Hardyjeva nejednakost

Hardyjeva nejednakost je nejednakost u matematici, koja je dobila naziv po G. H. Hardyju. Ona iskazuje da ako je ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\dots }$ niz nenegativnih realnih brojeva koji nisu identički jednaki nuli, tada, za svaki realan broj p > 1, imamo da je

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{p}<\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}.}$

Integralna verzija Hardyjeve nejednakosti kaže da ako je f integrabilna funkcija sa nenegativnim vrijednostima, tada je

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\operatorname {d} x\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx.}$

Isto važi ako i samo ako je f(x) = 0 skoro svuda.

Hardyjeva nejednakost prvo je objavljena (bez dokaza) 1920. godine u Hardyjevin bilješkama^[1]. Originalna formulacija bila je integralna, koja se malo razlikovala od gore nevedenog oblika.

Također pogledajte

• Carlemanova nejednakost

Zabilješke

1. Hardy, G.H., Note on a Theorem of Hilbert, Math. Z. 6 (1920), 314–317.

Reference

• Hardy, G. H. (1952). Inequalities, 2nd ed. Cambridge University Press. ISBN 0521358809. Nepoznati parametar |coauthors= zanemaren (prijedlog zamjene: |author=) (pomoć)

• Kufner, Alois (2003). Weighted inequalities of Hardy type. World Scientific Publishing. ISBN 9812381953. Nepoznati parametar |coauthors= zanemaren (prijedlog zamjene: |author=) (pomoć)