বৃত্তীয় চতুর্ভুজ

জ্যামিতিতে, বৃত্তীয় চতুর্ভুজ অথবা অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ হলো এমন ধরনের চতুর্ভুজ যার চারটি শীর্ষবিন্দুই বৃত্তের পরিধিতে অবস্থিত। এই বৃত্তটিকে বলা হয় পরিবৃত্ত। বৃত্তের কেন্দ্রটিকে এবং ব্যাসার্ধটিকে যথাক্রমে পরিকেন্দ্র এবং পরিব্যাসার্ধ বলে। সাধারণত চতুর্ভুজটিকে উত্তল হিসেবে ধরা হয়।

বৃত্তীয় চতুর্ভুজের উদাহরণ

প্রতিটি ত্রিভুজকেই বৃত্তে অন্তর্লিখিত করা যাবে কিন্তু প্রতিটি চতুর্ভুজকে যাবে না। বর্গ নয় এমন রম্বস হলো এর একটি উদাহরণ।

বিশেষ ক্ষেত্রে

যেকোন বর্গ, আয়ত, সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম হলো বৃত্তীয়। একটি ঘুড়ি বৃত্তীয় হবে যদি এবং কেবল যদি এর দুইটি কোণ সমকোণ হয়।

বৈশিষ্ট্যাবলী

ABCD একটি বৃত্তীয় চতুর্ভুজ

পরিকেন্দ্র

একটি উত্তল চতুর্ভুজ বৃত্তীয় হবে যদি এবং কেবল যদি এর প্রতিটি বাহুর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক একই বিন্দুতে মিলিত হয়। এই সাধারণ বিন্দুটিকে বলা হয় পরিকেন্দ্র।^[১]

সম্পূরক কোণ

একটি উত্তল চতুর্ভুজ ${\displaystyle ABCD}$ বৃত্তীয় হবে যদি এবং কেবল যদি এর বিপরীত কোণদ্বয় সম্পূরক হয়।

${\displaystyle \alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi \ {\text{radians}}\ (=180^{\circ }).}$

ইউক্লিডের এলিমেন্টস 3 নং বইয়ের 22 নং প্রতিজ্ঞায় এই উপপাদ্যের উল্লেখ আছে।^[১][২] একইভাবে, বহিঃস্থ কোনটির বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ সমান হলে চতুর্ভুজটি বৃত্তীয় হবে।

বাহু এবং কর্ণের মধ্যবর্তী কোণ

একটি উত্তল চতুর্ভুজ বৃত্তীয় হবে যদি এবং কেবল যদি এক বাহু ও কর্ণের মধ্যবর্তী কোণ বিপরীত বাহু ও কর্ণের মধ্যবর্তী কোণের সমান।^[৩] উদাহরণস্বরূপ, ${\displaystyle \angle ACB=\angle ADB.}$

টলেমির উপপাদ্য

টলেমির উপপাদ্য অনুসারে, বৃত্তীয় চতুর্ভুজের কর্ণ দুইটি e এবং f এর গুণফল বিপরীত বাহু জোড়ার গুণফলের সমষ্টির সমান।

${\displaystyle \displaystyle ef=ac+bd,}$

যেখানে a, b, c ও d পরপর চারটি বাহু।

ক্ষেত্রফল

${\displaystyle a,b,c,d}$ বাহু বিশিষ্ট একটি বৃত্তীয় চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল ${\displaystyle K}$ ব্রহ্মগুপ্তের সূত্রের সাহায্যে:

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}\,}$^[৪]

যেখানে, s হলো অর্ধপরিসীমা s = +১/২(a + b + c + d)

আরও দেখুন

• হিরনের সূত্র

তথ্যসূত্র

1. Usiskin, Zalman (২০০৮)। The classification of quadrilaterals : a study of definition। Jennifer Griffin, David Witonsky, Edwin Willmore। Charlotte, NC: Information Age Pub। আইএসবিএন 978-1-60752-600-1। ওসিএলসি 254166189। 
2. Fraivert, David; Sigler, Avi; Stupel, Moshe (২০২০-০৮-১৭)। "Necessary and sufficient properties for a cyclic quadrilateral"। International Journal of Mathematical Education in Science and Technology। 51 (6): 913–938। আইএসএসএন 0020-739X। ডিওআই:10.1080/0020739X.2019.1683772। 
3. Andreescu, Titu (২০০৪)। Mathematical Olympiad treasures। Bogdan Enescu। Boston: Birkhäuser। আইএসবিএন 0-8176-4305-2। ওসিএলসি 50859200। 
4. Durell, Clement V. (২০০৩)। Advanced trigonometry। A. Robson (Dover edition সংস্করণ)। Mineola, N.Y.। আইএসবিএন 978-0-486-15443-5। ওসিএলসি 867768584। উদ্ধৃতি শৈলী রক্ষণাবেক্ষণ: অতিরিক্ত লেখা (link)