Evolventa

U diferencijalnoj geometriji krivih, evolventa glatke krive je druga kriva, koja se dobije tako što se na datu krivu postavi zamišljeno zategnuto uže, čiji se slobodni kraj prati dok se ono namotava po toj datoj krivoj; ili obrnuto, dok se odmotava po toj istoj krivoj.^[1]

Crtanje funkcije

Analitički: ako je funkcija ${\displaystyle r:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ prirodna parametrizacija krive (npr. ${\displaystyle |r^{\prime }(s)|=1}$ za svako s), tada

${\displaystyle t\mapsto r(t)-tr^{\prime }(t)}$

parametrizuje evolventu.

Jednačine evolvente parametarski definisane krive su:

${\displaystyle X[x,y]=x-{\frac {x'\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$

${\displaystyle Y[x,y]=y-{\frac {y'\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$

Primjeri

The involute of a circle (in reverse, by unwinding)

Evolventa kruga

• U polarnim koordinatama ${\displaystyle \,r,\theta }$ evolventa kriga ima parametarske jednačine:
  

${\displaystyle \,r=a\sec \alpha }$
${\displaystyle \,\theta =\tan \alpha -\alpha }$

gdje je ${\displaystyle \,a}$ radijus kruga ${\displaystyle \,\alpha }$ je parametar

Leonhard Euler je predložio da se evolventa kruga koristi kod modeliranja zubaca zupčanika, dizajn koji preovladava, te koji je i danas u upotrebi.

Evolventa cikloide

Jedna evolventa cikloide je kongruentna cikloida. U pravouglim koordinatama kriva se zapisuje kao:

${\displaystyle x=a(t+\sin(t))\,}$
${\displaystyle y=a(3+\cos(t))\,}$

gdje je t ugao; a je radijus

Primjene

Glavni članak: Evolventni zupčanik

Evolventa kruga ima neke osobine koje su veoma bitne za industriju zupčanika: Ako dva spregnuta zupčanika imaju zupce sa evolventnim oblikom profila (radije nego, na primjer, "klasične" trougaone oblike), njihove relativne ugaone brzine su konstantne dok su zupci u spregu. Također, zupčanici će biti u kontaktu duž jedna rvne linije sile. Sa zupcima drugih oblika, relativne brzine i sile rastu i opadaju kako sukcesivni zupci ulaze u spreg, što dovodi do vibracija, buke i velikog habanja. Zbog ovoga, skoro svi moderni zupčanici koriste evolventne profil zubaca.

Reference

1. Rutter, John W. (2000). Geometry of curves. Internet Archive. Boca Raton, Fla. : Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-1-58488-166-7.

Vanjski linkovi

• Mathworld

• https://archive.org/details/geometryfromdiff00mccl_866