Cauchyjev korjeni test

U matematici, Cauchyjev korjeni test je test (kriterij) za određivanje konvergencije (test konvergencije) beskonačnih redova

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

Posebno je koristan kod potencijalnih redova.

Test

Korjeni test prvi je razvio Augustin Louis Cauchy, po kome je test i nazvan. Korjeni test koristi broj

${\displaystyle C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

gdje "lim sup" označava limes superiot, sa mogućnom vrijednost od ∞.

Korjeni test kaže da:

• ako je C < 1, tada red konvergira apsolutno, a
• ako je C > 1, tada red divergira.

(Ako je C = 1, test je neodlučan. Postoje neki redovi kod kojih za C = 1 red konvergira, npr. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$, ali postoje i redvi koji za C = 1 adivergiraju, npr. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$.)

Primjena kod potencijalnih redova

Ovaj test se može primijenjivati kod potencijalnih redova

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-p)^{n}}$

gdje su koeficijenti c_n i centar p kompleksni brojsevi, a argument z je kompleksna varijabla.

Članovi reda bi tada biti dati kao a_n = c_n(z − p)ⁿ. Tada se primijeni korjeni test na a_n, kao što je pokazano na početku članka. Važno je primijetiti da se red kao što je ovaj ponekad naziva potencijalni red "oko p", jer je radijus konvergencije je radijus R najvećeg intervala ili diska centriranog u p tako da red konvergira za sve tačke z striktno unutar granica intervala (konvergencija na granicama intervalaili diska mora seprovjeriti odvojeno). Korolarija teoreme korjenog testa primijenjenog na ovakav potencijalni red je da je radijus konvergencije tačno ${\displaystyle R=1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}$.

Dokaz

Dokaz konvergentnosti reda Σa_n je primjena testa poređenja. Ako za sve n ≥ N (N neki fiskan prirodni broj) imamo ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}<k<1,}$ tada je ${\displaystyle a_{n}<k^{n}<1.}$ Pošto geometrijski red ${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }k^{n}}$ konvergira, konvergira i red ${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }a_{n}}$, prema testu poređenja. Apsolutna konvergencija u slučaju nepozitivnog a_n može se dokazati na potpuno isti način koristeći ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}.}$

Ako vrijedi ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1}$ za beskonačno mnogo n, tada a_n ne konvergira u 0, pa je red divergentan.

Dokaz korolarije:

Za potencijalni red Σa_n = Σc_n(z − p)ⁿ, vidimo, iz prethodno izloženog, da red konvergira ako postoji N takav da za sve n ≥ N imamo

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}<1,}$

ekvivalentno sa

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\cdot |z-p|<1}$

za sve n ≥ N, što implicira da, kako bi red konvergirao, moramo imati ${\displaystyle |z-p|<1/{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}$ za sve dovoljno velike brojeve n. Ovo je ekvivalentno iskazu

${\displaystyle |z-p|<1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},}$

tako da brijedi ${\displaystyle R\geq 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}$. Sada jedino mjesto na kojem je konvergencija moguća je kada imamo

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}=1,}$

(pošto tačke > 1 divergiraju), a ovo neće promijeniti radijus konvergencije pošto su to samo tačke koje leže na granicama intervala ili diska, tako da vrijedi

${\displaystyle R=1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.}$

Također pogledajte

• D'Alambertov test
• Konvergentni red

Reference

• Knopp, Konrad (1956). "§ 3.2". Infinite Sequences and Series. Dover publications, Inc., New York. ISBN 0-486-60153-6.
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1963). "§ 2.35". A Course in Modern Analysis (fourth edition izd.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3. |edition= sadrži dodatni tekst (pomoć)

Ovaj članak sadrži materijal o dokazu Cauchyjevog kojenog testa sa PlanetMath-a, koji je licenciran po GFDL-u.