Cauchyjev test kondenzacije

U matematici, Cauchyjev test kondenzacije je standarni test konvergencije za beskonačne redove. Za pozitivni, monotono opadajući niz f(n), suma

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$

konvergira ako i samo ako suma

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$

konvergira. Staviše, u tom slučaju imamo

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)<\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})<2\sum _{n=1}^{\infty }f(n).}$

Geometrijsko značenje je to da se aproksimira suma sa trapezoidima kod svakog ${\displaystyle 2^{n}}$. Drugo objašnjenje je da je, sa analogijom između konačnih suma i integrala, "kondenzacija" članova analogna sa substitucijom teksponencijalne funkcije. Ovo postaje jasnije u primjeru kao što je

${\displaystyle \ f(n)=n^{-a}(\log n)^{-b}(\log \log n)^{-c},}$.

Ovdje red definitivno konvergira za a > 1, a divergira za a < 1. Kada je a = 1, kondenzaciona trnsformacija daje red

${\displaystyle \sum n^{-b}(\log n)^{-c}}$

Logaritmi se "pomijeraju u lijevo". Tako, kada imamo da je a = 1, imamo da red konergira za b > 1, a za b < 1 red divergira. Kada jeb = 1, isto važi za vrijednost c.

Vanjski linkovi

• Dokaz Cauchyjevog testa kondenzacije

Ovaj članak, koji govori o matematičkoj analizi, je u začetku. Možete pomoći Wikipediji tako što ćete ga proširiti.