স্ট্রিং কম্পন

কম্পন, একটি স্ট্রিং মধ্যে স্থির তরঙ্গ। সুরেলা সিরিজের মৌলিক এবং প্রথম ৫ টি ওভারটোন।

একটি স্ট্রিংয়ের মধ্যে একটি কম্পন হল একটি তরঙ্গ। অনুরণন একটি কম্পনশীল স্ট্রিংকে ধ্রুবক ফ্রিকোয়েন্সি সহ একটি শব্দ তৈরি করে, যেমন ধ্রুবক স্বরতীক্ষ্ণতা। যদি স্ট্রিংয়ের দৈর্ঘ্য বা টান সঠিকভাবে সামঞ্জস্য করা হয়, তবে উত্পাদিত শব্দটি একটি সাঙ্গীতিক স্বর। কম্পনকারী স্ট্রিংসমূহ গিটার, চেলো ও পিয়ানোগুলির মতো স্ট্রিং যন্ত্রের ভিত্তি।

তরঙ্গ

একটি স্ট্রিংয়ের (${\displaystyle v}$) তরঙ্গের প্রচারের বেগ স্ট্রিং (${\displaystyle T}$) এর টান বলের বর্গমূলের সমানুপাতিক এবং স্ট্রিংটির রৈখিক ঘনত্বের (${\displaystyle \mu }$) বর্গমূলের বিপরীতভাবে সমানুপাতিক:

${\displaystyle v={\sqrt {T \over \mu }}.}$

এই সম্পর্কটি ১৫০০এর দশকের শেষের দিকে ভিনসেঞ্জো গ্যালিলি আবিষ্কার করেছিলেন।

ডেরিভেশন

একটি স্পন্দিত স্ট্রিং জন্য চিত্রণ

সূত্র:^[১]

ধরুন একটি স্ট্রিংয়ের দৈর্ঘ্য ${\displaystyle \Delta x}$ , ভর ${\displaystyle m}$ ও রৈখিক ঘনত্ব ${\displaystyle \mu }$। যদি কোণ ${\displaystyle \alpha }$ ও ${\displaystyle \beta }$ ছোট হয়, তাহলে উভয় দিকের টানের অনুভূমিক উপাদানগুলি একটি ধ্রুবক ${\displaystyle T}$ দ্বারা আনুমানিক হতে পারে, যার জন্য নেট অনুভূমিক বল শূন্য। তদনুসারে, ছোট কোণ অনুমান ব্যবহার করে, স্ট্রিং সেগমেন্টের উভয় পাশে ক্রিয়াশীল অনুভূমিক টানগুলি দ্বারা প্রদান করা হয়

${\displaystyle T_{1x}=T_{1}\cos(\alpha )\approx T.}$

${\displaystyle T_{2x}=T_{2}\cos(\beta )\approx T.}$

উল্লম্ব উপাদানের জন্য নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র থেকে, এই অংশটির ভরের (যা তার রৈখিক ঘনত্ব ও দৈর্ঘ্যের গুণফল) ত্বরণ, ${\displaystyle a}$, টুকরাটির উপর নিট বলের সমান হবে:

${\displaystyle \Sigma F_{y}=T_{1y}-T_{2y}=-T_{2}\sin(\beta )+T_{1}\sin(\alpha )=\Delta ma\approx \mu \Delta x{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

এই রাশিটিকে ${\displaystyle T}$ দ্বারা ভাগ করলে এবং প্রথম এবং দ্বিতীয় সমীকরণগুলিকে প্রতিস্থাপন করলে প্রাপ্ত হয় (আমরা ${\displaystyle T}$-এর জন্য প্রথম বা দ্বিতীয় সমীকরণটি বেছে নিতে পারি, তাই আমরা সুবিধাজনকভাবে ম্যাচিং অ্যাঙ্গেল ${\displaystyle \beta }$ ও ${\displaystyle \alpha }$ দিয়ে প্রতিটিকে বেছে নিতে পারি)

${\displaystyle -{\frac {T_{2}\sin(\beta )}{T_{2}\cos(\beta )}}+{\frac {T_{1}\sin(\alpha )}{T_{1}\cos(\alpha )}}=-\tan(\beta )+\tan(\alpha )={\frac {\mu \Delta x}{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

তথ্যসূত্র

• Molteno, T. C. A.; N. B. Tufillaro (সেপ্টেম্বর ২০০৪)। "An experimental investigation into the dynamics of a string"। American Journal of Physics। 72 (9): 1157–1169। ডিওআই:10.1119/1.1764557। বিবকোড:2004AmJPh..72.1157M। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
• Tufillaro, N. B. (১৯৮৯)। "Nonlinear and chaotic string vibrations"। American Journal of Physics। 57 (5): 408। ডিওআই:10.1119/1.16011। বিবকোড:1989AmJPh..57..408T। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

1. The wave equation and wave speed

বহিঃসংযোগ

• "The Vibrating String" by Alain Goriely and Mark Robertson-Tessi, The Wolfram Demonstrations Project.