ফেইগেনবাউম ধ্রুবকসমূহ

ফেইগেনবাউম ধ্রুবকসমূহ

ফেইগেনবাউম ধ্রুবক δ expresses the limit of the ratio of distances between consecutive bifurcation diagram on Li /Li + 1.
মূলদীয়তা	অজানা
প্রতীক	δ এবং α
উপস্থাপনা
বাইনারি	৪.৬৬৯২... এবং ২.৫০২৯...

গণিতে, বিশেষত দ্বিখণ্ডন তত্ত্ব, ফেইগেনবাউম ধ্রুবক /ˈfaɪɡənˌbaʊm/ ^[১] হলো δ এবং α দুটি গাণিতিক ধ্রুবক, যা উভয়ই একটি অ-রৈখিক মানচিত্রের জন্য একটি দ্বিবিভাজন চিত্রে অনুপাত প্রকাশ করে। পদার্থবিজ্ঞানী মিচেল জে. ফেইগেনবাউমের নামে নামকরণ করা হয়েছে।

ইতিহাস

ফেইগেনবাউম মূলত লজিস্টিক মানচিত্রে পিরিয়ড- দ্বিখণ্ডনের সাথে সম্পর্কিত প্রথম ধ্রুবক। তবে এটিকে একক দ্বিগুণ সর্বোচ্চ এক-মাত্রিক মানচিত্রের জন্যও ধরা যায়। সাধারণ ফলস্বরূপ হলো এই বর্ণনার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ প্রতিটি বিশৃঙ্খল সিস্টেম একই হারে বিভাজিত হয়। ফেইগেনবাউম ১৯৭৫ সালে এটি আবিষ্কার করেন। ^[২][৩] ১৯৭৮ সালে তিনি আনুষ্ঠানিকভাবে এটি প্রকাশ করেন। ^[৪]

প্রথম ধ্রুবক

প্রথম ফেইগেনবাউম ধ্রুবক বা সহজভাবে ফেইগেনবাউম ধ্রুবক ^[৫] δ হল প্রতিটি বিভাজন ব্যবধানের সীমিত অনুপাতকে প্রতিটি পিরিয়ড দ্বিগুণ করার মধ্য থেকে পরের একটি এক- প্যারামিটার মানচিত্রকে নির্দেশ করে। যেমন-

${\displaystyle f(x)=a-x^{2}.}$

যেখানে f (x) হল একটি ফাংশন, যা বিভাজন পরামিতি a দ্বারা পরিমাপিত।

এটি একটি সীমা দ্বারা দেওয়া হয়:^[৬]

${\displaystyle \delta =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n-1}-a_{n-2}}{a_{n}-a_{n-1}}}}$

যেখানে a_n হল nতম সময়ের দ্বিগুণে a এর বিচ্ছিন্ন মান।

এর সংখ্যাসূচক মান : (ওইআইএস: A006890)

${\displaystyle \delta =4.669\,201\,609\,102\,990\,671\,853\,203\,820\,466...,}$

• একটি সহজ যুক্তিসঙ্গত অনুমান হল:+৬২১/১৩৩ যা ৫টি উল্লেখযোগ্য মানের জন্য সঠিক (যখন তা ঘুরানো হয়)। আরো নির্ভুল ব্যবহারের জন্য+১২২৮/২৬৩, যা ৭টি উল্লেখযোগ্য মানের জন্য সঠিক।
• +১০/π − ১ প্রায় সমান ০.০০৪৭% এর ত্রুটি।

ব্যাখ্যা

অ-রৈখিক মানচিত্র

এই সংখ্যাটি কীভাবে উত্থিত হয় তা দেখতে, বাস্তব এক-প্যারামিটার মানচিত্রটি বিবেচনা করা দরকার:

${\displaystyle f(x)=ax(1-x)}$

এখানে a হল দ্বিখণ্ডন প্যারামিটার, x হল ভেরিয়েবল। a এর মান যার জন্য পিরিয়ড দ্বিগুণ হয় (যেমন পিরিয়ড-২ কক্ষপথবিহীন a এর সবচেয়ে বড় মান, বা পিরিয়ড-৪, কক্ষপথ ছাড়াই বৃহত্তম a ), a₁, a₂ ইত্যাদি। এগুলোকে নীচে সারণীতে দেয়া হলো:

n	পিরিয়ড	Bifurcation প্যারামিটার (an)	অনুপাত +an−১ − an−২/an − an−১
১	২	০.৭৫	—
২	৪	১.২৫	—
৩	৮	১.৩৬৮০৯৮৯	৪.২৩৩৭
৪	১৬	১.৩৯৪০৪৬২	৪.৫৫১৫
৫	৩২	১.৩৯৯৬৩১২	৪.৬৪৫৮
৬	৬৪	১.৪০০৮২৮৬	৪.৬৬৩৯
৭	১২৮	১.৪০১০৮৫৩	৪.৬৬৮২
৮	২৫৬	১.৪০১১৪০২	৪.৬৬৮৯

শেষ কলামের অনুপাতটি প্রথম ফেইগেনবাউম ধ্রুবকের সাথে মিলিত হয়। লজিস্টিক মানচিত্রের জন্য একই সংখ্যা দেখা দেয়। যেমন:

${\displaystyle x_{i+1}=f(x_{i}),}$

বাস্তব প্যারামিটার a এবং পরিবর্তনশীল x বিভাজন মান একটি টেবিলে দেয়া হলো :

নেতিবাচক x দিকে প্যান করার সময় একটি বৃত্তাকার বৈশিষ্ট্যে জুম করে দেখানো ম্যান্ডেলব্রট সেটে স্ব-সাম্য । ডিসপ্লে সেন্টার প্যান থেকে (-১, ০) থেকে (−১.৩১, ০) যখন ভিউ ০.৫ থেকে বড় হয়  × ০.৫ থেকে ০.১২ × আনুমানিক ফেইগেনবাউম অনুপাত ০.১২.

জটিল দ্বি-ঘাত বহুপদীর জন্য ম্যান্ডেলব্রট সেটের ক্ষেত্র হলো:

n	পিরিয়ড	Bifurcation প্যারাটিার (an)	অনুপাত +an−১ − an−২/an − an−১
১	২	৩	—
২	৪	৩.৪৪৯৪৮৯৭	—
৩	৮	৩.৫৪৪০৯০৩	৪.৭৫১৪
৪	১৬	৩.৫৬৪৪০৭৩	৪.৬৫৬২
৫	৩২	৩.৫৬৮৭৫৯৪	৪.৬৬৮৩
৬	৬৪	৩.৫৬৯৬৯১৬	৪.৬৬৮৬
৭	১২৮	৩.৫৬৯৮৯১৩	৪.৬৬৮০
৮	২৫৬	৩.৫৬৯৯৩৪০	৪.৬৭৬8

${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$

ফেইগেনবাউম ধ্রুবক হল জটিল সমতলে বাস্তব অক্ষের ধারাবাহিক বৃত্তের ব্যাসের মধ্যে সীমাবদ্ধ অনুপাত (ডানদিকে অ্যানিমেশন দেখুন)।

n	পিরিয়ড = 2^n	Bifurcation প্যারামিটার (cn)	অনুপাত ${\displaystyle ={\dfrac {c_{n-1}-c_{n-2}}{c_{n}-c_{n-1}}}}$
১	২	−০.৭৫	—
২	৪	−১.২৫	—
৩	৮	−১.৩৬৮০৯৮৯	৪.২৩৩৭
৪	১৬	−১.৩৯৪০৪৬২	৪.৫৫১৫
৫	৩২	−১.৩৯৯৬৩১২	৪.৬৪৫৯
৬	৬৪	−১.৪০০৮২৮৭	৪.৬৬৩৯
৭	১২৮	−১.৪০১০৮৫৩	৪.৬৬৬৮
৮	২৫৬	−১.৪০১১৪০২	৪.৬৭৪০
৯	৫১২	−১.৪০১১৫১৯৮২০২৯	৪.৬৫৯৬
১০	১০২৪	−১.৪০১১৫৪৫০২২৩৭	৪.৬৭৫০
...	...	...	...
∞		−১.৪০১১৫৫১৮৯০...

বিভাজন প্যারামিটার হল সময়কালের একটি মূল বিন্দু- 2ⁿ উপাদান। এই সিরিজটি ফেইগেনবাউম পয়েন্ট c = −১.৪০১১৫৫১ ...... এ একত্রিত হয়। শেষ কলামের অনুপাতটি প্রথম ফেইগেনবাউম ধ্রুবকের সাথে একত্রিত হয়।

জুলিয়া ফেইগেনবাউম পয়েন্টের জন্য সেট

অন্যান্য মানচিত্রও এই অনুপাত পুনরুত্পাদন করে; এই অর্থে দ্বি-খণ্ডন তত্ত্বে ফিজেনবাউম ধ্রুবক জ্যামিতিতে π এবং ক্যালকুলাসে e সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ।

দ্বিতীয় ধ্রুবক

দ্বিতীয় ফেইগেনবাউম ধ্রুবক বা ফেইগেনবাউম হ্রাস পরামিতি ^[৫] α দ্বারা দেওয়া হয়: ( (ওইআইএস: A০০৬৮৯১1)

${\displaystyle \alpha =2.502\,907\,875\,095\,892\,822\,283\,902\,873\,218...,}$

এটি একটি টাইনের প্রস্থ এবং এর দুটি সাবটাইনের একটির প্রস্থের মধ্যে অনুপাত (ভাঁজের সবচেয়ে কাছের টানটি ছাড়া)। একটি নেতিবাচক চিহ্ন α তে প্রয়োগ করা হয়। যখন নিম্ন সাবটাইন এবং টাইনের প্রস্থের মধ্যে অনুপাত পরিমাপ করা হয়। ^[৭]

এই সংখ্যাগুলি গতিশীল সিস্টেমের একটি বৃহৎ শ্রেণীর জন্য প্রযোজ্য (উদাহরণস্বরূপ, জনসংখ্যা বৃদ্ধির জন্য ড্রিপিং কল)। ^[৭]

একটি সহজ যুক্তিসঙ্গত আনুমানিক হয়। +১৩/১১ × +১৭/১১ × +৩৭/২৭ = +৮১৭৭/৩২৬৭

বৈশিষ্ট্য

উভয় সংখ্যাই অতীন্দ্রিয় বলে মনে করা হয়। যদিও তারা তা প্রমাণিত হয়নি। প্রকৃতপক্ষে, ধ্রুবক অযৌক্তিক যার কোন প্রমাণ নেই।

ফ গেনবাম ধ্রুবকগুলির সর্বজনীনতার প্রথম প্রমাণ অস্কার ল্যানফোর্ড দ্বারা পরিচালিত হয়। কম্পিউটারের সহায়তায় — ১৯৮২ সালে ^[৮] (১৯৮৭ সালে জেনেভা বিশ্ববিদ্যালয়ের জিন-পিয়ের একম্যান এবং পিটার উইটওয়ারের দ্বারা একটি ছোট সংশোধন হয় ^[৯] ) বছরের পর বছর ধরে, প্রমাণের বিভিন্ন অংশের জন্য অ-সংখ্যাসূচক পদ্ধতি আবিষ্কৃত হয়। যা মিখাইল লিউবিচকে প্রথম সম্পূর্ণ অ-সংখ্যাসূচক প্রমাণ তৈরি করতে সহায়তা করে। ^[১০]

অন্যান্য মান

লজিস্টিক মানচিত্রের পিরিয়ড-৩ উইন্ডোতে বিশৃঙ্খলার জন্য একটি পিরিয়ড-ডাবলিং রুট রয়েছে, যেখানে বিশৃঙ্খলা পৌঁছায় ${\displaystyle r=3.854077963591\dots }$, এবং এর নিজস্ব দুটি ফিইগেনবাম ধ্রুবক রয়েছে: ${\displaystyle \delta =55.26,\alpha =9.277}$ .^{[১১][১২] (Appendix F.2)}

 

নোট

1. The Feigenbaum Constant (4.669) – Numberphile (ইংরেজি ভাষায়), ১৬ জানুয়ারি ২০১৭, সংগ্রহের তারিখ ২০২৩-০২-০৭ 
2. Feigenbaum, M. J. (১৯৭৬)। "Universality in complex discrete dynamics" (পিডিএফ)। 
3. Alligood, K. T.; Sauer, T. D. (১৯৯৬)। Chaos: An Introduction to Dynamical Systems। Springer। আইএসবিএন 0-387-94677-2। 
4. Feigenbaum, Mitchell J. (১৯৭৮)। "Quantitative universality for a class of nonlinear transformations": 25–52। ডিওআই:10.1007/BF01020332। 
5. Weisstein, Eric W.। "Feigenbaum Constant"। mathworld.wolfram.com (ইংরেজি ভাষায়)। সংগ্রহের তারিখ ২০২৪-১০-০৬। 
6. Jordan, D. W.; Smith, P. (২০০৭)। Non-Linear Ordinary Differential Equations: Introduction for Scientists and Engineers (4th সংস্করণ)। Oxford University Press। আইএসবিএন 978-0-19-920825-8। 
7. Strogatz, Steven H. (১৯৯৪)। Nonlinear Dynamics and Chaos। Studies in Nonlinearity। Perseus Books। আইএসবিএন 978-0-7382-0453-6। 
8. Lanford III, Oscar (১৯৮২)। "A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures": 427–434। ডিওআই:10.1090/S0273-0979-1982-15008-X । 
9. Eckmann, J. P.; Wittwer, P. (১৯৮৭)। "A complete proof of the Feigenbaum conjectures": 455। ডিওআই:10.1007/BF01013368। 
10. Lyubich, Mikhail (১৯৯৯)। "Feigenbaum-Coullet-Tresser universality and Milnor's Hairiness Conjecture": 319–420। arXiv:math/9903201 । জেস্টোর 120968। ডিওআই:10.2307/120968। 
11. Delbourgo, R.; Hart, W. (১৯৮৫-০১-০১)। "Dependence of universal constants upon multiplication period in nonlinear maps" (ইংরেজি ভাষায়): 514–516। আইএসএসএন 0556-2791। ডিওআই:10.1103/PhysRevA.31.514। পিএমআইডি 9895509। 
12. Hilborn, Robert C. (২০০০)। Chaos and nonlinear dynamics: an introduction for scientists and engineers (2nd সংস্করণ)। Oxford University Press। পৃষ্ঠা 578। আইএসবিএন 0-19-850723-2। ওসিএলসি 44737300। 

তথ্যসূত্র

• Alligood, Kathleen T., Tim D. Sauer, James A. Yorke, Chaos: An Introduction to Dynamical Systems, Textbooks in mathematical sciences Springer, 1996, আইএসবিএন ৯৭৮-০-৩৮৭৯৪-৬৭৭-১
• Briggs, Keith (জুলাই ১৯৯১)। "A Precise Calculation of the Feigenbaum Constants" (পিডিএফ)। Mathematics of Computation। 57 (195): 435–439। ডিওআই:10.1090/S0025-5718-1991-1079009-6 । বিবকোড:1991MaCom..57..435B। 
• Briggs, Keith (১৯৯৭)। Feigenbaum scaling in discrete dynamical systems (পিডিএফ) (গবেষণাপত্র)। University of Melbourne। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
• Broadhurst, David (২২ মার্চ ১৯৯৯)। "Feigenbaum constants to 1018 decimal places"। 

• এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Feigenbaum Constant"।