Faktorijel

${\displaystyle n}$	${\displaystyle n!}$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5.040
8	40.320
9	362.880
10	3.628.800
11	39.916.800
12	479.001.600
13	6.227.020.800
14	87.178.291.200
15	1.307.674.368.000
20	2.432.902.176.640.000
25	15.511.210.043.330.985.984.000.000
50	3,04140932... × 10^64
70	1,19785717... × 10^100
450	1,73336873... × 10^1.000
3.249	6,41233768... × 10^10.000
25.206	1,205703438... × 10^100.000
47.176	8,4485731495... × 10^200.001
100.000	2,8242294079... × 10^456.573
1.000.000	8,2639316883... × 10^5.565.708
9,99... × 10^304	1 × 10^3.045657055180967... × 10307

Faktorijel je matematička funkcija kojom se izračunava proizvod prirodnih brojeva od 1 do nekog određenog prirodnog broja n, označeno kao n!.^[1] Ova funkcija se koristi u statistici, kao i u zakonima vjerovatnoće, te u kombinatorici.

Definicija

Faktorijelska funkcija se najčešće definiše kao

${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k\qquad \forall n\in \mathbb {N} .\!}$

ili rekurzivno kao

${\displaystyle n!={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\\(n-1)!\times n&{\text{if }}n>0.\end{cases}}}$

U obje definicije, uključuje se slučaj

${\displaystyle 0!=1\ }$

zbog konvencije da je proizvod ni jednog broja 1. Ova konvencija je korisna zato što

• rekurzivna relacija ${\displaystyle (n+1)!=n!\times (n+1)}$ važi za ${\displaystyle n=0}$;
• dozvoljava jednostavno pisanje izraza za beskonačne polinome, npr. ${\displaystyle e^{x}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$;
• ova definicija mnoge identitete u kombinatorici čini važećim za nulte veličine.
  • Specifično, broj kombinacija ili permutacija praznog skupa je, jednostavno, broj 1.

Primjena

Najjednostavnija primjena faktorijela je u kombinatorici gdje se pomoću jednostavne formule binomnog koeficijenta može izračunati broj kombinacija brojeva sa količinom k u jednoj osnovnoj grupi n. Npr. broj kombinacija u lotu.

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}$.

Primjenu nalazi i u tzv. Gama funkciji, Taylorovom redu itd.

Primjer

• ${\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120}$

odnosno

• ${\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (n-1)\cdot n}$

po definiciji je:

• ${\displaystyle 0!=1\ }$

dok negativni brojevi nemaju faktorijel.

Približno računanje faktorijela

Najveći faktorijel koji se može izračunati na običnim džepnim računarima je faktorijel broja 69. Faktorijel broja 70 ima više od 100 brojki, te se za svaki veći broj n može primijeniti Stirlingova formula za približno izračunavanje.

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

gdje je:

${\displaystyle \pi }$ broj pi (približno 3,14)

${\displaystyle \ e}$ broj e (približno 2,71)

Dvostruki faktorijel n!!

n!! označava u matematici dvostruki faktorijel i odnosi se na faktorijel parnih ili neparnih brojeva

${\displaystyle n!!=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \quad \ &&{\mbox{za }}n=0{\mbox{ ili }}n=1;\\n(n-2)!!&&{\mbox{za }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{matrix}}\right.}$

na primjer:

• ${\displaystyle 10!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10=3840}$

odnosno

• ${\displaystyle 9!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9=945}$

Primorijel

Ako imamo prirodni broj ${\displaystyle n>2}$ tada je ${\displaystyle n\#}$ umnožak prostih brojeva koji ne premašuju ${\displaystyle n}$.

Preciznije,

${\displaystyle n\#={\begin{cases}1&{\text{ako}}\ {\text{je}}\ n=0,\ 1\\(n-1)\#\times n&{\text{ako}}\ {\text{je}}\ n\ {\text{prost}}\\(n-1)\#&{\text{ako}}\ n>2\ {\text{nije}}\ {\text{prost}}.\end{cases}}}$

Također pogledajte

• Alternativni faktorijel
• Digama funkcija
• Eksponencijalni faktorijel
• Faktorijelski prorodan broj
• Faktorijom
• Stirlingova aproksimacija
• Trailingove nule faktorijela
• Trougaoni broj, sumarni analog faktorijelu

Reference

1. Eric W. Weisstein, Factorial na MathWorld-u.

Vanjski linkovi

• Approximation formulas
• All about factorial notation n!
• The Dictionary of Large Numbers
• "Factorial Factoids" od Paula Niquettea

Faktorijelski kalkulatori i algoritmi

• Factorial Calculator: iračunanje faktorijela do 200.000!
• "Factorial" od Ed Pegg, Jr. i Rob Morris, The Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Fast Factorial Functions (with source code in Java and C#)