}}}$	${\displaystyle \because ax+{\frac {b}{2}}={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{\sqrt {4}}}}$
⇒ ${\displaystyle ax=-{\frac {b}{2}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2}}}$	উভয়পক্ষে ${\displaystyle -{\frac {b}{2}}}$ যোগ করে
⇒ ${\displaystyle ax={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2}}}$
${\displaystyle \therefore x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$	উভয় পক্ষকে ${\displaystyle a}$ দ্বারা ভাগ করে

তথ্যসূত্র

1. "Variables Mathematics (Wikimedia)"। 
2. "NCTB ২০২১ শিক্ষাবর্ষের নবম-দশম শ্রেণির উচ্চতর গণিত পাঠ্যপুস্তক"।